Sujet du brevet 2022 de maths — Amérique du Sud (Série générale)

1) Affirmation 1. Les tirages sont équiprobables (boules indiscernables au toucher).
Urne A : 8 boules bleues sur 20, donc $p_A={\displaystyle \frac{8}{20}}=0,4$.
Urne B : $11+14=25$ boules dont 11 bleues, donc $p_B={\displaystyle \frac{11}{25}}=0,44$.
Comme $0,44>0,4$, l'affirmation 1 est vraie : on a plus de chances de tirer une boule bleue dans l'urne B.

2) Affirmation 2. On range la série dans l'ordre croissant : 3 ; 7 ; 7 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 14. Elle compte 9 valeurs (effectif impair), donc la médiane est la 5^e valeur : 12 (4 valeurs avant, 4 valeurs après). La médiane vaut 12 et non 11 : l'affirmation 2 est fausse.

3) Affirmation 3. 3 h 20 min ne font pas 3,2 h : $20\text{min}={\displaystyle \frac{20}{60}}\text{ h}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ h, donc 3 h 20 min $={\displaystyle \frac{10}{3}}$ h. La vitesse moyenne vaut $v={\displaystyle \frac{d}{t}}=36÷{\displaystyle \frac{10}{3}}=36\times {\displaystyle \frac{3}{10}}=10,8$ km/h. (Vérification : $10,8\times {\displaystyle \frac{10}{3}}=36$ km.) La vitesse moyenne est de 10,8 km/h : l'affirmation 3 est fausse. (Le résultat 11,25 km/h vient de l'erreur $36÷3,2$.)

4) Affirmation 4. Par le calcul : $f(-1)=-4\times (-1)-5=4-5=-1$.
Par lecture graphique : le point de la courbe de $g$ d'abscisse $-1$ a pour ordonnée $-2$, donc $g(-1)=-2$.
Or $-1>-2$ : l'image de $-1$ par $f$ est supérieure à l'image de $-1$ par $g$. L'affirmation 4 est fausse.

5) Affirmation 5. On développe chaque membre :
$(x+5{)}^2-4=x^2+10x+25-4=x^2+10x+21$ ;
$(x+1)(x+9)$$=x^2+9x+x+9$$=x^2+10x+9$.
Les deux expressions ne sont pas égales (21 ≠ 9). Contre-exemple avec $x=0$ : $(0+5{)}^2-4=21$ alors que $(0+1)(0+9)=9$. L'affirmation 5 est fausse. (La bonne factorisation, avec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, est $(x+5{)}^2-2^2=(x+3)(x+7)$.)

6) Affirmation 6. Une diagonale partage le carré en deux triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit mesurent 6 m. D'après le théorème de Pythagore : $d^2=6^2+6^2=36+36=72$, donc $d=\sqrt{72}$ m (soit environ 8,49 m). L'affirmation 6 est vraie.

1) La barre du pays E s'arrête un peu en dessous de la graduation 10. Le pays E a produit environ 9,5 TWh (toute valeur lue entre 9 et 10 TWh convient).

2) a) Les pays A et B ont produit ensemble $47,5+23,7=71,2$ TWh. Leur part dans la production européenne est ${\displaystyle \frac{71,2}{131,8}}\approx 0,540$, soit environ 54 %. Les pays A et B totalisent bien à eux seuls environ 54 % de la production européenne.

2) b) La hausse entre 2018 et 2019 est de $131,8-122,3=9,5$ TWh. Le pourcentage d'augmentation est ${\displaystyle \frac{9,5}{122,3}}\times 100\approx 7,77$, soit 7,8 % au dixième près. (Vérification : $122,3\times 1,078\approx 131,8$.) La production photovoltaïque totale a augmenté d'environ 7,8 % entre 2018 et 2019.

3) a) On compare les productions de 2017, 2018 et 2019 pour chaque type d'énergie :

• Éolien : $24,1<27,8<34,1$ ;
• Solaire : $9,2<10,2<11,6$ ;
• Bioénergies : $9,5<9,7<9,9$.

Les autres baissent au moins une fois (nucléaire de 393,2 à 379,5 en 2019, thermique de 53,9 à 39,4 en 2018, hydraulique de 68,3 à 60 en 2019). Les énergies dont la production a augmenté chaque année de 2017 à 2019 sont l'éolien, le solaire et les bioénergies.

3) b) La cellule B9 contient le total de la colonne B, c'est-à-dire la somme des cellules B3 à B8. On a pu saisir =SOMME(B3:B8) (ou =B3+B4+B5+B6+B7+B8). En l'étirant vers la droite, la formule devient =SOMME(C3:C8) puis =SOMME(D3:D8). (On vérifie : $379,1+53,9+53,5+24,1+9,2+9,5=529,3$.)

D'après la figure, AC = 10 cm.

1) Les longueurs DB et CB sont égales, donc le triangle DBC est isocèle en B. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux : $\widehat{BDC}=\widehat{BCD}={30}^{\circ }$ (car B est sur [AC], donc $\widehat{BCD}=\widehat{ACD}={30}^{\circ }$). La somme des angles d'un triangle vaut ${180}^{\circ }$, donc $\widehat{DBC}={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{30}^{\circ }={120}^{\circ }$. L'angle $\widehat{DBC}$ mesure ${120}^{\circ }$.

2) Dans le triangle ADC rectangle en D, [AC] est l'hypoténuse et [AD] est le côté opposé à l'angle $\widehat{DCA}$. On utilise le sinus : $\sin \widehat{DCA}={\displaystyle \frac{AD}{AC}}$, soit $\sin {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{AD}{10}}$, d'où $AD=10\times \sin {30}^{\circ }=10\times 0,5=5$. Le segment [AD] mesure bien 5 cm.

3) Dans le même triangle ADC rectangle en D, [DC] est le côté adjacent à l'angle $\widehat{DCA}$. On utilise le cosinus : $\cos {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{DC}{AC}}$, d'où $DC=10\times \cos {30}^{\circ }\approx 8,660$. Vérification avec le théorème de Pythagore : $D{C}^2=A{C}^2-A{D}^2=100-25=75$ et $\sqrt{75}\approx 8,660$. DC ≈ 8,7 cm au millimètre près.

4) On calcule les trois angles du triangle ABD.

• Les points A, B et C sont alignés, donc les angles $\widehat{ABD}$ et $\widehat{DBC}$ sont supplémentaires : $\widehat{ABD}={180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$.
• Dans le triangle ADC : $\widehat{DAC}={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$, donc $\widehat{DAB}={60}^{\circ }$.
• Dans le triangle ABD : $\widehat{ADB}={180}^{\circ }-{60}^{\circ }-{60}^{\circ }={60}^{\circ }$.

Les trois angles du triangle ABD mesurent ${60}^{\circ }$. Le triangle ABD est équilatéral. (On en déduit AB = BD = AD = 5 cm : B est le milieu de [AC].)

1) Chaque motif se déduit du précédent en tournant autour du centre du logo (le point de départ, de coordonnées (0 ; 0)). C'est une rotation (de centre le point de départ et d'angle ${72}^{\circ }$, car le logo compte 5 motifs et ${360}^{\circ }÷5={72}^{\circ }$).

2) C'est la proposition 2. Elle trace d'abord la « tige » horizontale (avancer de 50), puis le parallélogramme : avancer de 50, tourner à droite de 40°, avancer de 50, tourner à droite de 140°, deux fois. Comme ${40}^{\circ }+{140}^{\circ }={180}^{\circ }$, le lutin revient dans la direction de départ après deux côtés, et les virages à droite placent le parallélogramme sous la tige, comme sur le motif. La proposition 3 tourne à gauche (parallélogramme au-dessus de la tige) et la proposition 1 ne trace pas la tige.

3) Le logo compte 5 motifs identiques. Après chaque motif, le lutin se trouve au bout de la tige : il faut le ramener au centre (0 ; 0) puis le faire tourner de ${360}^{\circ }÷5={72}^{\circ }$. Sur la copie :

• 4 : répéter 5 fois
• 5 : Motif
• 6 : aller à x : 0 y : 0
• 7 : tourner ↻ de 72 degrés

4) L'instruction doit être placée à l'intérieur de la boucle « répéter » pour être exécutée une fois par motif. On peut la placer après l'instruction 5 (les instructions 6 ou 7 conviennent aussi).

1) a) Le carré potager a 4 côtés et une hauteur de 30 cm ; chaque planche a une largeur de 15 cm, il faut donc 2 planches superposées par côté ($2\times 15=30$ cm). D'après la vue de dessus, chaque planche mesure 1,20 m de long (les 2 cm correspondent à l'épaisseur de la planche voisine). Il faut donc $4\times 2=8$ morceaux de 1,20 m.
Dans une planche de 2,50 m, on peut couper 2 morceaux de 1,20 m ($2\times 1,20=2,40$ m ≤ 2,50 m), mais pas 3 ($3\times 1,20=3,60$ m). Il faut donc $8÷2=4$ planches. On devra acheter 4 planches.

1) b) On fait la liste du matériel :

• 4 planches : $4\times 5,60=22,40$ € ;
• une équerre dans chacun des 4 angles : $4\times 2,90=11,60$ € ;
• 8 vis par équerre, soit $4\times 8=32$ vis : un seul lot de 100 vis suffit, 5,70 €.

Budget : $22,40+11,60+5,70=39,70$. Le budget nécessaire (hors terre) est de 39,70 €.

2) La terre doit monter au minimum aux deux tiers de la hauteur : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times 30=20$ cm. Elle forme un pavé droit de base carrée de côté 118 cm et de hauteur 20 cm. On convertit en dm pour obtenir directement des litres : 118 cm = 11,8 dm et 20 cm = 2 dm.
Volume : $V=11,8\times 11,8\times 2=278,48$ dm³, soit 278,48 L.
Sept sacs de 40 L contiennent $7\times 40=280$ L, et $280>278,48$. Oui, sept sacs de terre végétale suffisent (il reste environ 1,5 L).