Sujet du brevet 2020 de maths — Métropole, Antilles et Guyane (session de remplacement) (Série générale)

Aucune justification n'est demandée ; les explications ci-dessous servent à vérifier chaque choix.

1. On range la série dans l'ordre croissant : 2 ; 6 ; 10 ; 12 ; 14 ; 22 ; 25. Il y a 7 valeurs (effectif impair) : la médiane est la 4^e valeur. Réponse A : 12.

2. Le sac contient $50+45+45+60=200$ billes, dont 60 jaunes, toutes équiprobables : $p={\displaystyle \frac{60}{200}}=0,3$. Réponse B : 0,3.

3. $2\times 10\times 101$ contient 10, qui n'est pas premier, et $5\times 5\times 101=2525\ne 2020$. En revanche $2\times 2\times 5\times 101=20\times 101=2020$ et 2, 5 et 101 sont premiers. Réponse C : $2\times 2\times 5\times 101$.

4. Le volume d'une boule de rayon $R$ est $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$ (les deux autres formules donnent une longueur et une aire). Réponse C : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$.

5. Une homothétie de rapport $k$ multiplie les longueurs par $|k|$. Ici $|-2|=2>1$ : les longueurs sont doublées (le signe « moins » indique seulement que l'image est de l'autre côté du centre A). Réponse A : elle agrandit les longueurs.

1. Avec 2 : $2+7=9$ ; $2-7=-5$ ; $9\times (-5)=-45$ ; $-45+50=5$. Le résultat obtenu est bien 5.

2. Avec $-10$ : $-10+7=-3$ ; $-10-7=-17$ ; $(-3)\times (-17)=51$ ; $51+50=101$. Le résultat obtenu est 101.

3. Il suffit d'un contre-exemple. Avec $-10$, la méthode de l'élève donne $2\times (-10)+1=-19$, alors que le programme donne 101 (question 2). Comme $-19\ne 101$, l'élève a tort : l'égalité constatée pour 2 n'est pas vraie pour tous les nombres.

4. Avec le nombre $x$ : on obtient $x+7$ et $x-7$, puis leur produit auquel on ajoute 50 :
$(x+7)(x-7)+50$$=x^2-7^2+50$$=x^2-49+50$$=x^2+1$ (identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, ou double distributivité : $x^2-7x+7x-49$). Le résultat du programme est $x^2+1$.

5. On résout $x^2+1=17$, soit $x^2=16$. Les nombres dont le carré vaut 16 sont 4 et $-4$.
Vérification : $4^2+1=17$ et $(-4{)}^2+1=16+1=17$. Il faut choisir 4 ou $-4$.

1. Le triangle ABC est isocèle en A et H est le milieu de [BC] : la médiane (AH) est aussi la hauteur, donc le triangle ABH est rectangle en H, avec $AB=AC=342$ cm et $BH=290÷2=145$ cm.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H : $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$, donc $A{H}^2={342}^2-{145}^2=116964-21025=95939$.
$AH=\sqrt{95939}\approx 309,74$. La hauteur du portique est d'environ 310 cm (arrondie au cm près).

2. Les points A, M, B sont alignés, ainsi que A, N, C, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{165}{342}}={\displaystyle \frac{MN}{290}}$, d'où $MN={\displaystyle \frac{290\times 165}{342}}\approx 139,9$. Chaque barre de maintien mesure environ 140 cm.

3. On choisit pour chaque pièce l'article le moins cher qui convient :

• la poutre du haut mesure 384 cm : il faut une poutre de 4 m, soit 12,99 € ;
• les quatre pieds mesurent 342 cm chacun : une poutre de 3 m est trop courte, on prend quatre poutres de 3,5 m, soit $4\times 11,75=47$ € ;
• les deux barres de maintien mesurent environ 140 cm chacune, soit $2\times 140=280$ cm en tout : une seule barre de 3 m (6,99 €) suffit, coupée en deux. C'est moins cher que deux barres de 1,5 m ($2\times 3,89=7,78$ €) ;
• les fixations : 80 € ; les deux balançoires : 50 €.

Coût minimal : $12,99+47+6,99+80+50=196,98$. Le coût minimal du portique équipé est bien de 196,98 €.

4. Augmenter de 20 % revient à multiplier par $1+{\displaystyle \frac{20}{100}}=1,2$ : $196,98\times 1,2=236,376$. Le prix de vente est d'environ 236,38 € (arrondi au centime).

5. Dans le triangle isocèle ABC, la hauteur (AH) est aussi la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$, donc $\widehat{BAC}=2\times \widehat{BAH}$.
Dans le triangle ABH rectangle en H, [BH] est le côté opposé à l'angle $\widehat{BAH}$ et [AB] l'hypoténuse. Par le sinus : $\sin \widehat{BAH}={\displaystyle \frac{BH}{AB}}={\displaystyle \frac{145}{342}}$, d'où $\widehat{BAH}\approx 25,09$°.
Donc $\widehat{BAC}\approx 2\times 25,09\approx 50,2$°. Comme $45<50,2<55$, le portique respecte la condition de sécurité.

1. Tarif A : $8\times$ nombre de demi-journées ; tarif B : $30+5\times$ nombre de demi-journées.

2. Le tarif B vaut 30 € d'adhésion plus 5 € par demi-journée, le nombre de demi-journées étant en B1 : réponse D : =30+5*B1. (Vérification : pour B1 = 1, on obtient $30+5=35$ ; étirée en C3, elle devient =30+5*C1 et donne 40.)

3. $f(x)=8x$ est de la forme $ax$ : c'est une fonction linéaire, qui traduit une situation de proportionnalité. $g(x)=30+5x$ est affine mais pas linéaire ($g(2)=40$ n'est pas le double de $g(1)=35$). C'est la fonction $f$ (tarif A) qui traduit une situation de proportionnalité.

4. La fonction $f$ est linéaire : sa représentation est une droite passant par l'origine. On place par exemple les points $(0;0)$, $(5;40)$ et $(10;80)$, puis on trace la droite passant par l'origine et le point $(10;80)$.

5. Les deux tarifs sont égaux au point d'intersection des deux droites, de coordonnées $(10;80)$. Par le calcul : $8x=30+5x⟺3x=30⟺x=10$, et $f(10)=g(10)=80$. Les deux tarifs sont égaux pour 10 demi-journées (80 € dans les deux cas).

6. Méthode : on cherche, pour chaque tarif, le plus grand nombre de demi-journées dont le coût ne dépasse pas 100 €.

• Tarif A : $8x⩽100⟺x⩽12,5$, soit au plus 12 demi-journées (96 €).
• Tarif B : $30+5x⩽100⟺5x⩽70⟺x⩽14$, soit 14 demi-journées (exactement 100 €).

Sur le graphique, on le lit aussi : la droite de $g$ atteint 100 € pour 14 demi-journées, celle de $f$ entre 12 et 13. Avec 100 €, on peut participer au maximum à 14 demi-journées, en choisissant le tarif B.

1. a) Le triangle DEC est isocèle en D, donc ses angles à la base sont égaux : $\widehat{DEC}=\widehat{ECD}=85$°. La somme des angles d'un triangle vaut 180°, donc $\widehat{CDE}=180-2\times 85=180-170=10$°. L'angle $\widehat{CDE}$ mesure bien 10°.

1. b) Le lutin part de A, avance de 30 jusqu'à B, tourne de 90° à droite et avance de 13 jusqu'à C : il arrive en C en se déplaçant de B vers C (vers le bas). Pour repartir vers D, il doit tourner de l'angle entre le prolongement de [BC] au-delà de C et le segment [CD]. Cet angle est le supplémentaire de $\widehat{ECD}$ : $180-85=95$°. La valeur 95 est l'angle dont le lutin doit tourner en C : $180-\widehat{ECD}=180-85=95$°.

1. c) En D, l'angle de la figure est $\widehat{CDE}=10$°. Le lutin doit tourner de $180-10=170$°. Il faut compléter la ligne 8 par 170. (Contrôle : à la ligne 10, en E, il tourne de $180-85=95$°, comme en C ; et au total $95+170+95=360$° à gauche.)

2. L'éolienne compte 3 pales, et le lutin tourne de 120° après chaque pale ($3\times 120=360$° : il revient à sa direction de départ). Il faut compléter la boucle par 3 : « répéter 3 fois ».