Sujet du brevet 2021 de maths — Amérique du Nord (Série générale)

1. Affirmation n°1 : FAUSSE. L'image de $-1$ est $f(-1)=3\times (-1)-7=-3-7=-10$, et non 2.

2. Affirmation n°2 : VRAIE. Par double distributivité : $(x-5)(x+1)$$=x^2+x-5x-5$$=x^2-4x-5$.

3. Affirmation n°3 : FAUSSE. Attention, il s'agit de $2^n+1$ (2 puissance $n$) et non de $2n+1$. Pour $n=5$, $2^5+1=2\times 2\times 2\times 2\times 2+1=32+1=33$. Or $33=3\times 11$ : 33 est divisible par 3, il a d'autres diviseurs que 1 et lui-même, ce n'est donc pas un nombre premier.

4. Affirmation n°4 : VRAIE. La somme des fréquences d'une série vaut 1. Or ${\displaystyle \frac{3}{15}}+{\displaystyle \frac{4}{15}}+{\displaystyle \frac{5}{15}}+{\displaystyle \frac{2}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{15}}={\displaystyle \frac{15}{15}}=1$ : les faces 1 à 5 représentent déjà tous les lancers, la fréquence d'apparition du 6 est donc $1-1=0$.

5. Affirmation n°5 : VRAIE. Dans le triangle RAS rectangle en S, [AS] est le côté opposé à l'angle $\widehat{ARS}$ et [RS] le côté adjacent : $\tan \widehat{ARS}={\displaystyle \frac{AS}{RS}}$, soit $\tan {26}^{\circ }={\displaystyle \frac{80}{RS}}$. D'où $RS={\displaystyle \frac{80}{\tan {26}^{\circ }}}\approx {\displaystyle \frac{80}{0,4877}}\approx 164,0$ cm. Le segment [RS] mesure bien environ 164 cm.

6. Affirmation n°6 : FAUSSE. Dans le rectangle ABCD, le triangle ABC est rectangle en B ; d'après le théorème de Pythagore, $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2={160}^2+{95}^2=25600+9025=34625$. Or ${186}^2=34596\ne 34625$ : la diagonale mesure $\sqrt{34625}\approx 186,1$ cm, c'est une valeur approchée, pas « exactement 186 cm ».

1. Le premier changement d'équipement correspond au premier palier horizontal de la courbe (la distance ne varie plus), à l'ordonnée 0,4 km. Il commence à l'abscisse 14. L'athlète s'est arrêtée au bout de 14 minutes environ.

2. La longueur totale est 12,9 km, la natation 400 m $=0,4$ km et la course à pied 2,5 km. Longueur du cyclisme : $12,9-0,4-2,5=10$. Le parcours de cyclisme mesure 10 km. (Cohérent avec le point M : $10,4-0,4=10$ km parcourus à vélo.)

3. L'épreuve de course à pied commence à la fin du deuxième changement d'équipement, à l'abscisse 44 (le palier va de 42 à 44), et se termine à la fin de la courbe, à l'abscisse 56 environ (12,9 km). Durée : $56-44=12$. Elle a couru pendant environ 12 minutes.

4. On calcule la vitesse moyenne sur chaque épreuve (vitesse = distance ÷ temps) :
– natation : 0,4 km en 14 min, soit ${\displaystyle \frac{0,4}{14}}\times 60\approx 1,7$ km/h ;
– cyclisme : 10 km entre 15 min et 42 min, soit 27 min : ${\displaystyle \frac{10}{27}}\times 60\approx 22,2$ km/h ;
– course à pied : 2,5 km en 12 min : ${\displaystyle \frac{2,5}{12}}\times 60=12,5$ km/h.
C'est pendant la natation que l'athlète a été la moins rapide (on le voit aussi sur le graphique : c'est le segment le moins « pentu »).

5. Sur l'ensemble du triathlon, l'athlète parcourt 12,9 km en 56 min environ, changements compris. $56$ min $={\displaystyle \frac{56}{60}}$ h, donc $v={\displaystyle \frac{12,9}{56}}\times 60\approx 13,8$ km/h. (Autre méthode : à 14 km/h, elle parcourrait 12,9 km en ${\displaystyle \frac{12,9}{14}}\times 60\approx 55,3$ min, or elle a mis plus longtemps.) Non, sa vitesse moyenne, d'environ 13,8 km/h, n'est pas supérieure à 14 km/h.

1. La droite (DB) est un axe de symétrie de la figure : elle échange la partie gauche et la partie droite. Les carrés ② et ⑧ sont images l'un de l'autre par la symétrie d'axe (DB) (de même ③ et ⑦, ou ④ et ⑥ ; les carrés ① et ⑤ sont leur propre image).

2. La symétrie centrale de centre O envoie chaque carré sur le carré diamétralement opposé : l'image du carré ⑧ est le carré ④, et le carré ③ est l'image du carré ⑦. Non, le carré ③ n'est pas l'image du carré ⑧ par la symétrie de centre O.

3. La rotation de centre O qui transforme ① en ② fait tourner la figure d'un « cran » de ${45}^{\circ }$ dans le sens des aiguilles d'une montre ; chaque carré a pour image le carré suivant dans ce sens. L'image du carré ⑧ est le carré ①.

4. La rotation de centre O qui transforme ② en ⑤ fait tourner de trois crans, soit $3\times {45}^{\circ }={135}^{\circ }$ dans le sens des aiguilles d'une montre. Elle envoie le carré ② sur ⑤ et le carré ③ sur ⑥. Le point E est le sommet extérieur du carré ② : son image est le sommet extérieur du carré ⑤, c'est-à-dire H. Le point F est le sommet extérieur du carré ③ : son image est le sommet extérieur du carré ⑥, c'est-à-dire I. L'image du segment [EF] est le segment [HI].

1. L'instruction A noircit la case centrale, puis l'instruction B noircit la case en bas à gauche et la case en haut à droite. Le motif obtenu est (N = noire, B = blanche) :

c'est-à-dire une diagonale noire allant du coin en bas à gauche au coin en haut à droite.

2. Le motif cible a la ligne du haut et la ligne du bas entièrement noires, et au milieu : blanche, noire, blanche. On teste chaque proposition :
– Proposition n°1 (A B C) : seules 5 cases sont noircies (centre, deux coins, deux cases médianes) ; les coins en haut à gauche et en bas à droite restent blancs. Ne convient pas.
– Proposition n°2 (C E) : C noircit les deux cases médianes gauche et droite, puis E inverse tout : ces deux cases deviennent blanches et les 7 autres noires. C'est exactement le motif cible. Convient.
– Proposition n°3 (B C E C) : après B et C, on a 4 cases noires ; E les rend blanches et noircit les 5 autres ; C noircit à nouveau les cases médianes gauche et droite : il reste blancs seulement les coins haut-droite et bas-gauche. Ne convient pas.
– Proposition n°4 (C A E A) : après C et A, les cases médianes gauche, droite et centrale sont noires ; E les rend blanches et noircit les 6 autres (lignes du haut et du bas) ; A noircit à nouveau le centre. C'est le motif cible. Convient.
Les propositions n°2 et n°4 permettent d'obtenir le motif.

3. Dans le motif cible, seules trois cases sont blanches : le coin en haut à droite, le centre et le coin en bas à gauche, c'est-à-dire exactement les cases noircies par A et B. Il suffit donc d'inverser le motif de la question 1. La suite d'instructions A B E convient.

1. Les quatre murs ont pour aire totale (périmètre du sol) × (hauteur) : $2\times (3,50+2,50)\times 2,50=12\times 2,50=30$ m². On retire la porte, $0,80\times 2,10=1,68$ m², et la fenêtre, $1,60\times 1,20=1,92$ m² : $30-1,68-1,92=26,4$. La surface à recouvrir est bien de 26,4 m².

2. Un rouleau à 16,95 € couvre 5,3 m² : $16,95÷5,3\approx 3,198$. Le mètre carré de papier peint coûte environ 3,20 €.

3. Nombre de rouleaux nécessaires : $26,4÷5,3\approx 4,98$, donc 5 rouleaux, plus 1 rouleau conseillé pour les découpes : 6 rouleaux, soit $6\times 16,95=101,70$ €.
Colle : 1 pot pour 4 rouleaux ; pour 6 rouleaux il faut $6÷4=1,5$ pot, donc 2 pots (vendus entiers), soit $2\times 5,70=11,40$ €.
Total : $101,70+11,40=113,10$. En suivant les conseils du vendeur, la rénovation coûtera 113,10 €.

4. Une remise de 8 % revient à multiplier par $1-{\displaystyle \frac{8}{100}}=0,92$ : $113,10\times 0,92=104,052$. Après remise, le prix à payer est d'environ 104,05 €.