Sujet du brevet 2017 de maths — Brevet Ameri Nord 7 juin 2017 (Série générale)

Aucune justification n'est demandée ; les calculs ci-dessous permettent de vérifier les réponses.

1. On réduit au même dénominateur 12 : ${\displaystyle \frac{7}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{21}{12}}+{\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{29}{12}}$. Réponse B : ${\displaystyle \frac{29}{12}}$.

2. $5x+12=3$ donne $5x=3-12=-9$, donc $x={\displaystyle \frac{-9}{5}}=-1,8$. Vérification : $5\times (-1,8)+12=-9+12=3$. Réponse C : $-1,8$.

3. $\sqrt{5}\approx 2,236$, donc ${\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}\approx {\displaystyle \frac{3,236}{2}}\approx 1,618$, soit 1,6 au dixième près. Réponse B : 1,6.

1. Construction avec AB = 3 cm :

• tracer un carré ABCD de côté 3 cm (quatre côtés de 3 cm, quatre angles droits) ;
• tracer la diagonale [AC], puis le cercle de centre A passant par C (rayon AC ≈ 4,2 cm) ;
• prolonger le côté [AB] au-delà de B en une demi-droite [AB) : le point E est l'intersection de cette demi-droite et du cercle (AE = AC ≈ 4,2 cm) ;
• tracer le segment [DE], puis construire le carré DEFG à l'équerre et au compas, du côté opposé au point A, comme sur la figure (EF = FG = GD = DE et angles droits).

2. a) ABCD est un carré de côté 10 cm, donc le triangle ABC est rectangle en B avec AB = BC = 10 cm. D'après le théorème de Pythagore : $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2={10}^2+{10}^2=100+100=200$. Une longueur étant positive, $AC=\sqrt{200}$ cm.

2. b) Le point E appartient au cercle de centre A et de rayon [AC]. Tous les points de ce cercle sont à la distance AC du centre A, donc $AE=AC$. Ainsi $AE=\sqrt{200}$ cm.

2. c) Le point E est sur la demi-droite [AB) et l'angle $\widehat{DAB}$ du carré est droit, donc le triangle ADE est rectangle en A, avec AD = 10 cm et AE = $\sqrt{200}$ cm. D'après le théorème de Pythagore : $D{E}^2=A{D}^2+A{E}^2={10}^2+{\left(\sqrt{200}\right)}^2=100+200=300$.
L'aire du carré DEFG de côté DE est $D{E}^2=300$ cm², et l'aire du carré ABCD est ${10}^2=100$ cm². Comme $300=3\times 100$, l'aire du carré DEFG est bien le triple de l'aire du carré ABCD.

3. L'aire de DEFG est le triple de celle de ABCD. Pour obtenir 48 cm², l'aire de ABCD doit être $48÷3=16$ cm². Si AB = $c$, alors $c^2=16$ avec $c>0$, donc $c=4$. Il faut choisir AB = 4 cm. Vérification : $3\times 4^2=3\times 16=48$ cm².

Les 12 boules sont indiscernables au toucher : les 12 issues sont équiprobables.

1. Les numéros pairs sont 2, 4, 6, 8, 10 et 12, soit 6 boules : $p(\text{pair})={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Les multiples de 3 sont 3, 6, 9 et 12, soit 4 boules : $p(\text{multiple de 3})={\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Comme ${\displaystyle \frac{1}{2}}>{\displaystyle \frac{1}{3}}$, il est plus probable d'obtenir un numéro pair.

2. Toutes les boules portent un numéro compris entre 1 et 12, donc inférieur à 20 : c'est un événement certain. La probabilité vaut 1.

3. Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6 : on retire ces 4 boules. Il reste $12-4=8$ boules : 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11 et 12. Parmi elles, les nombres premiers (qui ont exactement deux diviseurs, 1 et eux-mêmes) sont 5, 7 et 11, soit 3 boules ($4=2\times 2$, $8=2\times 4$, $9=3\times 3$, $10=2\times 5$, $12=2\times 6$ ne sont pas premiers). La probabilité est donc ${\displaystyle \frac{3}{8}}=3÷8=0,375$. On retrouve bien une probabilité de 0,375.

Partie 1

1. Sur le document 2, la population en 2015 est de 64 millions d'habitants. D'après le document 1, 4,7 % de la population souffrait d'allergies alimentaires en 2015 : $64000000\times {\displaystyle \frac{4,7}{100}}=3008000$ personnes. En 2010, les personnes concernées étaient deux fois moins nombreuses : $3008000÷2=1504000$. En 2010, environ 1 500 000 personnes souffraient d'allergies alimentaires (à 100 000 près).

2. D'après le document 2, la population de 1970 est d'environ 50 millions d'habitants (la courbe part juste au-dessus de 50). 1 % de cette population représente environ $50000000\times {\displaystyle \frac{1}{100}}=500000$ personnes. En 2015, il y en avait environ 3 008 000. Or ${\displaystyle \frac{3008000}{500000}}\approx 6,0$ (et avec 50,3 millions lus plus finement, ${\displaystyle \frac{3008000}{503000}}\approx 5,98$). C'est vrai : il y avait environ 6 fois plus de personnes concernées en 2015 qu'en 1970.

Partie 2

1. Dans le collège, la proportion d'élèves allergiques est ${\displaystyle \frac{32}{681}}\approx 0,04699$, soit environ 4,699 %. Dans la population française en 2015, elle est de 4,7 %. Comme $4,699<4,7$, la proportion du collège n'est pas supérieure à celle de la population française : elle lui est pratiquement égale (environ 4,7 % dans les deux cas).

2. $6+8+11+5+9=39$. Le tableau compte des allergies, et non des élèves : un même élève peut être allergique à plusieurs aliments (par exemple au lait et à l'œuf), il est alors compté dans plusieurs colonnes. Certains élèves ont plusieurs allergies : cela explique les $39-32=7$ allergies « en trop ».

3. a) Les aliments sont des catégories (caractère qualitatif) : il n'y a aucun sens à relier la valeur du lait à celle des fruits par un segment, comme si la donnée évoluait de façon continue d'un aliment à l'autre. Un diagramme en bâtons (ou en barres) convient pour comparer des effectifs de catégories séparées. C'est Lucas qui a fait le choix le mieux adapté.

3. b) On complète le diagramme en barres de Lucas avec une barre par aliment, de même largeur et régulièrement espacées :

• Lait : 6 (déjà tracée) ;
• Fruits : 8 (déjà tracée) ;
• Arachides : 11 ;
• Poisson : 5 ;
• Œuf : 9.

L'axe vertical de Lucas s'arrête à 9 : il faut le prolonger jusqu'à 11 au moins (en gardant la même graduation de 1 en 1) pour tracer la barre des arachides.

1. Les points du fond sont espacés de 40 unités. Le centre de la balle est à 4 intervalles à droite de l'axe vertical et à 3 intervalles au-dessus de l'axe horizontal : $x=4\times 40=160$ et $y=3\times 40=120$. (Vérification avec le chat : il est 3 intervalles à gauche et 2 en dessous de O, ce qui donne bien $(-120;-80)$.) Le centre de la balle a pour coordonnées $(160;120)$.

2. a) La flèche droite ajoute 80 à $x$, alors que la flèche gauche ajoute seulement $-40$ à $x$. Après → puis ←, l'abscisse a varié de $80+(-40)=40$ : elle vaut $-120+40=-80$. Les deux déplacements ne se compensent pas : le chat se retrouve en $(-80;-80)$, 40 unités à droite de son point de départ.

2. b) Pour $x$ : deux fois → et une fois ←, donc $x=-120+80+80-40=0$. Pour $y$ : une fois ↑ et une fois ↓, donc $y=-80+80-40=-40$. Le chat est en $x=0$ et $y=-40$.

2. c) Pour atteindre la balle, il faut passer de $(-120;-80)$ à $(160;120)$ : $x$ doit augmenter de 280 et $y$ de 200.

• Déplacement 1 (7 fois →, 5 fois ↑) : $x=-120+7\times 80=440$ et $y=-80+5\times 80=320$. Le chat dépasse la balle.
• Déplacement 2 (4 fois →, 1 fois ←, 3 fois ↑, 1 fois ↓) : $x=-120+4\times 80-40=160$ et $y=-80+3\times 80-40=120$. Le chat arrive sur la balle.
• Déplacement 3 (4 fois →, 3 fois ↑, 2 fois ↓) : $x=-120+4\times 80=200$ et $y=-80+3\times 80-2\times 40=80$. Le chat n'est pas sur la balle.

C'est le déplacement 2 qui permet au chat d'atteindre la balle.

3. D'après le dernier script, à chaque touche pressée le programme teste si le chat touche la balle. Quand il l'atteint, le chat dit « Je t'ai attrapé » pendant 2 secondes, puis le bloc Départ est exécuté : le chat revient à sa position de départ $(-120;-80)$ et le jeu recommence.

1. a) Le grillage forme la ligne BCDEF : BC + CD + DE + EF. OCDE est un rectangle, donc ses côtés opposés sont égaux :

• OC = OB + BC = 6 + 5 = 11 m, donc DE = OC = 11 m ;
• OE = OF + FE = 4 + 15 = 19 m, donc CD = OE = 19 m.

Longueur de grillage : $BC+CD+DE+EF=5+19+11+15=50$ m. Leïla utilise bien les 50 m de grillage.

1. b) L'enclos OCDE est un rectangle de dimensions OC = 11 m et OE = 19 m. Son aire est $𝒜=11\times 19=209$ m². L'aire de l'enclos est bien 209 m².

2. À la question 1, BC = 5 m. On remplace $x$ par 5 dans la formule : $𝒜(5)=-5^2+18\times 5+144=-25+90+144=209$. On retrouve 209 m² : la formule de la voisine est cohérente avec la question 1.

3. a) La formule de B2 utilise la cellule B1 ; en l'étirant vers la droite, B1 devient C1, D1, etc. En F2, on trouve =-F1*F1+18*F1+144.

3. b) La plus grande valeur de la ligne 2 est 225, obtenue pour $x=9$. Leïla choisira BC = 9 m.

3. c) Avec BC = 9 m : OC = 6 + 9 = 15 m. Le grillage mesure 50 m, donc $BC+CD+DE+EF=9+CD+15+EF=50$, d'où $CD+EF=26$. Comme CD = OE = 4 + EF, on obtient $4+2EF=26$, donc EF = 11 m et CD = OE = 15 m. L'enclos est un carré de 15 m sur 15 m (aire $15\times 15=225$ m², ce qui correspond bien au tableau).