Sujet du brevet 2016 de maths — Pondichéry (Série générale)

Distance à parcourir. Mélanie entre sur l'autoroute à la sortie n° 11 et doit la quitter à la sortie n° 3. D'après l'affichage du GPS, les distances entre les sorties sont : 16 km de la sortie 11 à la sortie 9, 16 km de la sortie 9 à la sortie 7, 6 km de la sortie 7 à la sortie 6 et 13 km de la sortie 6 à la sortie 3. La distance sur l'autoroute est donc $d=16+16+6+13=51$ km.

Durée disponible. Le rendez-vous est à 17 h et il faut 3 minutes de la sortie n° 3 au lieu de rendez-vous : Mélanie doit donc atteindre la sortie n° 3 à 16 h 57. Elle entre sur l'autoroute à 16 h 33. La durée du trajet sur l'autoroute est $16\text{ h }57-16\text{ h }33=24$ min, soit $t={\displaystyle \frac{24}{60}}=0,4$ h.

Vitesse moyenne. $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{51}{0,4}}=127,5$ km/h.

Mélanie doit rouler à une vitesse moyenne de 127,5 km/h sur l'autoroute pour arriver à l'heure exacte.

Vérification : en 24 min à 127,5 km/h, elle parcourt $127,5\times 0,4=51$ km. Cette vitesse reste inférieure à la limite de 130 km/h sur autoroute.

1. On compare les colonnes B (2000) et C (2010). Le nombre d'exploitations augmente pour les surfaces comprises entre 100 et 200 ha (de 64 à 73 milliers) et supérieures à 200 ha (de 15 à 21 milliers). Toutes les autres catégories diminuent.

2. Dans la cellule B8, on saisit =SOMME(B3:B7) (ou =B3+B4+B5+B6+B7).

3. En étirant la formule vers la droite, la cellule C8 contient =SOMME(C3:C7) et affiche $235+88+98+73+21=515$. La cellule C8 affiche 515, soit 515 milliers d'exploitations en 2010. (Pour information, B8 affiche $359+138+122+64+15=698$.)

4. Le nombre d'exploitations de plus de 200 ha passe de 15 à 21 milliers, soit une hausse de $21-15=6$ milliers. Le pourcentage d'augmentation est ${\displaystyle \frac{6}{15}}=0,4=40\%$. Vérification : $15\times 1,4=21$. Oui, le nombre d'exploitations de plus de 200 ha a bien augmenté de 40 %.

1. Pour 50 boîtes, il faut $50\times 10=500$ bonbons au chocolat et $50\times 8=400$ bonbons au caramel. Le confiseur doit fabriquer 500 bonbons au chocolat et 400 bonbons au caramel.

2. Une boîte contient $10+8=18$ bonbons, tous ayant la même chance d'être pris, dont 10 au chocolat. La probabilité cherchée est $p={\displaystyle \frac{10}{18}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$. La probabilité d'obtenir un bonbon au chocolat est ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ (environ 0,56).

3. On ne sait pas quel bonbon Jim a mangé en premier ; on étudie les deux cas. Il reste 17 bonbons dans la boîte.

• Si le premier bonbon était au chocolat, il reste 9 bonbons au chocolat et 8 au caramel : $p(\text{chocolat})={\displaystyle \frac{9}{17}}$ et $p(\text{caramel})={\displaystyle \frac{8}{17}}$.
• Si le premier bonbon était au caramel, il reste 10 bonbons au chocolat et 7 au caramel : $p(\text{chocolat})={\displaystyle \frac{10}{17}}$ et $p(\text{caramel})={\displaystyle \frac{7}{17}}$.

Dans les deux cas, il reste plus de bonbons au chocolat que de bonbons au caramel. Il est donc plus probable que Jim prenne un bonbon au chocolat.

4. a. Avec 10 bonbons au chocolat par boîte, il faudrait que 473 soit un multiple de 10. Or 473 ne se termine pas par 0 : $473=47\times 10+3$. De même, $387=48\times 8+3$ n'est pas un multiple de 8. Non, il ne peut pas constituer de telles boîtes en utilisant tous les bonbons.

4. b. Le nombre de boîtes doit diviser à la fois 473 et 387, et on le veut le plus grand possible : c'est le PGCD de 473 et 387. Avec l'algorithme d'Euclide :

• $473=1\times 387+86$ ;
• $387=4\times 86+43$ ;
• $86=2\times 43+0$.

Le dernier reste non nul est 43, donc $\text{PGCD}(473;387)=43$. Ensuite $473÷43=11$ et $387÷43=9$.

Le confiseur peut faire 43 boîtes identiques, contenant chacune 11 bonbons au chocolat et 9 bonbons au caramel. Vérification : $43\times 11=473$ et $43\times 9=387$.

1. Le parcours est ABCDEF : sa longueur est $AB+BC+CD+DE+EF$. On connaît $AB=6$ km et $EF=750$ m $=0,75$ km.

Calcul de BC. ABCH est un rectangle, donc $CH=AB=6$ km, $BC=AH$ et le triangle ACH est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ACH rectangle en H : $A{C}^2=A{H}^2+C{H}^2$, donc $A{H}^2=7,5^2-6^2=56,25-36=20,25$ et $AH=\sqrt{20,25}=4,5$. Ainsi BC = AH = 4,5 km.

Calcul de CD. ABGF est un rectangle, donc $BG=AF=12,5$ km. Les points B, C, D, G sont alignés dans cet ordre, donc $CG=BG-BC=12,5-4,5=8$ km et $CD=CG-DG=8-7=1$. CD = 1 km.

Calcul de DE. Dans le triangle GCF, D appartient au segment [GC], E appartient au segment [GF] et les droites (DE) et (CF) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{GD}{GC}}={\displaystyle \frac{GE}{GF}}={\displaystyle \frac{DE}{CF}}$, soit ${\displaystyle \frac{7}{8}}={\displaystyle \frac{DE}{10}}$, d'où $DE={\displaystyle \frac{7\times 10}{8}}=8,75$. DE = 8,75 km.

Longueur totale : $6+4,5+1+8,75+0,75=21$. Le parcours mesure bien 21 km.

2. L'hélicoptère consomme 1,1 L par km. Pour 21 km, il lui faut $21\times 1,1=23,1$ L de carburant. Or $23,1\text{ L}>20\text{ L}$ : avec 20 L, l'hélicoptère tomberait en panne avant la fin du trajet. Le pilote ne doit pas avoir confiance en l'inspecteur G. : 20 L ne suffisent pas, il faut au moins 23,1 L.

1. Faux. On développe avec la double distributivité :
$h(t)$$=(-5t-1,35)(t-3,7)$$=-5t^2+18,5t-1,35t+4,995$$=-5t^2+17,15t+4,995$.
On n'obtient pas $-5t^2-19,85t-4,995$ : l'affirmation est fausse (erreurs de signe sur le terme en $t$ et sur le terme constant).

2. Faux. Quand Gaëtan quitte la rampe, $t=0$ : $h(0)=(-1,35)\times (-3,7)=4,995$. Il est donc à environ 5 m de hauteur et non à 3,8 m, ce que confirme le graphique (la courbe part de 5 sur l'axe vertical). L'affirmation est fausse.

3. Vrai. Le saut se termine quand la hauteur redevient nulle. $h(3,7)$$=(-5\times 3,7-1,35)\times (3,7-3,7)$$=(-19,85)\times 0$$=0$. Sur le graphique, la courbe coupe l'axe horizontal en $t=3,7$. Le saut dure 3,7 s, donc moins de 4 secondes : l'affirmation est vraie.

4. Vrai. $h(3,5)$$=(-5\times 3,5-1,35)(3,5-3,7)$$=(-18,85)\times (-0,2)$$=3,77$. Comme $h(3,5)=3,77$, 3,5 est bien un antécédent de 3,77 par la fonction $h$ : l'affirmation est vraie.

5. Faux. Sur le graphique, la courbe monte jusqu'à son sommet, atteint vers $t\approx 1,7$ s (environ 19,7 m), puis redescend : le sommet est situé après la verticale $t=1,5$. Le calcul le confirme : $h(1,5)=(-8,85)\times (-2,2)=19,47$ alors que $h(1,7)=(-9,85)\times (-2)=19,7$. Gaëtan est donc plus haut à 1,7 s qu'à 1,5 s, et la courbe est croissante entre 0 et 1,5 s. La hauteur maximale est atteinte après 1,5 seconde : l'affirmation est fausse.

1. On calcule la remise de chaque étiquette, en euros puis en pourcentage du prix initial.

• Étiquette 1 : prix initial 120 €, prix soldé 105 €. Remise : $120-105=15$ €, soit ${\displaystyle \frac{15}{120}}=0,125=12,5\%$.
• Étiquette 2 : prix initial 45 €, remise de 30 %, soit $45\times {\displaystyle \frac{30}{100}}=13,50$ €.
• Étiquette 3 : prix initial 25 €, remise de 12,50 €, soit ${\displaystyle \frac{12,5}{25}}=0,5=50\%$.

Le plus fort pourcentage de remise est 50 %, sur l'étiquette 3.

2. En euros, la plus forte remise est celle de l'étiquette 1 (15 €, contre 13,50 € et 12,50 €). Mais en pourcentage, c'est la plus faible (12,5 %, contre 30 % et 50 %). Non, la plus forte remise en euros n'est pas la plus forte en pourcentage : un pourcentage dépend du prix de départ.

1. Réponse B : $(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$. On applique l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=2x$ et $b=3$ : $(2x{)}^2-2\times 2x\times 3+3^2=4x^2-12x+9$.

2. Réponse C : $-1$ et $2,5$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : $x+1=0$ donne $x=-1$ ; $2x-5=0$ donne $x={\displaystyle \frac{5}{2}}=2,5$.

3. Réponse B : $\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}$ (on additionne deux fois la même quantité). Contre-exemple pour la réponse C : avec $a=1$, $\sqrt{1}+\sqrt{1}=2$ alors que $\sqrt{2}\approx 1,41$.

1. L'escalier est formé de deux prismes droits superposés dont les bases sont des triangles rectangles ; d'après les plans, les deux prismes ont la même hauteur (épaisseur) de 0,20 m. On utilise l'information 1 : volume du prisme = aire de la base × hauteur.

• Prisme du haut : base triangulaire rectangle de côtés de l'angle droit 1,36 m et 1,28 m. Aire de la base : ${\displaystyle \frac{1,36\times 1,28}{2}}=0,8704$ m². Volume : $V_1=0,8704\times 0,20=0,17408$ m³.
• Prisme du bas : base triangulaire rectangle de côtés de l'angle droit 3,40 m et 3,20 m. Aire de la base : ${\displaystyle \frac{3,40\times 3,20}{2}}=5,44$ m². Volume : $V_2=5,44\times 0,20=1,088$ m³.

Volume total : $V=0,17408+1,088=1,26208$. Le volume de l'escalier est bien égal à 1,262 08 m³.

2. On convertit : $1,26208$ m³ $=1262,08$ dm³ $=1262,08$ L (car 1 L = 1 dm³). D'après l'étiquette, un sac de 35 kg permet d'obtenir 100 L de béton courant. Il faut donc ${\displaystyle \frac{1262,08}{100}}=12,6208$ sacs. Comme on ne peut acheter qu'un nombre entier de sacs, on arrondit à l'entier supérieur : 12 sacs ne donneraient que 1 200 L, ce qui est insuffisant. Il faut 13 sacs de ciment de 35 kg.

3. L'étiquette indique 17 L d'eau par sac pour du béton courant. La quantité d'eau est proportionnelle à la quantité de ciment utilisée, donc pour fabriquer exactement 1 262,08 L de béton, il faut $12,6208\times 17\approx 214,55$ L d'eau. Il faut environ 215 L d'eau pour cet ouvrage. Si Monsieur Joseph gâche entièrement ses 13 sacs, il utilisera $13\times 17=221$ L d'eau.