Sujet du brevet 2018 de maths — Métropole, Antilles et Guyane (Série générale)

1. Sur la carte, Pyeongchang se situe entre les parallèles 30° et 40° Nord, un peu au-dessus de 35°, et près du méridien 120° Est, un peu plus à l'est. Latitude : environ 37° Nord ; longitude : environ 128° Est (toute lecture voisine, par exemple 38° N et 125° E, est acceptée).

2. La boule a un diamètre de 23 cm, donc un rayon $R=11,5$ cm. $V$$={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$$={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 11,5^3$$={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 1520,875$$\approx 6370,6$. Le volume de la boule est bien d'environ 6 371 cm³.

3. Le cylindre a un rayon $r=6÷2=3$ cm et une hauteur $h=23$ cm : $V=\pi r^{2}h=\pi \times 3^2\times 23=207\pi \approx 650,3$ cm³. Volume total du trophée : $6371+650,3\approx 7021,3$ cm³. Proportion de la boule : ${\displaystyle \frac{6371}{7021,3}}\approx 0,907$, soit environ 91 %. Marie a raison : la boule représente environ 90 % du volume total.

1. Moyenne à Grenoble : ${\displaystyle \frac{32+39+52+57+78+63+60+82+82+89}{10}}={\displaystyle \frac{634}{10}}=63,4$ μg/m³. La moyenne à Lyon est 72,5 μg/m³. Comme $72,5>63,4$, c'est Lyon qui a eu la plus forte concentration moyenne.

2. Étendue à Grenoble : $89-32=57$ μg/m³. Étendue à Lyon : $107-22=85$ μg/m³. Lyon a l'étendue la plus importante. Cela signifie que les concentrations ont beaucoup plus varié à Lyon d'un jour à l'autre (l'écart entre le jour le moins pollué et le jour le plus pollué y est plus grand) : la pollution y a été plus irrégulière qu'à Grenoble.

3. À Lyon, la médiane vaut 83,5 μg/m³ sur 10 relevés. Par définition, au moins la moitié des valeurs, soit au moins 5 relevés, sont supérieures ou égales à la médiane, donc supérieures ou égales à 83,5, qui dépasse 80. L'affirmation est exacte : le seuil de 80 μg/m³ a été dépassé au moins 5 fois à Lyon.

1. Les 375 morceaux sont équiprobables et 125 sont du rap : $p={\displaystyle \frac{125}{375}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. La probabilité d'écouter du rap est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

2. Si $n$ est le nombre de morceaux de rock, ${\displaystyle \frac{n}{375}}={\displaystyle \frac{7}{15}}$, donc $n={\displaystyle \frac{7\times 375}{15}}=7\times 25=175$. Théo a 175 morceaux de rock.

3. Pour Théo, la probabilité d'écouter du rock est ${\displaystyle \frac{7}{15}}\approx 0,467$, soit environ 46,7 %. Pour Alice, elle est de 40 % $=0,4$. Comme $0,467>0,4$, c'est Théo qui a le plus de chances d'écouter un morceau de rock.

1. Le triangle BDC est rectangle en B, son hypoténuse est [CD]. D'après le théorème de Pythagore : $C{D}^2=C{B}^2+B{D}^2$, soit $8,5^2=7,5^2+B{D}^2$. D'où $B{D}^2=72,25-56,25=16$ et $BD=\sqrt{16}=4$. BD = 4 cm.

2. On compare les longueurs des côtés des deux triangles, rangées dans l'ordre croissant : pour CBD, $BD=4$, $CB=7,5$, $CD=8,5$ ; pour BFE, $FE=3,2$, $BF=6$, $BE=6,8$.
${\displaystyle \frac{FE}{BD}}={\displaystyle \frac{3,2}{4}}=0,8$ ; ${\displaystyle \frac{BF}{CB}}={\displaystyle \frac{6}{7,5}}=0,8$ ; ${\displaystyle \frac{BE}{CD}}={\displaystyle \frac{6,8}{8,5}}=0,8$.
Les longueurs des côtés sont proportionnelles (coefficient 0,8). Si les longueurs des côtés de deux triangles sont deux à deux proportionnelles, alors ces triangles sont semblables : les triangles CBD et BFE sont semblables.

3. Dans des triangles semblables, les angles homologues sont égaux. L'angle $\widehat{BFE}$ est compris entre les côtés [FB] et [FE], homologues de [BC] et [BD] : il est donc égal à l'angle $\widehat{CBD}$, qui est droit. Sophie a raison, $\widehat{BFE}={90}^{\circ }$. (On peut le vérifier avec la réciproque de Pythagore : $6,8^2=46,24$ et $6^2+3,2^2=36+10,24=46,24$.)

4. L'angle $\widehat{ACD}$ est la somme de $\widehat{ACB}={61}^{\circ }$ et de $\widehat{BCD}$. Dans le triangle BDC rectangle en B, $\tan \widehat{BCD}={\displaystyle \frac{BD}{CB}}={\displaystyle \frac{4}{7,5}}$, donc $\widehat{BCD}=\arctan \left({\displaystyle \frac{4}{7,5}}\right)\approx 28,1^{\circ }$. Ainsi $\widehat{ACD}\approx {61}^{\circ }+28,1^{\circ }=89,1^{\circ }$. Max a tort : l'angle $\widehat{ACD}$ mesure environ 89°, ce n'est pas un angle droit (même s'il en est très proche).

1. Avec $-1$ : $-1\times 4=-4$ ; $-4+8=4$ ; $4\times 2=8$. Le résultat final est bien 8.

2. On remonte le programme à l'envers : avant de multiplier par 2, on avait $30÷2=15$ ; avant d'ajouter 8, on avait $15-8=7$ ; avant de multiplier par 4, on avait $7÷4=1,75$. (Par l'équation : $2(4x+8)=30\iff 4x+8=15\iff 4x=7\iff x=1,75$.) Le nombre choisi au départ est 1,75.

3. On développe les deux expressions. $A=2(4x+8)=8x+16$. Pour $B$, on utilise l'identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ : $B=(4+x{)}^2-x^2=16+8x+x^2-x^2=8x+16$. Les expressions A et B sont égales à $8x+16$ pour toutes les valeurs de $x$.

4. Affirmation 1 : FAUSSE. Il suffit d'un contre-exemple : pour $x=-3$, le résultat est $2\times (4\times (-3)+8)=2\times (-4)=-8$, qui est négatif. (Le résultat $8x+16$ est négatif dès que $x<-2$.)

4. Affirmation 2 : VRAIE. Le résultat vaut $8x+16=8(x+2)$. Si $x$ est un nombre entier, alors $x+2$ est aussi un entier, et $8(x+2)$ est le produit de 8 par un entier : c'est un multiple de 8.

1. a) Le stylo part de l'origine $(0;0)$, orienté vers la droite, avec Longueur $=300$ pixels, soit 6 cm à l'échelle donnée. Le bloc « Carré » répète 4 fois « avancer de 300, tourner de 90° vers la gauche » : il trace un carré de 6 cm de côté, dont le côté inférieur va de $(0;0)$ à $(300;0)$ et qui s'élève au-dessus de ce côté ; le stylo revient à l'origine, orienté vers la droite. Le bloc « Triangle » répète 3 fois « avancer de 300, tourner de 120° vers la gauche » : il trace un triangle équilatéral de 6 cm de côté, de même côté inférieur $[(0;0);(300;0)]$, dont le sommet est à l'intérieur du carré (hauteur $\approx 5,2$ cm), et le stylo revient à l'origine. Sur la copie, on dessine un carré de 6 cm de côté et le triangle équilatéral construit sur son côté du bas, à l'intérieur.

1. b) Ligne 8 : le stylo, orienté vers la droite, avance de $300÷6=50$ pixels. Ses coordonnées sont alors $(50;0)$.

2. Sur la figure finale, le petit carré et le petit triangle partent de $(50;0)$ et la figure est symétrique par rapport à l'axe vertical passant par le milieu du grand carré (abscisse 150). Le petit carré doit donc s'arrêter à l'abscisse $300-50=250$ : son côté mesure $250-50=200$ pixels. Ligne 9 : mettre Longueur à 200 (ou « Longueur − 100 », ou « Longueur × 2 / 3 »).

3. a) Le petit carré est une réduction du grand carré, de même orientation : c'est l'image du grand carré par une homothétie, de rapport ${\displaystyle \frac{200}{300}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ ; son centre est le milieu du côté inférieur du grand carré, le point $(150;0)$. Le rapport de réduction est ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

3. b) Dans une réduction de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ : le rapport des aires est ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$. Vérification : ${\displaystyle \frac{{200}^2}{{300}^2}}={\displaystyle \frac{40000}{90000}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$. L'aire du petit carré est égale aux ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ de celle du grand carré.

1. La représentation graphique est une droite, mais elle ne passe pas par l'origine du repère (à $t=0$, la vitesse vaut 20 et non 0). Le temps et la vitesse de rotation ne sont pas proportionnels. (Autre argument : la vitesse diminue quand le temps augmente, alors que deux grandeurs proportionnelles varient dans le même sens.)

2. a) À $t=0$, la droite coupe l'axe des ordonnées en 20 : la vitesse initiale est de 20 tours par seconde.

2. b) $1$ min $20$ s $=80$ s. Pour l'abscisse 80, la droite est à l'ordonnée 3 environ : la vitesse est d'environ 3 tours par seconde.

2. c) Le hand-spinner s'arrête lorsque la vitesse est nulle, c'est-à-dire lorsque la droite coupe l'axe des abscisses, vers $t\approx 93$ s. Il s'arrête au bout d'environ 93 s (un peu plus d'1 min 30 s).

3. a) $V(30)=-0,214\times 30+20=-6,42+20=13,58$. Au bout de 30 s, la vitesse est de 13,58 tours par seconde.

3. b) Le hand-spinner s'arrête lorsque $V(t)=0$ : $-0,214t+20=0$, soit $0,214t=20$ et $t={\displaystyle \frac{20}{0,214}}\approx 93,5$. Il s'arrête au bout d'environ 93 s, ce qui confirme la lecture graphique.

3. c) Avec une vitesse initiale $V_{\text{initiale}}$, le hand-spinner s'arrête lorsque $-0,214t+V_{\text{initiale}}=0$, soit au temps $t={\displaystyle \frac{V_{\text{initiale}}}{0,214}}$. Ce temps est proportionnel à la vitesse initiale (on la divise toujours par le même nombre 0,214) : si l'on double $V_{\text{initiale}}$, on double le temps de rotation. Exemple : pour 40 tours par seconde, $t={\displaystyle \frac{40}{0,214}}\approx 187$ s, soit le double de 93,5 s. Oui, l'affirmation est vraie.