Sujet du brevet 2017 de maths — Pondichéry (Série générale)

1. On développe avec la double distributivité, puis la distributivité simple :
$E$$=(x-2)(2x+3)-3(x-2)$$=2x^2+3x-4x-6-3x+6$.
On réduit : $2x^2+(3x-4x-3x)+(-6+6)$$=2x^2-4x$. $E=2x^2-4x$.

2. Le facteur commun est $(x-2)$ :
$E$$=(x-2)(2x+3)-3(x-2)$$=(x-2)[(2x+3)-3]$$=(x-2)\times 2x$.
Donc $E=2x(x-2)$. Comme $F=x(x-2)$, on a $E=2\times x(x-2)=2F$. On a bien $E=2F$.
Vérification : $2x(x-2)=2x^2-4x$, on retrouve le résultat de la question 1.

3. L'équation $(x-2)(2x+3)-3(x-2)=0$ s'écrit $E=0$, soit, d'après la question 2, $2x(x-2)=0$.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul (propriété du produit nul) :
$2x=0$, soit $x=0$ ; ou $x-2=0$, soit $x=2$.
Les nombres cherchés sont 0 et 2.

Les 20 boules ont la même probabilité d'être tirées : on est dans une situation d'équiprobabilité, et la probabilité d'un événement est égale à ${\displaystyle \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{20}}$.

1. Une seule boule porte le numéro 13. La probabilité de tirer la boule numérotée 13 est ${\displaystyle \frac{1}{20}}$.

2. Les numéros pairs de 1 à 20 sont 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 et 20 : il y en a 10. ${\displaystyle \frac{10}{20}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. La probabilité de tirer un numéro pair est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

3. Les multiples de 4 entre 1 et 20 sont 4, 8, 12, 16 et 20 : il y en a 5, donc la probabilité d'obtenir un multiple de 4 est ${\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.
Les diviseurs de 4 sont 1, 2 et 4 : il y en a 3, donc la probabilité d'obtenir un diviseur de 4 est ${\displaystyle \frac{3}{20}}$.
Comme ${\displaystyle \frac{5}{20}}>{\displaystyle \frac{3}{20}}$, on a plus de chances d'obtenir un multiple de 4 que d'obtenir un diviseur de 4.

4. Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 20 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19 : il y en a 8. ${\displaystyle \frac{8}{20}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$. La probabilité de tirer un nombre premier est ${\displaystyle \frac{2}{5}}$.

Le script demande un nombre $x$, puis : « Étape 1 » prend la valeur $6\times x$ ; « Étape 2 » prend la valeur Étape 1 $+10$ ; « Résultat » prend la valeur Étape 2 $÷2$ ; enfin le lutin dit « J'obtiens finalement » suivi de Résultat.

1. a) Avec $x=5$ : Étape 1 $=6\times 5=30$ ; Étape 2 $=30+10=40$ ; Résultat $=40÷2=20$. Le programme dit bien « J'obtiens finalement 20 ».

1. b) Avec $x=7$ : Étape 1 $=6\times 7=42$ ; Étape 2 $=42+10=52$ ; Résultat $=52÷2=26$. Le programme dit « J'obtiens finalement 26 ».

2. On remonte le programme en faisant les opérations inverses à partir de 8 : avant la division par 2, on avait $8\times 2=16$ ; avant l'ajout de 10, on avait $16-10=6$ ; avant la multiplication par 6, on avait $6÷6=1$.
Julie a choisi le nombre 1. Vérification : $6\times 1=6$, $6+10=16$, $16÷2=8$.

3. Avec $x$ au départ : Étape 1 $=6x$, Étape 2 $=6x+10$, Résultat $={\displaystyle \frac{6x+10}{2}}={\displaystyle \frac{6x}{2}}+{\displaystyle \frac{10}{2}}$.
Le programme donne ${\displaystyle \frac{6x+10}{2}}=3x+5$.
Vérification avec 5 : $3\times 5+5=20$.

4. Le programme de Maxime donne, pour un nombre $x$ : $(x+2)\times 5=5x+10$.
On cherche $x$ tel que les deux résultats soient égaux : $3x+5=5x+10$, d'où $5-10=5x-3x$, soit $-5=2x$, donc $x=-2,5$.
Vérification : Julie obtient $3\times (-2,5)+5=-7,5+5=-2,5$ ; Maxime obtient $(-2,5+2)\times 5=-0,5\times 5=-2,5$.
Oui : en choisissant $-2,5$, Julie et Maxime obtiennent le même résultat, $-2,5$.

1. Une minute dure 60 secondes, soit $4\times 15$ secondes. En 1 minute, il y a donc $18\times 4=72$ pulsations. La fréquence cardiaque de Denis est de 72 pulsations par minute.

2. Une pulsation toutes les 0,8 s correspond, en 60 s, à $60÷0,8=75$ pulsations. Le cardiofréquencemètre affiche 75 pulsations par minute.

3. a) L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale : $182-65=117$. L'étendue des fréquences cardiaques enregistrées est de 117 pulsations par minute.

3. b) Le cœur a battu 3 640 fois au total, à la fréquence moyenne de 130 pulsations par minute. La durée est donc $3640÷130=28$ minutes. L'entraînement a duré 28 minutes.
Vérification : $130\times 28=3640$.

4. a) Denis a 32 ans : $f(32)=220-32=188$. La FCMC de Denis est bien de 188 pulsations par minute.

4. b) Pour une personne de 15 ans : $f(15)=220-15=205$ pulsations par minute. $205-188=17$. La FCMC d'une personne de 15 ans (205 pulsations/min) est supérieure de 17 pulsations par minute à celle de Denis. La FCMC diminue quand l'âge augmente.

5. La cellule C2 doit calculer $g(a)=191,5-0,007\times a^2$, l'âge étant dans la cellule A2. On saisit dans C2 : =191,5-0,007*A2^2 (ou =191,5-0,007*A2*A2), puis on recopie vers le bas.
Vérification : $191,5-0,007\times {30}^2=191,5-6,3=185,2$, valeur affichée en C2.

1. a) On additionne les quatre productions : $415,9+25,8+67,5+31=540,2$. La production totale d'électricité en France en 2014 est de 540,2 TWh.

1. b) ${\displaystyle \frac{31}{540,2}}\approx 0,0574$, soit environ 5,74 %. La part des « Autres énergies » est bien d'environ 5,7 %.

2. Les deux élèves ne comparent pas la même chose.

• Tom raisonne en pourcentage d'évolution (variation relative) : les « Autres énergies » ont augmenté de 10,3 %, contre seulement 3 % pour le nucléaire. En proportion, ce sont elles qui ont le plus augmenté.
• Alice raisonne en quantité (variation absolue, en TWh) : le nucléaire est passé de 403,8 à 415,9 TWh, soit $415,9-403,8=12,1$ TWh de plus, alors que les « Autres énergies » sont passées de 28,1 à 31 TWh, soit $31-28,1=2,9$ TWh de plus. En quantité, c'est le nucléaire qui a le plus augmenté.

Les deux ont raison, chacun selon son point de vue : une petite production qui augmente un peu peut avoir un fort pourcentage d'évolution ; une très grosse production qui augmente beaucoup en TWh peut avoir un faible pourcentage d'évolution.

3. a) Il faut des longueurs dans la même unité, ici le mètre. La grande base a 46 cm de diamètre, donc $R=23$ cm $=0,23$ m ; la petite base a 20 cm de diamètre, donc $r=10$ cm $=0,1$ m ; $h=2500$ m.
$R^2+R\times r+r^2$$=0,{23}^2+0,23\times 0,1+0,1^2$$=0,0529+0,023+0,01$$=0,0859$.
$V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times 2500\times 0,0859\approx 224,9$.
Le volume du puits est d'environ 225 m³.

3. b) Augmenter une quantité de 30 % revient à la multiplier par $1+{\displaystyle \frac{30}{100}}=1,3$.
$224,9\times 1,3\approx 292,4$ (avec la valeur arrondie 225 m³ : $225\times 1,3=292,5$).
Le volume de terre à stocker est d'environ 292 m³.

Pour comparer les trois pentes, on les exprime toutes en pourcentage.

Route du château des Adhémar (Montélimar) : le panneau indique directement une pente de 24 %.

Route du col du Grand Colombier : le triangle formé par le dénivelé, le déplacement horizontal et la route est rectangle ; la route (1,5 km = 1 500 m) en est l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore :
$1{500}^2={280}^2+d^2$, où $d$ est le déplacement horizontal, donc $d^2=1{500}^2-{280}^2=2250000-78400=2171600$ et $d=\sqrt{2171600}\approx 1473,6$ m.
Pente $={\displaystyle \frac{280}{1473,6}}\approx 0,190$, soit environ 19 %.

Route de l'Alto de l'Angliru : dans le triangle rectangle, l'angle de 12,4° est formé par la route et le déplacement horizontal. Le dénivelé est le côté opposé à cet angle et le déplacement horizontal (146 m) est le côté adjacent. Par définition de la tangente :
$\tan (12,4^{\circ })={\displaystyle \frac{\text{dénivelé}}{146}}$, donc dénivelé $=146\times \tan (12,4^{\circ })\approx 32,1$ m.
Pente $={\displaystyle \frac{32,1}{146}}\approx 0,220$, soit environ 22 %. (La pente est exactement $\tan (12,4^{\circ })\approx 0,220$.)

Classement dans l'ordre décroissant : château des Adhémar (24 %), puis Alto de l'Angliru (environ 22 %), puis col du Grand Colombier (environ 19 %).

1. Si le tarif était proportionnel à la masse, le quotient ${\displaystyle \frac{\text{tarif}}{\text{masse}}}$ serait toujours le même. Or ${\displaystyle \frac{0,80}{20}}=0,04$ et ${\displaystyle \frac{1,60}{100}}=0,016$ : ces quotients sont différents. (Autrement dit, la masse est multipliée par 5 entre 20 g et 100 g, mais le tarif seulement par 2.)
Le tarif d'affranchissement n'est donc pas proportionnel à la masse de la lettre.

2. Masse d'une feuille A4. Son aire est $21\text{cm}\times 29,7\text{cm}=0,21\text{ m}\times 0,297\text{ m}=0,06237$ m². Avec un grammage de 80 g/m², une feuille pèse $80\times 0,06237=4,9896$ g, soit environ 5 g.
Masse des 4 feuilles (2 lettres de motivation et 2 CV) : $4\times 4,9896=19,9584$ g.
Masse d'une enveloppe : $175÷50=3,5$ g.
Masse totale du courrier : $19,9584+3,5=23,4584$ g, soit environ 23,5 g.
Le courrier pèse plus de 20 g mais moins de 100 g : il faut prendre la tranche « jusqu'à 100 g ».
Alban doit choisir le tarif à 1,60 €.