Sujet du brevet 2021 de maths — Pays du groupe 1 (Série générale)

Aucune justification n'est exigée dans cet exercice ; les explications sont données pour comprendre.

1) $360$$=2\times 180$$=2\times 2\times 90$$=2\times 2\times 2\times 45$$=2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5$. $360=2^3\times 3^2\times 5$. (Vérification : $8\times 9\times 5=360$.)

2) a) La droite (BD) est l'axe horizontal de la figure. Par la symétrie d'axe (BD), les points B et J, situés sur l'axe, sont leurs propres images, et le point E a pour image le point F, symétrique de E par rapport à (BD). L'image du triangle BEJ est le triangle BFJ.

2) b) La translation qui transforme E en B fait glisser chaque point d'une « case » vers le bas et vers la gauche, parallèlement à (EB), de la longueur EB. Ainsi A a pour image E, M a pour image F et H a pour image M. L'image du triangle AMH est le triangle EFM.

2) c) Le triangle AMD a la même forme que le triangle AIH, mais ses côtés sont deux fois plus longs : I est le milieu de [AM] et H est le milieu de [AD], donc $AM=2\times AI$ et $AD=2\times AH$, avec les points A, I, M alignés dans cet ordre et A, H, D aussi. On passe du triangle AIH au triangle AMD par l'homothétie de centre A et de rapport 2.

3) La multiplication est prioritaire sur l'addition.
${\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{15}{6}}\times {\displaystyle \frac{7}{25}}$$={\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{3\times 5\times 7}{2\times 3\times 5\times 5}}$$={\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{10}}$$={\displaystyle \frac{35}{10}}+{\displaystyle \frac{7}{10}}$$={\displaystyle \frac{42}{10}}$$={\displaystyle \frac{21}{5}}$.
Le résultat est ${\displaystyle \frac{21}{5}}$, fraction irréductible car 21 et 5 n'ont pas d'autre diviseur commun que 1 ($21=3\times 7$). Contrôle en écriture décimale : $3,5+2,5\times 0,28=3,5+0,7=4,2={\displaystyle \frac{21}{5}}$.

4) Réponse D ($2,2\times {10}^{10}$ km³). Le rayon de la Lune est $r=3474÷2=1737$ km. Le volume d'une boule est $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times r^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 1{737}^3\approx 2,195\times {10}^{10}$ km³, soit environ $2,2\times {10}^{10}$ km³. (La réponse C correspond à l'erreur qui consiste à prendre le diamètre à la place du rayon : on trouve alors un volume 8 fois trop grand, environ $1,8\times {10}^{11}$ km³.)

5) Dans le triangle RST rectangle en S, l'hypoténuse est [RT].
– Pour l'angle $\widehat{STR}$ (sommet T) : le côté opposé est [RS] et le côté adjacent est [ST], donc $\tan \widehat{STR}={\displaystyle \frac{RS}{ST}}={\displaystyle \frac{10}{24}}$, d'où $\widehat{STR}\approx 22,6^{\circ }$, soit environ ${23}^{\circ }$.
– Pour l'angle $\widehat{SRT}$ (sommet R) : $\tan \widehat{SRT}={\displaystyle \frac{ST}{RS}}={\displaystyle \frac{24}{10}}$, d'où $\widehat{SRT}\approx 67,4^{\circ }$, soit environ ${67}^{\circ }$ (contrôle : ${90}^{\circ }+{23}^{\circ }+{67}^{\circ }={180}^{\circ }$).
– Périmètre : $𝒫=10+24+26=60$ mm.
– Aire : les côtés de l'angle droit sont [RS] et [ST], donc $𝒜={\displaystyle \frac{10\times 24}{2}}=120$ mm².

Tableau de l'annexe complété :

Partie 1

1) Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

2) Le dé est bien équilibré : les 6 issues sont équiprobables et une seule réalise l'évènement A. $P(A)={\displaystyle \frac{1}{6}}$.

3) Les nombres impairs sont 1, 3 et 5, soit 3 issues favorables sur 6 : $P(B)={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Partie 2

1) Le plus grand score possible est $6+6=12$ : il est impossible d'obtenir 13. $P(C)=0$ : C est un évènement impossible.

2) a) Chaque case contient la somme du numéro du dé rouge (ligne) et du numéro du dé vert (colonne) :

2) b) Les scores possibles sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12.

3) a) Les deux dés sont bien équilibrés : les 36 cases du tableau sont 36 issues équiprobables. Le score 10 apparaît 3 fois (rouge 4 et vert 6, rouge 5 et vert 5, rouge 6 et vert 4). $P(D)={\displaystyle \frac{3}{36}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$.

3) b) Les multiples de 4 parmi les scores possibles sont 4, 8 et 12. Dans le tableau, 4 apparaît 3 fois, 8 apparaît 5 fois et 12 apparaît 1 fois, soit $3+5+1=9$ cases. $P(E)={\displaystyle \frac{9}{36}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

3) c) Score premier. Parmi les scores de 2 à 12, les nombres premiers sont 2, 3, 5, 7 et 11 (4, 6, 8, 9, 10 et 12 ont d'autres diviseurs que 1 et eux-mêmes). Dans le tableau : 2 apparaît 1 fois, 3 : 2 fois, 5 : 4 fois, 7 : 6 fois, 11 : 2 fois, soit $1+2+4+6+2=15$ cases. La probabilité vaut ${\displaystyle \frac{15}{36}}$.
Score strictement plus grand que 7. Ce sont les scores 8, 9, 10, 11 et 12, qui apparaissent respectivement 5, 4, 3, 2 et 1 fois, soit $5+4+3+2+1=15$ cases. La probabilité vaut aussi ${\displaystyle \frac{15}{36}}$.
Les deux probabilités sont égales (à ${\displaystyle \frac{15}{36}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$) : le score a autant de chances d'être un nombre premier que d'être strictement plus grand que 7.

1) a) Avec 1 comme nombre de départ, le programme A calcule : Valeur 1 $=1+1=2$ ; Valeur 2 $=3\times 2=6$ ; résultat $=6-3=3$. Le programme A affiche bien « On obtient 3 » pendant 2 secondes.

1) b) Avec 2 comme nombre de départ, le programme B calcule : Valeur 1 $=2+3=5$ ; Valeur 2 $=2-5=-3$ ; résultat $=5\times (-3)=-15$. Le programme B affiche bien « On obtient −15 » pendant 2 secondes.

2) On part de $x$ ; on multiplie par 7 : $7x$ ; on ajoute 3 : $7x+3$ ; on soustrait le nombre de départ : $7x+3-x=6x+3$. Le programme C donne $6x+3$.

3) On cherche l'expression obtenue avec chaque programme pour un nombre de départ $x$.
– Programme A : Valeur 1 $=1+x$ ; Valeur 2 $=3(1+x)=3+3x$ ; résultat $=3+3x-3=3x$.
– Programme B : résultat $=(x+3)(x-5)$, qui n'est pas toujours le triple de $x$ (avec 2, on obtient $-15$ et non 6).
– Programme C : $6x+3$, qui n'est pas toujours le triple de $x$ (avec 0, on obtient 3 et non 0).
L'élève a raison : avec le programme A, on obtient toujours $3x$, le triple du nombre choisi.

4) a) Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul (équation produit nul).
$(x+3)(x-5)=0$ équivaut à $x+3=0$ ou $x-5=0$, c'est-à-dire $x=-3$ ou $x=5$. L'équation a deux solutions : $-3$ et $5$.

4) b) Le programme B calcule $(x+3)(x-5)$ (Valeur 1 $=x+3$, Valeur 2 $=x-5$, résultat $=$ Valeur 1 $\times$ Valeur 2). Il affiche « On obtient 0 » lorsque $(x+3)(x-5)=0$, c'est-à-dire d'après la question 4. a) : pour les nombres de départ $-3$ et $5$.

5) On cherche $x$ tel que le programme C et le programme A donnent le même résultat : $6x+3=3x$, soit $6x-3x=-3$, donc $3x=-3$ et $x=-1$.
Vérification : programme A : $3\times (-1)=-3$ ; programme C : $7\times (-1)+3-(-1)=-7+3+1=-3$. Les deux programmes affichent le même résultat pour la seule valeur de départ $-1$.

1) Le dénivelé est la différence entre l'altitude du sommet et celle du point de départ : $EC=393-251=142$. Le dénivelé EC est bien égal à 142 m.

2) a) Les points A, B et C sont alignés, donc les droites (AB) et (AC) sont confondues. On sait que (DB) $⟂$ (AB), donc (DB) $⟂$ (AC), et que (EC) $⟂$ (AC). Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Les droites (DB) et (EC) sont donc parallèles.

2) b) Les points A, D, E sont alignés, les points A, B, C sont alignés et les droites (DB) et (EC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{AD}{AE}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{DB}{EC}}$.
On utilise ${\displaystyle \frac{AD}{AE}}={\displaystyle \frac{DB}{EC}}$, soit ${\displaystyle \frac{51,25}{AE}}={\displaystyle \frac{11,25}{142}}$, d'où $AE={\displaystyle \frac{51,25\times 142}{11,25}}={\displaystyle \frac{7277,5}{11,25}}\approx 646,89$ m.
Comme D est sur [AE] : $DE=AE-AD\approx 646,89-51,25\approx 595,64$ m. La distance DE qu'il reste à parcourir est d'environ 596 m.

3) Aurélie roule à 8 km/h, c'est-à-dire 8 000 m en 60 min. On calcule la durée du trajet de 596 m : $t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{0,596}{8}}=0,0745$ h, soit $0,0745\times 60=4,47$ min (environ 4 min 28 s).
Contrôle par proportionnalité : ${\displaystyle \frac{596\times 60}{8000}}=4,47$ min.
Arrondie à la minute, la durée est de 4 min : 9 h 55 min + 4 min = 9 h 59 min. Aurélie arrivera au point E vers 9 h 59.

4) Dans le triangle ABD rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore : $A{D}^2=A{B}^2+D{B}^2$, donc $A{B}^2=51,{25}^2-11,{25}^2=2626,5625-126,5625=2500$ et $AB=\sqrt{2500}=50$ m.
La route est droite de A à E : d'après le théorème de Thalès (question 2), ${\displaystyle \frac{DB}{EC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$, donc ${\displaystyle \frac{EC}{AC}}={\displaystyle \frac{DB}{AB}}$. La pente de la route vaut donc :
$\text{pente}$$={\displaystyle \frac{\text{dénivelé}}{\text{longueur horizontale parcourue}}}$$={\displaystyle \frac{EC}{AC}}$$={\displaystyle \frac{DB}{AB}}$$={\displaystyle \frac{11,25}{50}}$$=0,225$$={\displaystyle \frac{22,5}{100}}$.
Vérification avec le parcours complet : $AC=AB\times {\displaystyle \frac{EC}{DB}}=50\times {\displaystyle \frac{142}{11,25}}\approx 631,1$ m et ${\displaystyle \frac{142}{631,1}}\approx 0,225$. La pente de la route est bien de 22,5 %.

1) Formule A : $36,50\times$ nombre de journées. Formule B : $90+18,50\times$ nombre de journées. Formule C : 448,50 € quel que soit le nombre de journées.
Pour 6 journées : A : $36,5\times 6=219$ € ; B : $90+18,5\times 6=90+111=201$ €.
Pour 10 journées : A : $36,5\times 10=365$ € ; B : $90+18,5\times 10=90+185=275$ €.

2) a) Une situation de proportionnalité est représentée par une fonction linéaire, de la forme $x\mapsto ax$. C'est la fonction $h$, définie par $h(x)=36,5x$. ($f$ est affine mais non linéaire à cause du terme constant 90, et $g$ est constante.)

2) b) Formule A ↔ fonction $h$ ; formule B ↔ fonction $f$ ; formule C ↔ fonction $g$.

2) c) On résout $f(x)=h(x)$ : $90+18,5x=36,5x$, soit $90=36,5x-18,5x=18x$, donc $x={\displaystyle \frac{90}{18}}=5$.
Vérification : $h(5)=36,5\times 5=182,5$ et $f(5)=90+18,5\times 5=90+92,5=182,5$. Pour 5 journées de ski, les formules A et B coûtent le même montant (182,50 €).

3) a) $(d_1)$ représente $g$ (droite horizontale : le prix reste 448,50 €) ; $(d_2)$ représente $h$ (droite qui passe par l'origine : proportionnalité) ; $(d_3)$ représente $f$ (droite qui coupe l'axe des ordonnées en 90).

3) b) Avec 320 €, la formule C (448,50 €) est hors budget. On trace la droite horizontale d'ordonnée 320 : elle coupe $(d_2)$ vers l'abscisse 8,8 et $(d_3)$ vers l'abscisse 12,4. C'est donc la formule B qui permet de skier le plus longtemps, et le nombre de journées étant entier, on retient 12 journées. Contrôle : $f(12)=90+18,5\times 12=312$ € $\le 320$ € mais $f(13)=330,50$ €, qui dépasse 320 €. Marin peut skier au maximum 12 journées, avec la formule B.

3) c) La formule C est la plus avantageuse lorsque la droite $(d_1)$ est en dessous des deux autres. Sur le graphique, $(d_1)$ passe en dessous de $(d_2)$ vers 12,3 journées, puis en dessous de $(d_3)$ entre 19 et 20 journées (abscisse environ 19,4). Contrôle : pour 19 journées, la formule B coûte $90+18,5\times 19=441,50$ €, moins que 448,50 € ; pour 20 journées, elle coûte $90+18,5\times 20=460$ €, plus que 448,50 €. La formule C devient avantageuse à partir de 20 journées de ski.