Sujet du brevet 2017 de maths — Amérique du Sud (session de remplacement) (Série générale)

L'urne contient 8 boules indiscernables, numérotées 7 ; 7 ; 5 ; 2 ; 7 ; 6 ; 7 ; 4. Chaque boule a la même probabilité d'être tirée : on est dans une situation d'équiprobabilité.

1. Quatre boules portent le numéro 7 sur 8 boules. $p={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. La probabilité de tirer une boule portant le numéro 7 est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

2. Les numéros pairs sont 2, 6 et 4 : 3 boules sur 8, donc $p(\text{pair})={\displaystyle \frac{3}{8}}$. Les numéros impairs sont les quatre 7 et le 5 : 5 boules sur 8, donc $p(\text{impair})={\displaystyle \frac{5}{8}}$. Comme ${\displaystyle \frac{3}{8}}<{\displaystyle \frac{5}{8}}$, Wacim a tort : il a plus de chances de tirer un numéro impair.

3. La boule 5 n'est pas remise : il reste 7 boules dans l'urne (7 ; 7 ; 2 ; 7 ; 6 ; 7 ; 4), dont toujours 4 boules numérotées 7. $p={\displaystyle \frac{4}{7}}$. La probabilité que Baptiste tire un 7 est ${\displaystyle \frac{4}{7}}\approx 0,57$.

Il faut calculer la surface habitable (partie grisée), puis le loyer maximal autorisé, et le comparer à 700 €.

Largeur de la partie habitable. Le triangle BHJ est rectangle en H, avec $\widehat{JBH}={30}^{\circ }$ et $JH=1,80$ m. Dans ce triangle, [JH] est le côté opposé à l'angle $\widehat{JBH}$ et [HB] le côté adjacent. On utilise la tangente :
$\tan \widehat{JBH}={\displaystyle \frac{JH}{HB}}$, donc $HB={\displaystyle \frac{JH}{\tan {30}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{1,80}{\tan {30}^{\circ }}}\approx 3,118$ m.
Comme K est le milieu de [AB] (AK = KB = 5 m), on a $KH=KB-HB\approx 5-3,118=1,882$ m.
Le triangle ABC est isocèle en C et la hauteur [CK] est un axe de symétrie de la figure : la partie habitable s'étend de la même façon de part et d'autre de K. Sa largeur est donc $2\times KH\approx 2\times 1,882=3,764$ m.

Surface habitable. La partie grisée est un rectangle de longueur 8 m (la longueur du prisme) et de largeur environ 3,764 m :
$S\approx 3,764\times 8\approx 30,1$ m².

Loyer maximal. Le loyer est limité à 20 € par m² de surface habitable : $30,1\times 20\approx 602$ €.

Le loyer maximal autorisé est d'environ 602 €, inférieur à 700 € : Madame Duchemin ne peut pas louer son studio à ce prix.

1. a) Léo : $-3\times 6+5=-18+5=-13$. Léo obtient $-13$.

1. b) Julie : $-3+8=5$ ; $5\times (-3)=-15$ ; le carré du nombre de départ est $(-3{)}^2=9$ ; $-15-9=-24$. Julie obtient $-24$.

2. Notons $x$ le nombre de départ.
Programme de Léo : $6x+5$.
Programme de Julie : $(x+8)\times x-x^2=x^2+8x-x^2=8x$.
Ils obtiennent le même résultat lorsque $6x+5=8x$, soit $5=8x-6x$, soit $2x=5$, donc $x={\displaystyle \frac{5}{2}}=2,5$.
Vérification : Léo obtient $6\times 2,5+5=20$ et Julie $(2,5+8)\times 2,5-2,5^2=26,25-6,25=20$.
Ils doivent choisir le nombre 2,5.

Affirmation 1 : FAUSSE. $11\times 13=143$ est un multiple de 11 et un multiple de 13. Les nombres 11 et 13 ont donc au moins un multiple commun (et même une infinité : 143, 286, 429…).

Affirmation 2 : FAUSSE. La somme des chiffres de 231 est $2+3+1=6$, qui est divisible par 3, donc 231 est divisible par 3 : $231=3\times 77=3\times 7\times 11$. Il a d'autres diviseurs que 1 et lui-même : ce n'est pas un nombre premier.

Affirmation 3 : VRAIE. Le tiers de ${\displaystyle \frac{6}{15}}$ est ${\displaystyle \frac{6}{15}}÷3={\displaystyle \frac{6}{15\times 3}}={\displaystyle \frac{6}{45}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$. Autre méthode : $3\times {\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{6}{15}}$.

Affirmation 4 : FAUSSE. La multiplication est prioritaire : $15-5\times 7+3=15-35+3=-17$, et non 73 (on obtient 73 seulement en calculant à tort de gauche à droite : $10\times 7+3$).

Affirmation 5 : VRAIE. Le plus grand côté est [AC]. D'une part $A{C}^2=7,5^2=56,25$ ; d'autre part $A{B}^2+B{C}^2=4,5^2+6^2=20,25+36=56,25$. On a $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (le sommet opposé au plus grand côté).

1. On lit dans le tableau, à l'intersection de la ligne « Pétrole » et de la colonne « 1980 » : en 1980, le pétrole représentait 56,4 % de la consommation d'énergie.

2. Sur le diagramme, le secteur « Pétrole » est un peu plus grand que le secteur « Électricité », et chacun représente un peu plus d'un tiers du disque. Seule l'année 1990 correspond : pétrole 38,7 % et électricité 36,4 %. Les autres années ne conviennent pas : en 1973 et 1980, l'électricité est très faible (4,3 % et 11,7 %) ; en 2002 et 2014, l'électricité dépasse le pétrole (41,7 % contre 34,6 % et 45,4 % contre 30,2 %).
On peut vérifier avec les angles : en 1990, le secteur « Charbon » mesure $8,4\times 3,6\approx {30}^{\circ }$ et il est bien plus grand que celui des énergies renouvelables ($5\times 3,6={18}^{\circ }$), comme sur le diagramme.
Le diagramme correspond à l'année 1990.

3. a) $P(1990)$$=-{\displaystyle \frac{17}{48}}\times 1990+743,5$$=-{\displaystyle \frac{33830}{48}}+743,5$$\approx -704,79+743,5$$\approx 38,71$.
On a bien $P(1990)\approx 38,7$.

3. b) La part du pétrole est nulle lorsque $P(a)=0$ :
$-{\displaystyle \frac{17}{48}}a+743,5$$=0⟺{\displaystyle \frac{17}{48}}a$$=743,5⟺a$$={\displaystyle \frac{743,5\times 48}{17}}$$={\displaystyle \frac{35688}{17}}$$\approx 2099,3$.
Vérification : $P(2099)\approx 0,10>0$ et $P(2100)=-743,75+743,5=-0,25<0$.
D'après ce modèle, la part du pétrole sera nulle à partir de l'année 2100 (elle s'annule au cours de l'année 2099).

Le bloc « carré » pose le stylo, trace un carré de côté « longueur » (4 fois : avancer de longueur, tourner de 90°), puis relève le stylo. Après un carré, le lutin revient à son point de départ, dans la même direction : tous les carrés partent donc du même coin.

1. a) Programme n° 1 : la longueur vaut 10, puis on lui ajoute 20 après chaque carré. Les côtés successifs sont 10, 30, 50 et 70 pixels : ils augmentent toujours de la même quantité (20), et le premier carré est petit par rapport aux autres (le 2^e est 3 fois plus grand, le 3^e 5 fois, le 4^e 7 fois). C'est le dessin n° 2.

1. b) Programme n° 2 : la longueur vaut 10, puis elle est multipliée par 2 après chaque carré. Les côtés successifs sont 10, 20, 40 et 80 pixels : chaque carré a un côté double du précédent. C'est le dessin n° 3. (Le dessin n° 1, avec des côtés de 1, 2, 3 et 4 fois le plus petit, ne correspond à aucun des deux programmes.)

1. c) Le bloc « carré » est exécuté 4 fois ; la dernière modification de la longueur a lieu après le 4^e carré et ne sert donc plus à rien.
Programme n° 1 : 10 → 30 → 50 → 70. Le plus grand carré a un côté de 70 pixels.
Programme n° 2 : 10 → 20 → 40 → 80. Le plus grand carré a un côté de 80 pixels.

2. C'est la modification 1. (Après chaque carré, le lutin avance, stylo relevé, de « longueur + 10 » : il dépasse le carré qu'il vient de tracer et laisse un espace de 10 pixels avant le carré suivant, dont le côté a doublé. Dans la modification 3, le déplacement a lieu après la boucle : les carrés restent emboîtés.)

1. On multiplie chaque masse par l'apport énergétique correspondant (les 37,7 g d'autres éléments n'apportent pas d'énergie) :
lipides : $5,3\times 9=47,7$ kcal ; protéines : $6,4\times 4=25,6$ kcal ; glucides : $0,6\times 4=2,4$ kcal.
$47,7+25,6+2,4=75,7$. La valeur énergétique de l'œuf est de 75,7 kcal.

2. Pour 100 g de chocolat, notons $g$ la masse de glucides (en g). L'énergie apportée vaut 520 kcal :
$30\times 9+4,5\times 4+g\times 4=520$, soit $270+18+4g=520$, donc $4g=232$ et $g=58$.
Il y a 58 g de glucides dans 100 g de chocolat. La masse de glucides est proportionnelle à la masse de chocolat ; la tablette pèse 200 g, soit 2 fois plus : $58\times 2=116$.
Vérification : $270+18+58\times 4=270+18+232=520$ kcal.
La tablette de 200 g contient 116 g de glucides.