Sujet du brevet 2019 de maths — Pays du groupe 1 (Série générale)

Aucune justification n'est demandée sur la copie ; elles sont données ici pour comprendre.

1. $28=2\times 14=2\times 2\times 7=2^2\times 7$, et 2 et 7 sont premiers. Les réponses A et B contiennent 4 et 14, qui ne sont pas premiers. Réponse C : $2^2\times 7$.

2. Diminuer de 20 % revient à multiplier par $1-{\displaystyle \frac{20}{100}}=0,8$ : $58\times 0,8=46,40$. Vérification : la réduction vaut $58\times 0,2=11,60$ € et $58-11,60=46,40$. Réponse B : 46,40 €.

3. Le triangle ABC est rectangle en A. Pour l'angle $\widehat{ABC}={15}^{\circ }$, [AC] est le côté opposé et [AB] le côté adjacent. D'après la tangente : $\tan \widehat{ABC}={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$, donc $AC=25\times \tan ({15}^{\circ })\approx 6,699$. Réponse B : 6,7 m.

4. On range la série dans l'ordre croissant : 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 12. Il y a 6 valeurs (effectif pair) : la médiane est la moyenne des 3^e et 4^e valeurs, ${\displaystyle \frac{5+6}{2}}=5,5$. Réponse A : 5,5.

5. Le carré B est deux fois plus petit que le carré A (son côté mesure la moitié de celui de A), donc le rapport vaut 0,5 ou $-0,5$. Les deux carrés ont un sommet commun, qui est le centre de l'homothétie, et le carré B se trouve de l'autre côté de ce centre par rapport au carré A : le rapport est négatif. Réponse A : $-0,5$.

1. Avec 1 comme nombre de départ :
– carré : $1^2=1$ ;
– on ajoute le triple du nombre de départ : $1+3\times 1=4$ ;
– on ajoute 2 : $4+2=6$.
Le programme donne bien 6.

2. Avec $-5$ comme nombre de départ :
– carré : $(-5{)}^2=25$ ;
– on ajoute le triple du nombre de départ : $25+3\times (-5)=25-15=10$ ;
– on ajoute 2 : $10+2=12$.
On obtient 12.

3. Avec $x$ comme nombre de départ : le carré est $x^2$, on ajoute le triple $3x$, puis 2. Le résultat est $x^2+3x+2$.

4. On développe par double distributivité :
$(x+2)(x+1)$$=x\times x+x\times 1+2\times x+2\times 1$$=x^2+x+2x+2$$=x^2+3x+2$.
On retrouve l'expression de la question 3 : pour toutes les valeurs de $x$, le résultat peut s'écrire $(x+2)(x+1)$.
Vérification avec $x=1$ : $(1+2)(1+1)=3\times 2=6$, comme à la question 1.

5. a. La cellule B2 doit calculer $(x+2)(x+1)$ avec la valeur de $x$ placée en B1. Formule : =(B1+2)*(B1+1) (on accepte aussi =B1^2+3*B1+2 ou =B1*B1+3*B1+2). Étendue vers la droite, elle devient =(C1+2)*(C1+1), etc. Contrôle : pour $x=-4$, $(-4+2)(-4+1)=(-2)\times (-3)=6$, valeur affichée en B2.

5. b. Le tableur montre que le résultat vaut 0 pour $x=-2$ et pour $x=-1$. Pour être sûr qu'il n'y a pas d'autre solution, on résout l'équation $(x+2)(x+1)=0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
$x+2=0$, soit $x=-2$ ; ou $x+1=0$, soit $x=-1$.
Le programme donne 0 pour $x=-2$ et pour $x=-1$, et seulement pour ces deux valeurs.

Partie I

1. Pour $x=2$, le côté du triangle équilatéral mesure $4\times 2+1=9$ cm. Construction : tracer un segment [AB] de 9 cm, puis deux arcs de cercle de rayon 9 cm, l'un de centre A, l'autre de centre B ; leur point d'intersection est le troisième sommet C. On trace [AC] et [BC] en laissant les arcs apparents. On obtient un triangle équilatéral de côté 9 cm.

2. a. Le périmètre d'un rectangle est $2\times (\text{longueur}+\text{largeur})$ :
$P$$=2\times (4x+1,5+2x)$$=2\times (6x+1,5)$$=12x+3$.
Le périmètre du rectangle s'écrit bien $12x+3$.

2. b. On résout l'équation $12x+3=18$ : $12x=15$, donc $x={\displaystyle \frac{15}{12}}=1,25$. Vérification : $12\times 1,25+3=15+3=18$. Le périmètre du rectangle est égal à 18 cm pour $x=1,25$.

3. Le triangle équilatéral a trois côtés de longueur $4x+1$ : son périmètre est $3\times (4x+1)=12x+3$. C'est exactement le périmètre du rectangle (question 2. a). C'est vrai : les deux figures ont le même périmètre, $12x+3$, pour toutes les valeurs de $x$. Exemple de contrôle avec $x=2$ : triangle $3\times 9=27$ cm ; rectangle $2\times (9,5+4)=27$ cm.

Partie II

Script 1. Dans la boucle, le lutin avance de $4\times \text{réponse}+1,5$ (la longueur du rectangle), tourne de B degrés, avance de $2\times \text{réponse}$ (la largeur), puis tourne de ${90}^{\circ }$ : il trace une longueur et une largeur à chaque tour. Pour tracer le rectangle, il faut tourner de ${90}^{\circ }$ à chaque coin et répéter la boucle 2 fois (2 longueurs et 2 largeurs). A = 2 et B = 90 ; le script 1 construit le rectangle.

Script 2. Dans la boucle, le lutin avance de $4\times \text{réponse}+1$ (le côté du triangle) puis tourne de D degrés. Le triangle équilatéral a 3 côtés : C = 3. À chaque sommet, le lutin doit tourner de l'angle extérieur, soit ${180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$ (et $3\times {120}^{\circ }={360}^{\circ }$, un tour complet). C = 3 et D = 120 ; le script 2 construit le triangle équilatéral.

1. On complète le tableau de l'annexe 1 à l'aide des totaux :
– noir pour la ville : $20-5=15$ ;
– marron pour la ville : $27-15-7=5$ ;
– total pour le sport : $45-27=18$ ;
– blanc pour le sport : $18-5-3=10$ ;
– total blanc : $7+10=17$ ; total marron : $5+3=8$.

Vérification : $20+17+8=45$ et $15+7+5=27$.

2. a. Les 45 modèles ont la même chance d'être choisis. 20 sont noirs : $p={\displaystyle \frac{20}{45}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$. La probabilité de choisir un modèle noir est ${\displaystyle \frac{4}{9}}$.

2. b. 18 modèles sont pour le sport : $p={\displaystyle \frac{18}{45}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$. La probabilité de choisir un modèle pour le sport est ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ (soit 0,4).

2. c. 5 modèles sont à la fois pour la ville et de couleur marron : $p={\displaystyle \frac{5}{45}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$. La probabilité de choisir un modèle pour la ville de couleur marron est ${\displaystyle \frac{1}{9}}$.

3. Dans le magasin B, la probabilité d'obtenir un modèle noir est ${\displaystyle \frac{30}{54}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$. Dans le magasin A, elle vaut ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ (question 2. a). Comme ${\displaystyle \frac{5}{9}}>{\displaystyle \frac{4}{9}}$ (environ 0,56 contre 0,44), on a plus de chances d'obtenir un modèle noir dans la vitrine du magasin B.

1. Les points A, O, D sont alignés et les points B, O, C sont alignés (les droites (AD) et (BC) se coupent en O), dans le même ordre.
D'une part : ${\displaystyle \frac{OA}{OD}}={\displaystyle \frac{36}{64}}=0,5625$.
D'autre part : ${\displaystyle \frac{OB}{OC}}={\displaystyle \frac{27}{48}}=0,5625$.
Les quotients ${\displaystyle \frac{OA}{OD}}$ et ${\displaystyle \frac{OB}{OC}}$ sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2. Les droites (AD) et (BC) se coupent en O et les droites (AB) et (CD) sont parallèles (question 1). D'après le théorème de Thalès :
${\displaystyle \frac{OA}{OD}}={\displaystyle \frac{OB}{OC}}={\displaystyle \frac{AB}{DC}}$, soit ${\displaystyle \frac{36}{64}}={\displaystyle \frac{AB}{80}}$.
Donc $AB={\displaystyle \frac{36\times 80}{64}}={\displaystyle \frac{2880}{64}}=45$. AB = 45 cm.

3. La hauteur d'un étage est la longueur AC. Les droites (AC) et (CD) sont perpendiculaires, donc le triangle ACD est rectangle en C, d'hypoténuse [AD].
$AD=AO+OD=36+64=100$ cm (O est sur le segment [AD]).
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ACD rectangle en C : $A{D}^2=A{C}^2+C{D}^2$, donc $A{C}^2=A{D}^2-C{D}^2={100}^2-{80}^2=10000-6400=3600$, et $AC=\sqrt{3600}=60$ cm.
Sur la figure 1, le meuble comporte 4 étages de 60 cm et 5 plateaux de bois de 2 cm (un en bas, un en haut et un entre chaque étage) :
$4\times 60+5\times 2=240+10=250$.
La hauteur totale du meuble est de 250 cm, soit 2,50 m.

1. Une situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l'origine. Ici, la représentation passe bien par l'origine, mais c'est une ligne brisée, pas une droite. Par exemple, en 1 h la famille parcourt 4 km, mais en 2 h elle ne parcourt que 7 km (et non $2\times 4=8$ km). Ce graphique ne traduit pas une situation de proportionnalité.

2. a. La courbe s'arrête à l'abscisse 7. La randonnée a duré 7 heures.

2. b. Le dernier point a pour ordonnée 20. La famille a parcouru 20 km au total.

2. c. Au temps 6 h, on lit l'ordonnée 18. Au bout de 6 h, la famille a parcouru 18 km.

2. d. L'ordonnée 8 km est atteinte à l'abscisse 3. Les 8 premiers kilomètres ont été parcourus en 3 heures.

2. e. Entre 4 h et 5 h, la distance reste égale à 15 km (segment horizontal). La famille ne s'est pas déplacée : elle a fait une pause d'une heure.

3. La vitesse moyenne de la famille sur toute la randonnée est $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{20}{7}}\approx 2,9$ km/h. Comme $2,9<4$, la famille n'est pas expérimentée au sens de l'énoncé. Même sans compter l'heure de pause, ${\displaystyle \frac{20}{6}}\approx 3,3$ km/h, ce qui reste inférieur à 4 km/h.
Autre raisonnement : à 4 km/h, un randonneur expérimenté parcourrait les 20 km en ${\displaystyle \frac{20}{4}}=5$ h, alors que la famille a mis 7 h.

Le budget doit couvrir trois dépenses : l'achat, le remplissage en eau et l'électricité consommée par la pompe.

Achat (document 1) : 80 €.

Eau (documents 1, 3 et 4). Le diamètre de la piscine est 260 cm, donc le rayon vaut $r=130$ cm $=1,3$ m. La hauteur d'eau est $h=65$ cm $=0,65$ m (on utilise la hauteur de l'eau, pas la hauteur de 70 cm de la piscine).
$V$$=\pi \times r^2\times h$$=\pi \times 1,3^2\times 0,65$$=\pi \times 1,0985$$\approx 3,451$ m³.
Coût de l'eau : $3,451\times 2,03\approx 7,01$ €.

Électricité (documents 1 et 2). De juin à septembre inclus, il y a $30+31+31+30=122$ jours (juin : 30, juillet : 31, août : 31, septembre : 30).
Consommation : $122\times 3,42=417,24$ kWh.
Coût : $417,24\times 0,15=62,586$, soit environ 62,59 €.

Total : $80+7,01+62,59=149,60$ €.

Comme $149,60<200$, le budget de 200 € est suffisant : il reste environ 50 € (en supposant, comme les documents le suggèrent, que la piscine n'est remplie qu'une fois).