Sujet du brevet 2020 de maths — Pays du groupe 1 (session de remplacement) (Série générale)

1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction : ${\displaystyle \frac{7}{8}}-{\displaystyle \frac{5}{8}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{7}{8}}-{\displaystyle \frac{5}{24}}$.
On met au même dénominateur 24 : ${\displaystyle \frac{7}{8}}={\displaystyle \frac{21}{24}}$, donc ${\displaystyle \frac{21}{24}}-{\displaystyle \frac{5}{24}}={\displaystyle \frac{16}{24}}$.
On simplifie par 8 : ${\displaystyle \frac{16}{24}}={\displaystyle \frac{8\times 2}{8\times 3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. Le résultat est ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, fraction irréductible car 2 et 3 n'ont pas d'autre diviseur commun que 1.

2. $342=2\times 3^2\times 19$ et $380=2^2\times 5\times 19$. Le plus grand diviseur commun s'obtient en prenant les facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun avec le plus petit exposant : 2 (une fois) et 19. $2\times 19=38$. On vérifie : $342=38\times 9$ et $380=38\times 10$, et 9 et 10 n'ont que 1 comme diviseur commun. Le plus grand nombre entier qui divise à la fois 342 et 380 est 38.

3. On écrit les deux longueurs avec la même puissance de 10 :
$11\times {10}^{-8}$ m $=0,00000011$ m $=1,1\times {10}^{-7}$ m ;
$0,9\times {10}^{-5}$ m $=0,000009$ m $=90\times {10}^{-7}$ m.
Comme $1,1<90$, on a $11\times {10}^{-8}<0,9\times {10}^{-5}$. La longueur $0,9\times {10}^{-5}$ m est la plus grande (environ 82 fois plus grande que l'autre).

4. Le diamètre vaut 6 cm, donc le rayon vaut $r=6÷2=3$ cm.
$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 3^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 27=36\pi \approx 113,1$ cm³. Le volume de la boule vaut environ 113 cm³.

5. Le plus grand côté mesure 6,4 cm. On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres :
d'une part $6,4^2=40,96$ ;
d'autre part $3,9^2+5,2^2=15,21+27,04=42,25$.
Comme $40,96\ne 42,25$, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée. D'après la contraposée du théorème de Pythagore, ce triangle n'est pas rectangle.

6. Les boules sont équiprobables, donc $p(\text{jaune})={\displaystyle \frac{\text{nombre de boules jaunes}}{20}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$. Le nombre de boules jaunes vaut $20\times {\displaystyle \frac{1}{5}}=4$. L'urne contient 4 boules jaunes.

7. La roue comporte 12 secteurs équiprobables. D'après la figure, les secteurs gris portent les nombres 2, 5, 8, 13, 15 et 23 (les secteurs 1, 3, 7, 11, 14 et 21 sont blancs).
Parmi ces secteurs gris, les nombres premiers (qui ont exactement deux diviseurs, 1 et eux-mêmes) sont 2, 5, 13 et 23 ; en revanche $8=2\times 4$ et $15=3\times 5$ ne sont pas premiers.
Il y a donc 4 issues favorables sur 12 : $p={\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. La probabilité que la flèche indique un secteur gris contenant un nombre premier est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

1. L'étendue est la différence entre le plus grand et le plus petit diamètre : elle vaut 12 mm, soit 1,2 cm. Tous les diamètres sont inférieurs ou égaux à 8,2 cm et le tableau contient des boules de 8,2 cm : le plus grand diamètre est donc 8,2 cm.
Le plus petit diamètre vaut alors $8,2-1,2=7$ cm. Or aucun diamètre connu du tableau ne vaut 7 cm (le plus petit est 7,05 cm) : si la boule de 620 g avait un diamètre d'au moins 7,05 cm, l'étendue vaudrait $8,2-7,05=1,15$ cm $=11,5$ mm, et non 12 mm. Le plus petit diamètre, 7 cm, est donc celui de la seule valeur manquante. La boule de 620 g a un diamètre de 7 cm.

2. a) L'effectif total vaut $1+2+4+5+2+3+4+1+1+2+2+2+1=30$ boules (10 joueurs × 3 boules).
Somme des masses : $620\times 1+626\times 2+633\times 4+655\times 5+678\times 2+725\times 3+758\times 4+767\times 1+775\times 1+790\times 2+800\times 2+805\times 2+813\times 1$
$=620+1252+2532+3275+1356+2175+3032+767+775+1580+1600+1610+813$$=21387$ g.
Masse moyenne : ${\displaystyle \frac{21387}{30}}=712,9$ g. Comme $712,9⩾626$, la masse moyenne (712,9 g) est bien supérieure ou égale à 626 g.

2. b) L'effectif total est 30 (pair) : la médiane est la moyenne de la 15^e et de la 16^e valeur de la série rangée dans l'ordre croissant. Les masses sont déjà rangées ; effectifs cumulés : 620 g → 1 ; 626 g → 3 ; 633 g → 7 ; 655 g → 12 ; 678 g → 14 ; 725 g → 17. Les 15^e et 16^e valeurs valent donc toutes les deux 725 g. La masse médiane est 725 g.

3. Une boule n'est pas acceptée en compétition si son diamètre n'est pas compris entre 7,05 cm et 8 cm, ou si sa masse n'est pas comprise entre 650 g et 800 g (toutes les boules sont en acier, donc en métal). On passe en revue le tableau :
– 620 g (7 cm) : masse et diamètre trop petits → 1 boule ;
– 626 g (7,05 cm) : masse trop petite → 2 boules ;
– 633 g (7,25 cm) : masse trop petite → 4 boules ;
– 800 g (8,1 cm) : masse acceptée mais diamètre trop grand → 2 boules ;
– 805 g (8,2 cm) : masse et diamètre trop grands → 2 boules ;
– 813 g (8,2 cm) : masse et diamètre trop grands → 1 boule.
Les autres boules (655 g à 790 g, diamètres de 7,3 cm à 7,75 cm) respectent les deux conditions.
Nombre de boules refusées : $1+2+4+2+2+1=12$. Un tiers des 30 boules représente $30÷3=10$ boules, et $12>10$ (en proportion, ${\displaystyle \frac{12}{30}}=0,4>{\displaystyle \frac{1}{3}}$). Oui, on peut affirmer qu'au moins un tiers des boules ne seraient pas acceptées en compétition officielle (12 boules sur 30, soit 40 %).

1. a) Avec 3 : $3+2=5$ ; $5^2=25$ ; $25-9=16$. Le programme donne bien 16.

1. b) Avec $-6$ : $-6+2=-4$ ; $(-4{)}^2=16$ ; $16-9=7$. Le programme donne 7.

2. Avec $x$ : on ajoute 2, on obtient $x+2$ ; on met au carré : $(x+2{)}^2$ ; on enlève 9. Le résultat du programme est $(x+2{)}^2-9$.

3. a) On remarque que $9=3^2$ : $(x+2{)}^2-9=(x+2{)}^2-3^2$. On applique l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec $a=x+2$ et $b=3$ :
$(x+2{)}^2-3^2$$=(x+2-3)(x+2+3)$$=(x-1)(x+5)$. Le résultat s'écrit bien $(x+5)(x-1)$.

3. b) On résout $(x+5)(x-1)=0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $x+5=0$ ou $x-1=0$, soit $x=-5$ ou $x=1$. Vérification : $(-5+2{)}^2-9=9-9=0$ et $(1+2{)}^2-9=9-9=0$. Il faut choisir $-5$ ou $1$ au départ pour obtenir 0.

3. c) On choisit par exemple $x=0$ : $(0+5)(0-1)=5\times (-1)=-5$ (ou avec le programme : $0+2=2$ ; $2^2=4$ ; $4-9=-5$). Avec $x=0$, le résultat est $-5$, un nombre négatif. (Toute valeur strictement comprise entre $-5$ et $1$ convient, car les deux facteurs sont alors de signes contraires.)

4. On développe avec l'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ :
$(x+2{)}^2-9$$=x^2+2\times x\times 2+2^2-9$$=x^2+4x+4-9$$=x^2+4x-5$.
On peut aussi développer la forme factorisée : $(x+5)(x-1)$$=x^2-x+5x-5$$=x^2+4x-5$. Le résultat s'écrit bien $x^2+4x-5$.

5. a) Une fonction affine s'écrit $x\mapsto ax+b$. L'expression $f(x)=x^2+4x-5$ contient un terme en $x^2$, elle ne peut pas s'écrire sous cette forme. Par exemple, $f(0)=-5$, $f(1)=0$, $f(2)=7$ : quand $x$ augmente de 1, $f(x)$ augmente de 5 puis de 7, alors que pour une fonction affine les accroissements seraient égaux. La fonction $f$ n'est pas une fonction affine.

5. b) On cherche les nombres $x$ tels que $f(x)=-5$ : $x^2+4x-5=-5$, soit $x^2+4x=0$, c'est-à-dire $x(x+4)=0$. D'après la règle du produit nul : $x=0$ ou $x+4=0$, soit $x=0$ ou $x=-4$. Vérification : $f(0)=-5$ et $f(-4)=16-16-5=-5$. Les antécédents de $-5$ par $f$ sont $0$ et $-4$.

1. Le point H est à la même altitude que le point de départ D (la droite (DH) est horizontale) et A est à la verticale de H. Le dénivelé AH est donc la différence des altitudes d'arrivée et de départ : $AH=475-213=262$. Le dénivelé AH est bien égal à 262 m.

2. Le triangle ADH est rectangle en H. Pour l'angle $\widehat{ADH}$, on connaît le côté opposé AH = 262 m et l'hypoténuse AD = 673 m (longueur du téléphérique). On utilise le sinus : $\sin \widehat{ADH}={\displaystyle \frac{AH}{AD}}={\displaystyle \frac{262}{673}}$.
À la calculatrice : $\widehat{ADH}=\arcsin \left({\displaystyle \frac{262}{673}}\right)\approx 22,9^{\circ }$. L'angle $\widehat{ADH}$ mesure environ $22,9^{\circ }$.

3. On calcule d'abord DH. Dans le triangle ADH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore : $A{D}^2=A{H}^2+D{H}^2$, donc $D{H}^2={673}^2-{262}^2=452929-68644=384285$ et $DH=\sqrt{384285}\approx 619,9$ m.
Pente : ${\displaystyle \frac{AH}{DH}}={\displaystyle \frac{262}{\sqrt{384285}}}\approx 0,423$, soit environ 42,3 %. (On retrouve cette valeur avec $\tan (22,9^{\circ })\approx 0,42$.)
Comme $42,3\%<50\%$, la pente de ce téléphérique n'est pas supérieure à 50 % : elle vaut environ 42 %.

4. a) Le trajet de D à A mesure 673 m et dure 4 min, soit $4\times 60=240$ s. $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{673}{240}}\approx 2,80$ m/s. La vitesse du téléphérique est bien d'environ 2,8 m/s.

4. b) La vitesse est constante : en 3 minutes, soit les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ du trajet, le point d'attache parcourt les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ du câble : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times 673=504,75$ m.
Appelons M la position du point d'attache et K le point de [DH] situé à sa verticale. Les droites (MK) et (AH) sont toutes deux verticales, donc parallèles ; les points D, M, A sont alignés, ainsi que D, K, H. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{MK}{AH}}={\displaystyle \frac{DM}{DA}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$, donc $MK={\displaystyle \frac{3}{4}}\times 262=196,5$ m.
Altitude du point d'attache : $213+196,5=409,5$ m. Trois minutes après son départ, le point d'attache se situe à environ 409,5 m d'altitude. (Avec la valeur arrondie 2,8 m/s, on trouve $2,8\times 180=504$ m parcourus et une altitude d'environ 409 m, ce qui est également accepté.)

5. Les deux parents paient le plein tarif : $2\times 5,60=11,20$ €. Les cinq enfants ont donc coûté $30,20-11,20=19,00$ €.
Chaque enfant paie 3,20 € (moins de 15 ans) ou 4,20 € (15 à 18 ans). Si les 5 enfants payaient 4,20 €, la somme serait $5\times 4,20=21,00$ € ; chaque enfant de moins de 15 ans fait économiser $4,20-3,20=1,00$ €. Il faut économiser $21,00-19,00=2,00$ €, donc 2 enfants ont moins de 15 ans.
Vérification : $2\times 3,20+3\times 4,20=6,40+12,60=19,00$ € et $19,00+11,20=30,20$ €. Dans la famille Dupond, 2 enfants ont moins de 15 ans (et 3 enfants ont entre 15 et 18 ans).

1. a) Chaque passage dans la boucle « répéter » trace un triangle équilatéral. La figure 1 est composée de 5 triangles équilatéraux emboîtés (le grand triangle et quatre triangles de plus en plus petits, qui partagent tous le sommet en bas à gauche). Le nombre effacé à la ligne 8 est 5.

1. b) Pour tracer un triangle équilatéral, le lutin doit, à chaque sommet, tourner de l'angle extérieur. Les angles d'un triangle équilatéral mesurent ${60}^{\circ }$, donc le lutin tourne de ${180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$ (et $3\times {120}^{\circ }={360}^{\circ }$ : il fait un tour complet et revient dans sa direction de départ). Le nombre effacé à la ligne 4 est 120.

2. Au départ, la variable côté vaut 125 : le premier triangle a des côtés de 125 pixels. Ensuite, l'instruction « mettre côté à côté * k » avec $k=0,8$ donne $125\times 0,8=100$. Le deuxième triangle tracé a bien des côtés de 100 pixels.

3. Affirmation 1 : VRAIE. D'un triangle au suivant, la longueur du côté est multipliée par $k=0,8=1-0,2=1-{\displaystyle \frac{20}{100}}$. Multiplier par 0,8 revient à diminuer de 20 %. Exemple : de 125 à 100 pixels, la baisse est de 25 pixels et ${\displaystyle \frac{25}{125}}=0,2=20$ %.

Affirmation 2 : VRAIE. Chaque triangle est une réduction du précédent de rapport $k=0,8$ (côtés multipliés par 0,8). Dans une réduction de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ : $0,8^2=0,64$. L'aire est bien multipliée par 0,64 d'un triangle au suivant.

4. a) Tous les triangles partent du même point (0 ; 0), le sommet en bas à gauche, et ont leurs côtés dans les mêmes directions, chaque côté étant multiplié par 0,8. On passe d'un triangle au suivant par une homothétie de centre le point de coordonnées (0 ; 0) (le sommet commun en bas à gauche) et de rapport 0,8.

4. b) Pour obtenir un agrandissement, il faut que les côtés soient multipliés par un nombre strictement supérieur à 1. Une valeur possible est $k=1,2$ (toute valeur de $k$ strictement supérieure à 1 convient, par exemple 1,5 ou 2).