Sujet du brevet 2020 de maths — Amérique du Nord (session de remplacement) (Série générale)

1) Programme de construction (en vraie grandeur, avec règle graduée, compas et équerre) :
– tracer le segment [AC] de longueur 10,4 cm ;
– tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm, puis un arc de cercle de centre C et de rayon 9,6 cm : leur point d'intersection est B (on laisse les deux arcs apparents) ;
– tracer [AB] et [BC] ;
– placer K sur [CB] tel que CK = 3 cm ;
– tracer la parallèle à (AB) passant par K (en faisant glisser l'équerre le long de la règle) : elle coupe [AC] en L.
On doit obtenir un angle droit en B (vérifiable à l'équerre) et CL mesure environ 3,3 cm, ce que confirment les questions suivantes.

2) Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AC].
D'une part : $A{C}^2=10,4^2=108,16$.
D'autre part : $A{B}^2+B{C}^2=4^2+9,6^2=16+92,16=108,16$.
On constate que $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3) Les points C, K, B sont alignés, les points C, L, A sont alignés, et les droites (KL) et (AB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès :
${\displaystyle \frac{CK}{CB}}={\displaystyle \frac{CL}{CA}}={\displaystyle \frac{KL}{AB}}$, soit ${\displaystyle \frac{3}{9,6}}={\displaystyle \frac{CL}{10,4}}$.
Donc $CL={\displaystyle \frac{3\times 10,4}{9,6}}={\displaystyle \frac{31,2}{9,6}}=3,25$. CL = 3,25 cm.
Vérification : ${\displaystyle \frac{3}{9,6}}=0,3125$ et $0,3125\times 10,4=3,25$.

4) Le triangle ABC est rectangle en B (question 2). Pour l'angle $\widehat{CAB}$, le côté [AB] est le côté adjacent et [AC] est l'hypoténuse. On utilise le cosinus :
$\cos \widehat{CAB}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{4}{10,4}}$.
À la calculatrice : $\widehat{CAB}=\arccos \left({\displaystyle \frac{4}{10,4}}\right)\approx 67,{38}^{\circ }$. L'angle $\widehat{CAB}$ mesure environ ${67}^{\circ }$ (au degré près).
Vérification avec la tangente : $\tan \widehat{CAB}={\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{9,6}{4}}=2,4$, et $\arctan (2,4)\approx 67,{38}^{\circ }$ : même résultat.

1) Le volume d'un cube d'arête $a$ est $a^3$. Si l'arête devient $3a$, le volume devient $(3a{)}^3=27a^3$. Dans un agrandissement de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$. Réponse D : 27.

2) Pour $x=-4$ : $(-4{)}^2+3\times (-4)+4=16-12+4=8$. Réponse A : 8.

3) On met au même dénominateur 12 : ${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{4}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$. Réponse C : ${\displaystyle \frac{7}{12}}$. (0,583 n'est qu'une valeur approchée de ${\displaystyle \frac{7}{12}}=0,58333\dots$, ce n'est pas une égalité.)

4) $1500000000=1,5\times 1000000000=1,5\times {10}^9$. En notation scientifique, le nombre devant la puissance de 10 doit être compris entre 1 et 10 (exclu), ce qui élimine $15\times {10}^8$, pourtant égal au nombre. Réponse D : $1,5\times {10}^9$.

5) D'après l'identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ : $(x-2)(x+2)=x^2-2^2=x^2-4$. Réponse A : $x^2-4$.

1) a) La symétrie centrale de centre O est un demi-tour autour de O : le polygone ❶ (en haut à gauche) est envoyé sur le polygone situé à l'opposé par rapport à O, en bas à droite. L'image du polygone ❶ est le polygone ❸.

1) b) La rotation de centre O qui transforme ❶ (en haut à gauche) en ❷ (en haut à droite) est un quart de tour (${90}^{\circ }$) dans le sens des aiguilles d'une montre. Elle envoie ❷ sur ❸, ❸ sur ❹ et ❹ sur ❶. L'image du polygone ❹ est le polygone ❶.

2) Le polygone ❺ occupe, dans le carré voisin de droite, exactement la même place et la même orientation que le polygone ❶ dans le carré ABCD : on passe de l'un à l'autre par un glissement horizontal de la longueur d'un côté du carré. C'est la translation qui transforme A en B (translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$).

3) a) Pour recouvrir exactement le tissu sans découpe avec des carrés de 9 cm de côté, il faut que 9 divise à la fois la longueur 315 et la largeur 270.
$315=9\times 35$ et $270=9\times 30$.
9 est donc un diviseur commun de 315 et 270 : on peut placer exactement 35 carrés dans la longueur et 30 carrés dans la largeur. On peut donc choisir des carrés de 9 cm de côté.

3) b) Il y a 35 carrés sur la longueur et 30 carrés sur la largeur : $35\times 30=1050$. 1 050 carrés de 9 cm de côté seront imprimés sur le tissu.
Vérification par les aires : ${\displaystyle \frac{315\times 270}{9\times 9}}={\displaystyle \frac{85050}{81}}=1050$.

1) On range les temps dans l'ordre croissant (le plus petit temps correspond à la première place) :
52,93 ; 53,23 ; 53,35 ; 53,61 ; 54,04 ; 54,07 ; 54,52 ; 54,56.
La troisième nageuse a le troisième meilleur temps. Charlotte Bonnet a nagé en 53,35 s.

2) La vitesse moyenne est $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{100}{52,93}}\approx 1,889$. La vitesse moyenne de cette nageuse est d'environ 1,9 m/s (arrondie au dixième).

3) Moyenne : on additionne les 8 temps :
$53,23+54,04+53,61+54,52+53,35+52,93+54,56+54,07$$=430,31$.
${\displaystyle \frac{430,31}{8}}=53,78875$ : la moyenne est d'environ 53,79 s.
Médiane : l'effectif est pair (8 valeurs). Dans la série rangée (question 1), la médiane est la moyenne des 4^e et 5^e valeurs : ${\displaystyle \frac{53,61+54,04}{2}}={\displaystyle \frac{107,65}{2}}=53,825$ s.
La moyenne (environ 53,79 s) est légèrement inférieure à la médiane (53,825 s) ; l'écart est très faible (moins de 4 centièmes de seconde).

4) La Grande-Bretagne a 13 médailles d'or et l'Italie 8 : $13+8=21$. La Russie en a 23. Comme $21\ne 23$, c'est faux : à elles deux, elles ont 2 médailles d'or de moins que la Russie.

5) La France a remporté 12 médailles au total (cellule F8), dont 4 d'or. Proportion de médailles d'or : ${\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx 0,333$, soit environ 33,3 %. Comme $33,3<35$, c'est faux : les médailles d'or représentent environ 33,3 % des médailles de la France, moins de 35 %.

6) Le total d'une ligne est la somme des médailles d'or, d'argent et de bronze (colonnes C, D et E). On a pu saisir en F2 : =C2+D2+E2 ou =SOMME(C2:E2). Étirée vers le bas, elle devient =C3+D3+E3, etc. Vérification : $23+15+9=47$, qui est bien la valeur affichée en F2.

On peut lister toutes les issues dans un tableau à double entrée (numéro bleu, numéro rouge). Il y a $3\times 4=12$ tirages possibles, tous équiprobables :

1) a) « On obtient deux nombres premiers » : c'est possible, par exemple avec le tirage (2 ; 3), car 2 et 3 sont premiers.
« La somme des deux nombres est égale à 12 » : la plus grande somme possible est $4+5=9$, et $9<12$. Cet évènement est donc impossible.

1) b) Les nombres premiers de l'urne bleue sont 2 et 3 (4 n'est pas premier : $4=2\times 2$) ; ceux de l'urne rouge sont 2, 3 et 5. Les tirages favorables sont : (2 ; 2), (2 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 2), (3 ; 3), (3 ; 5), soit $2\times 3=6$ tirages sur 12. $p={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. La probabilité d'obtenir deux nombres premiers est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

2) Les « doubles » possibles sont (2 ; 2), (3 ; 3) et (4 ; 4) (le 5 n'existe pas dans l'urne bleue), soit 3 tirages favorables sur 12 équiprobables : $p={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. La probabilité d'obtenir un double est bien ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.

3) a) On répète l'expérience 1 000 fois, la boule bleue est un nombre entre 2 et 4, la boule rouge un nombre entre 2 et 5. A = 1 000 ; B = 4 ; C = 5.

3) b) Le bloc « Tirer deux boules » se place à l'intérieur de la boucle « répéter 1 000 fois », au début, juste avant le bloc « si Boule bleue = Boule rouge alors » : à chaque tour, on tire deux nouvelles boules puis on teste si c'est un double.

3) c) L'élément « mettre Nombre de doubles à 0 » se place au début du script, juste sous « quand le drapeau vert est cliqué » et avant la boucle « répéter » : le compteur est remis à zéro une seule fois, avant les 1 000 tirages.

3) d) La fréquence est le nombre de doubles divisé par le nombre total de tirages, c'est-à-dire 1 000. Il faut placer la proposition ② : « dire Nombre de doubles / 1000 ». (Le résultat affiché devrait être proche de ${\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$.)