Sujet du brevet 2020 de maths — Nouvelle-Calédonie (session de remplacement) (Série générale)

Aucune justification n'est demandée ; les calculs ci-dessous servent à vérifier chaque choix.

1. La multiplication est prioritaire : ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Donc ${\displaystyle \frac{5}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{10}{6}}-{\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$. Réponse C : ${\displaystyle \frac{7}{6}}$.

2. Dans une écriture scientifique, le premier facteur est compris entre 1 et 10 (10 exclu). $245\times {10}^{-5}=2,45\times {10}^2\times {10}^{-5}=2,45\times {10}^{-3}$. Réponse B : $2,45\times {10}^{-3}$.

3. La série compte 7 durées. Moyenne : ${\displaystyle \frac{3+2+4+3+7+9+7}{7}}={\displaystyle \frac{35}{7}}=5$. Réponse C : 5 min.

4. On range la série dans l'ordre croissant : 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 7 ; 7 ; 9. L'effectif (7) est impair : la médiane est la 4^e valeur (3 valeurs avant, 3 après). Réponse B : 4 min.

5. Les 32 cartes sont équiprobables et 4 d'entre elles sont des rois : $p={\displaystyle \frac{4}{32}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$. Réponse A : ${\displaystyle \frac{1}{8}}$.

6. L'équateur est le parallèle de latitude 0°. La seule proposition dont la latitude vaut 0° est (0° N ; 78° O). Réponse C.

1. Le montant de la TGC est la différence entre le prix TTC et le prix HT : $21960-18000=3960$. Vérification avec le taux de 22 % : $18000\times {\displaystyle \frac{22}{100}}=3960$. Le montant TGC pour le pare-choc est de 3 960 francs.

2. Pour la main d'œuvre, la TGC vaut 1 440 F pour un prix HT de 24 000 F : ${\displaystyle \frac{1440}{24000}}=0,06={\displaystyle \frac{6}{100}}$. Le taux de TGC appliqué à la main d'œuvre est de 6 % (c'est bien l'un des quatre taux en vigueur).

3. Le total à régler est la somme des prix TTC des cellules E2 à E5. On a pu saisir dans E6 : =SOMME(E2:E5) (ou =E2+E3+E4+E5). Vérification : $78080+21960+12987+25440=138467$, ce qui est bien le total affiché.

1. Programme A avec 4 : $4-5=-1$, puis $-1\times 4=-4$. Alice obtient bien $-4$.

2. Programme B avec $-3$ : $(-3{)}^2=9$, puis $9-4=5$. Lucie obtient 5.

3. Avec le nombre $x$ : on soustrait 5, ce qui donne $x-5$, puis on multiplie par le nombre de départ : $(x-5)\times x=x\times x-5\times x=x^2-5x$ (distributivité). Le résultat du programme A est $x^2-5x$.

4. On met $x$ au carré puis on soustrait 4. Le résultat du programme B est $x^2-4$.

5. Tom cherche $x$ tel que les deux résultats soient égaux : $x^2-5x=x^2-4$.
En soustrayant $x^2$ à chaque membre : $-5x=-4$, donc $x={\displaystyle \frac{-4}{-5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}=0,8$.
Vérification : programme A : $(0,8-5)\times 0,8=-4,2\times 0,8=-3,36$ ; programme B : $0,8^2-4=0,64-4=-3,36$. Le nombre cherché est 0,8 (les deux programmes donnent alors $-3,36$).

1. Les droites (AE) et (BD) se coupent en C, et les droites (AB) et (DE) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{CD}{CB}}={\displaystyle \frac{CE}{CA}}={\displaystyle \frac{DE}{BA}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{700}{500}}={\displaystyle \frac{DE}{400}}$, d'où $DE={\displaystyle \frac{700\times 400}{500}}=560$. DE = 560 m.

2. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC].
D'une part $B{C}^2={500}^2=250000$ ; d'autre part $A{B}^2+A{C}^2={400}^2+{300}^2=160000+90000=250000$.
Comme $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

3. Dans le triangle ABC rectangle en A, [AB] est le côté adjacent à l'angle $\widehat{ABC}$ et [BC] l'hypoténuse. Par le cosinus : $\cos \widehat{ABC}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{400}{500}}=0,8$. À la calculatrice, $\widehat{ABC}=\arccos (0,8)\approx 36,87$°. L'angle $\widehat{ABC}$ mesure environ 37°. (Vérification par la tangente : $\tan \widehat{ABC}={\displaystyle \frac{AC}{AB}}={\displaystyle \frac{300}{400}}=0,75$ donne le même angle.)

4. Un tour mesure 2 880 m (on le retrouve : avec $CE={\displaystyle \frac{700\times 300}{500}}=420$ m, on a $AB+BC+CD+DE+EC+CA$$=400+500+700+560+420+300$$=2880$ m). Pour 5 tours : $5\times 2880=14400$. La distance totale est de 14 400 m, soit 14,4 km.

5. On convertit la durée en heures : $1\text{ h }48\text{min}=1\text{ h}+{\displaystyle \frac{48}{60}}\text{ h}=1,8$ h.
Vitesse moyenne : $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{14,4\text{ km}}{1,8\text{ h}}}=8$ km/h. La vitesse moyenne de Mattéo est de 8 km/h (soit environ 133 m/min : $14400÷108\approx 133$).

1. Le triangle ABC est rectangle en B, d'hypoténuse [AC]. D'après le théorème de Pythagore : $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$, donc $B{C}^2$$=A{C}^2-A{B}^2$$=5,{25}^2-5^2$$=27,5625-25$$=2,5625$.
$BC=\sqrt{2,5625}\approx 1,6008$. BC ≈ 1,6 m (arrondi au dixième).

2. Quand Melvin soulève la corde par son milieu, celle-ci forme deux segments de même longueur : $10,5÷2=5,25$ m chacun. Le milieu de la corde se trouve à la verticale du milieu de l'écart entre les poteaux, c'est-à-dire à $10÷2=5$ m de chaque poteau.
On obtient exactement le triangle rectangle de la question 1 : l'hypoténuse (la moitié de la corde) mesure 5,25 m, le côté au sol mesure 5 m, et la hauteur à laquelle Melvin tient la corde est le troisième côté, BC ≈ 1,60 m.
Comme $1,60>1,55$, Melvin peut passer sous la corde sans se baisser, avec environ 5 cm de marge.

1. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Pour 102 : $1+0+2=3$, qui est divisible par 3. 102 est donc divisible par 3 ($102=3\times 34$).

2. $102=2\times 51=2\times 3\times 17$, et 2, 3 et 17 sont des nombres premiers. $102=2\times 3\times 17$.

3. Les diviseurs de 102 sont 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51 et 102. Parmi eux, 2, 3 et 17 sont premiers. Trois diviseurs non premiers de 102 : 6, 34 et 51 (102 et 1 conviennent aussi : 1 n'est pas un nombre premier).

4. Pour utiliser toute la feuille, le côté des étiquettes doit diviser à la fois 85 et 102. Or $102=3\times 34$ mais $85÷34=2,5$ n'est pas un entier : 34 ne divise pas 85. Les étiquettes ne peuvent pas avoir 34 cm de côté.

5. $85=5\times 17$ et $102=6\times 17$ : on peut placer 5 étiquettes dans la largeur et 6 dans la longueur, soit $5\times 6=30$ étiquettes. Vérification par les aires : ${\displaystyle \frac{85\times 102}{17\times 17}}={\displaystyle \frac{8670}{289}}=30$. Le libraire pourra découper 30 étiquettes.

Partie 1

1. Avec $x=6$ m, le rayon de la base est $r=6÷2=3$ m et la hauteur du cylindre est $O{O}^{\prime }=2$ m.
$V_{\text{cylindre}}=\pi \times r^2\times h=\pi \times 3^2\times 2=18\pi$. Le volume exact de la partie cylindrique est bien $18\pi$ m³.

2. Le cône a le même rayon de base (3 m) et pour hauteur $O^{\prime }S=1$ m.
$V_{\text{cône}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 3^2\times 1=3\pi \approx 9,42$. Le volume de la partie conique est d'environ 9 m³ (arrondi à l'unité).

3. $V_{\text{case}}=18\pi +3\pi =21\pi \approx 65,97$. Le volume total de la case est d'environ 66 m³.

Partie 2

1. On place 7 sur l'axe des abscisses, on monte en pointillés jusqu'à la courbe, puis on se déplace horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées. Le volume d'une case de 7 m de diamètre est d'environ 90 m³. (Par le calcul : $\pi \times 3,5^2\times 2+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 3,5^2\times 1\approx 89,8$ m³, ce qui confirme la lecture.)

2. $V(8)=12,5\times 8=100$. L'image de 8 par la fonction V est 100.

3. $V(x)=12,5x$ est de la forme $V(x)=ax$ avec $a=12,5$. V est une fonction linéaire (le volume de la maison est proportionnel à $x$).

4. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine. Il suffit d'un second point, par exemple $(8;100)$ trouvé à la question 2 (ou $(4;50)$). On trace la droite passant par les points $(0;0)$ et $(8;100)$.

5. Pour $x=6$ m (valeur maximale) : la case a un volume d'environ 66 m³ (partie 1) et la maison $V(6)=12,5\times 6=75$ m³. Sur le graphique, la droite de V est au-dessus de la courbe de la case pour tous les diamètres de 0 à 6 m (les deux courbes ne se croisent que vers $x\approx 6,8$ m, au-delà de la limite imposée). Nolan doit choisir la maison en forme de prisme droit, avec $x=6$ m : elle offre 75 m³ contre environ 66 m³ pour la case.

1. Un triangle équilatéral a 3 côtés égaux et ses angles mesurent 60°. Le lutin, qui avance le long d'un côté, doit tourner de l'angle extérieur, soit $180-60=120$ degrés, à chaque sommet ($3\times 120=360$ : il fait un tour complet). On complète le script :
répéter 3 fois ; avancer de 80 ; tourner ↺ de 120 degrés.

2. Le script trace 12 segments (boucle « répéter 12 fois »), en tournant à chaque fois de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ; la longueur vaut d'abord 40 puis augmente de 10 à chaque segment (40, 50, 60, …, 150). On obtient une spirale « carrée » qui s'agrandit, faite de 12 segments, c'est-à-dire 3 tours complets de 4 côtés.
La figure 3 est exclue (des angles de 90° ne donnent pas de triangle). La figure 1 comporte 4 tours de spirale (16 segments) et la figure 2 en comporte 3 (12 segments), le premier segment partant vers la droite puis tournant vers le haut. Il faut entourer la figure 2.