Sujet du brevet 2017 de maths — Polynésie (Série générale)

Aucune justification n'est demandée ; elles sont données ici pour comprendre.

1. 1 Go = 1 000 Mo, donc une clé de 32 Go contient 32 000 Mo. On calcule ${\displaystyle \frac{32000}{700}}\approx 45,7$ : il faut donc environ 46 CD (avec 1 Go = 1 024 Mo, on trouve ${\displaystyle \frac{32768}{700}}\approx 46,8$, et 46 reste de loin la seule réponse plausible). Réponse A : 46.

2. La diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles de côtés 10 cm et 20 cm. D'après le théorème de Pythagore : $d^2={10}^2+{20}^2=100+400=500$, donc $d=\sqrt{500}\approx 22,4$ cm. Réponse B : 22 cm.

3. $2x+3=7x-4$ donne $3+4=7x-2x$, soit $7=5x$, donc $x={\displaystyle \frac{7}{5}}=1,4$. Vérification : $2\times 1,4+3=5,8$ et $7\times 1,4-4=9,8-4=5,8$. Réponse B : 1,4.

4. On décompose : $882=2\times 3^2\times 7^2$ et $1134=2\times 3^4\times 7$. Le PGCD est $2\times 3^2\times 7=126$. Donc ${\displaystyle \frac{882}{1134}}={\displaystyle \frac{126\times 7}{126\times 9}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$. Réponse C : ${\displaystyle \frac{7}{9}}$. (La fraction ${\displaystyle \frac{63}{81}}$ est égale mais n'est pas irréductible : 63 et 81 sont divisibles par 9.)

5. En B2, il faut calculer l'image du nombre écrit en B1 : $f(\text{B1})=3\times \text{B1}+4$. En recopiant vers la droite, B1 devient C1 puis D1. Réponse C : =3*B1+4. (Avec A1, on calculerait à partir du texte « x » ; avec =3*5+4, on obtiendrait toujours 19, même après recopie.)

Longueur d'une motrice (A) : d'après le schéma, $5000+14000=19000$ mm, soit 19 m.

Longueur d'une voiture (B) : $18300$ mm, soit 18,3 m.

Longueur d'une rame (2 motrices et 10 voitures) : $2\times 19+10\times 18,3=38+183=221$ m.

Longueur du TGV (2 rames) : $2\times 221=442$ m.

Vitesse : le train entier passe devant l'observateur en 13,53 s, c'est-à-dire qu'il parcourt sa propre longueur, 442 m, en 13,53 s.
$v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{442}{13,53}}\approx 32,67$ m/s.
Pour convertir en km/h, on multiplie par 3,6 (1 m/s = 3 600 m/h = 3,6 km/h) : ${\displaystyle \frac{442}{13,53}}\times 3,6={\displaystyle \frac{1591,2}{13,53}}\approx 117,6$ km/h.

Vérification : $117,6\times 13,53\approx 1591$, ce qui correspond bien à $442\times 3,6=1591,2$.

Le TGV est passé devant l'observateur à environ 118 km/h.

1. a) On trace un segment [CD] de 6,8 cm, puis la perpendiculaire à (CD) passant par D (à l'équerre). On place E sur cette perpendiculaire tel que DE = 3,4 cm, et on trace [CE].

1. b) Le triangle CDE est rectangle en D, donc d'après le théorème de Pythagore : $C{E}^2=C{D}^2+D{E}^2$.
$C{E}^2=6,8^2+3,4^2=46,24+11,56=57,8$, donc $CE=\sqrt{57,8}\approx 7,60$.
CE ≈ 7,6 cm au dixième de centimètre près.

2. a) On place F sur [CD] à 2 cm de C (donc à 4,8 cm de D).

2. b) On trace, au compas, un arc de cercle de centre F et de rayon 1 cm : G est un point d'intersection de cet arc avec [CE]. Le point attendu est celui qui se trouve à environ 2,2 cm de C.

2. c) Traçons la parallèle à (DE) passant par F : elle coupe [CE] en un point que l'on note G'. Dans le triangle CDE, F appartient à [CD], G' appartient à [CE] et (FG') est parallèle à (DE), donc d'après le théorème de Thalès :
${\displaystyle \frac{CF}{CD}}={\displaystyle \frac{C{G}^{\prime }}{CE}}={\displaystyle \frac{F{G}^{\prime }}{DE}}$, d'où $F{G}^{\prime }=DE\times {\displaystyle \frac{CF}{CD}}=3,4\times {\displaystyle \frac{2}{6,8}}=1$ cm.
Le point G' est donc un point de [CE] situé à exactement 1 cm de F : c'est le point G construit à la question précédente (à $CG=CE\times {\displaystyle \frac{2}{6,8}}\approx 2,2$ cm de C).
Les droites (FG) et (DE) sont donc parallèles.

1. On regarde la lettre inscrite sur le gâteau tiré. Les issues sont B, A, K, L et V. (Elles ne sont pas équiprobables : la lettre A figure sur 3 gâteaux sur 7.)

2. a) Les 7 gâteaux ont la même probabilité d'être tirés et un seul porte la lettre L. $P(\text{L})={\displaystyle \frac{1}{7}}$.

2. b) Trois gâteaux sur 7 portent la lettre A, donc $P(\text{A})={\displaystyle \frac{3}{7}}$. L'événement « la lettre tirée n'est pas un A » est l'événement contraire : $P=1-{\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{4}{7}}$ (ce sont les 4 gâteaux B, K, L, V). La probabilité vaut ${\displaystyle \frac{4}{7}}$.

3. Le sachet contient au départ $10-2-4=4$ baklavas à la noix. La probabilité de piocher un gâteau à la noix au premier tirage était ${\displaystyle \frac{4}{10}}=0,4$.
Après qu'Enzo a mangé un gâteau à la noix, il reste 9 gâteaux dont 3 à la noix. La probabilité devient ${\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx 0,33$.
Comme ${\displaystyle \frac{1}{3}}<0,4$, Enzo a maintenant moins de chances de tirer un gâteau à la noix. Laura a tort.

1. On choisit $-2$ ; on le multiplie par $-4$ : $(-2)\times (-4)=8$ ; on ajoute 5 : $8+5=13$. On obtient bien 13.

2. On cherche $x$ tel que $-4x+5=-3$, soit $-4x=-8$, donc $x={\displaystyle \frac{-8}{-4}}=2$. Vérification : $-4\times 2+5=-3$. Il faut choisir 2.

3. Le script demande un nombre ; si $-4\times \text{réponse}+5$ est strictement négatif, le lutin dit « Bravo », sinon il dit « Essaie encore ».

3. a) Avec 12 : $-4\times 12+5=-48+5=-43$, et $-43<0$. Le lutin dit « Bravo ».

3. b) Avec $-5$ : $-4\times (-5)+5=20+5=25$, et 25 n'est pas inférieur à 0. Le lutin dit « Essaie encore ».

4. $-4x+5<0$
$-4x<-5$
On divise les deux membres par $-4$, nombre négatif, donc le sens de l'inégalité change : $x>{\displaystyle \frac{-5}{-4}}$, soit $x>1,25$.
Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 1,25.

5. Le lutin dit « Bravo » exactement lorsque $-4\times \text{réponse}+5<0$, c'est-à-dire, d'après la question 4, lorsque le nombre choisi est strictement supérieur à 1,25. On est certain d'obtenir « Bravo » si le nombre choisi est strictement supérieur à 1,25. (Pour 1,25 exactement, le résultat vaut 0, et le lutin dit « Essaie encore ».)

Durée d'un tour complet. D'après le plan, la ligne 1 dessert 8 arrêts (Mairie, École, Pompier, Lycée, Piscine, Bibliothèque, Cathédrale, Place) : un tour complet compte donc 8 trajets entre deux arrêts, soit $8\times 3=24$ minutes.
La ligne 2 dessert aussi 8 arrêts (Mairie, Cathédrale, Conservatoire, Stade, Horloge, Marché, Collège, Gendarmerie) : un tour dure $8\times 4=32$ minutes.

Passages à la Mairie. Le bus de la ligne 1 repasse à la Mairie toutes les 24 minutes après 6 h 30, celui de la ligne 2 toutes les 32 minutes. Ils s'y retrouvent ensemble après un nombre de minutes qui est un multiple commun de 24 et de 32.
Multiples de 24 : 24, 48, 72, 96, … ; multiples de 32 : 32, 64, 96, …
Par décomposition : $24=2^3\times 3$ et $32=2^5$, donc le plus petit multiple commun est $2^5\times 3=96$.
Les deux bus se retrouvent donc à la Mairie toutes les 96 minutes, soit toutes les 1 h 36 min.

Horaires. Entre 6 h 30 et 20 h, il s'écoule 13 h 30 min, soit 810 minutes, et $810÷96\approx 8,4$ : il y a donc 8 rencontres après le départ commun. En ajoutant 1 h 36 min à chaque fois :

La rencontre suivante serait à 20 h 54, après l'arrêt du service. Vérification : $8\times 96=768$ min = 12 h 48 min et 6 h 30 + 12 h 48 min = 19 h 18.

Oui, les deux bus se retrouvent à la Mairie : à 8 h 06, 9 h 42, 11 h 18, 12 h 54, 14 h 30, 16 h 06, 17 h 42 et 19 h 18 (en plus du départ commun de 6 h 30).