Sujet du brevet 2016 de maths — Brevet-AmeriqueDuNord-9juin-2016 (Série générale)

Affirmation 1. On résout l'équation : $5x+4=2x+17$, donc $5x-2x=17-4$, soit $3x=13$ et $x={\displaystyle \frac{13}{3}}$. Or ${\displaystyle \frac{13}{3}}\approx 4,33$ n'est pas un nombre entier (13 n'est pas divisible par 3). L'affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2. Le plus grand côté est [DE], car $13\sqrt{7}>12\sqrt{7}$ et $13\sqrt{7}=\sqrt{1183}>\sqrt{175}$. On calcule séparément :
$D{E}^2=(13\sqrt{7}{)}^2=169\times 7=1183$ ;
$C{D}^2+C{E}^2$$=(\sqrt{175}{)}^2+(12\sqrt{7}{)}^2$$=175+144\times 7$$=175+1008$$=1183$.
On a $D{E}^2=C{D}^2+C{E}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en C (le sommet opposé au plus grand côté). L'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Lunettes : la réduction est de $45-31,50=13,50$ €, soit ${\displaystyle \frac{13,50}{45}}=0,30$, c'est-à-dire 30 %.
Montre : la réduction est de $56-42=14$ €, soit ${\displaystyle \frac{14}{56}}=0,25$, c'est-à-dire 25 %.
Comme 25 % < 30 %, le pourcentage de réduction sur la montre est inférieur à celui des lunettes. L'affirmation 3 est fausse.

1. a) En haut de la station, il y a $2+2+1=5$ pistes, choisies au hasard (situation d'équiprobabilité), dont 2 rouges. La probabilité que la piste soit rouge est ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ (soit 0,4).

1. b) À partir du restaurant, il y a 7 pistes dont une seule bleue. La probabilité qu'il emprunte une piste bleue est ${\displaystyle \frac{1}{7}}$.

2. Il s'agit d'une expérience à deux épreuves : la probabilité de prendre une piste noire en haut est ${\displaystyle \frac{2}{5}}$, puis celle de prendre une piste noire à partir du restaurant est ${\displaystyle \frac{3}{7}}$. Sur un arbre de probabilités, on multiplie les probabilités le long du chemin « noire puis noire » : $p={\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{6}{35}}$. La probabilité qu'il enchaîne deux pistes noires est ${\displaystyle \frac{6}{35}}$ (environ 0,17).

1. a) La plus grande valeur de la ligne 2 est 148 901. C'est en février que la station a vendu le plus de forfaits « journée ».

1. b) Total de la saison : $60457+60457+148901+100058+10035=379908$ forfaits. Le tiers du total vaut ${\displaystyle \frac{379908}{3}}=126636$. Comme $148901>126636$, la station vend plus du tiers de ses forfaits en février (cela représente ${\displaystyle \frac{148901}{379908}}\approx 0,39$, soit environ 39 %). Ninon a raison.

2. Dans la cellule G2, on saisit =SOMME(B2:F2) (ou, ce qui est équivalent, =B2+C2+D2+E2+F2).

3. La saison compte 5 mois (de décembre à avril). Moyenne : ${\displaystyle \frac{379908}{5}}=75981,6$. La station vend en moyenne environ 75 982 forfaits « journée » par mois (arrondi à l'unité).

1. Le télésiège est ouvert de 9 h à 16 h, soit pendant $16-9=7$ heures. Au débit maximal de 3 000 skieurs par heure : $7\times 3000=21000$. Ce télésiège peut transporter 21 000 skieurs dans la journée.

2. Le skieur parcourt 1 453 m à la vitesse de 5,5 m/s. D'après la relation $t={\displaystyle \frac{d}{v}}$ : $t={\displaystyle \frac{1453}{5,5}}\approx 264,18$ s, soit 264 s arrondi à la seconde. Or $264=4\times 60+24$. Le trajet dure environ 264 s, soit 4 min 24 s.

3. Le câble, l'horizontale et la verticale forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le câble (1 453 m) et dont le côté opposé à l'angle cherché est le dénivelé : $2261-1839=422$ m. Dans ce triangle rectangle, on utilise le sinus : $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}}={\displaystyle \frac{422}{1453}}$, donc $\alpha =\arcsin \left({\displaystyle \frac{422}{1453}}\right)\approx 16,9$°. Le câble forme avec l'horizontale un angle d'environ 17° (arrondi au degré).

1. a) Pour deux journées :
Tarif 1 : $2\times 40,50=81$ € ;
Tarif 2 : $31+2\times 32=31+64=95$ €.
Comme $81<95$, le tarif 1 est le plus intéressant pour Elliot.

1. b) Pour $n$ journées, le tarif 1 coûte $40,5n$ euros et le tarif 2 coûte $31+32n$ euros. Le tarif 2 est plus intéressant lorsque $31+32n<40,5n$, c'est-à-dire $31<8,5n$, soit $n>{\displaystyle \frac{31}{8,5}}\approx 3,65$. Comme $n$ est un nombre entier de journées, il faut $n⩾4$. Vérification : pour 3 jours, tarif 1 = 121,50 € et tarif 2 = 127 € ; pour 4 jours, tarif 1 = 162 € et tarif 2 = 159 €. Le tarif 2 devient plus intéressant à partir de 4 journées de ski.

2. a) La droite du tarif 1 passe par l'origine du repère (0 jour, 0 €). Une situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l'origine. C'est le tarif 1 dont le prix est proportionnel au nombre de jours skiés ; la droite du tarif 2, elle, coupe l'axe des ordonnées à 31 € et non à 0.

2. b) Pour 6 jours, on lit environ 245 € pour le tarif 1 et environ 225 € pour le tarif 2 (les valeurs exactes sont $6\times 40,50=243$ € et $31+6\times 32=223$ €). La différence de prix est d'environ 20 € en faveur du tarif 2.

2. c) On trace la droite horizontale d'ordonnée 275. Elle coupe la droite du tarif 1 entre 6 et 7 jours, et celle du tarif 2 entre 7 et 8 jours. Le nombre de jours étant entier, Elliot peut skier au maximum 6 jours avec le tarif 1 et 7 jours avec le tarif 2 (7 jours au tarif 2 coûtent 255 €, 8 jours coûteraient 287 €). Avec 275 €, Elliot peut skier au maximum 7 jours, en choisissant le tarif 2.

1. Le plan de section est parallèle à la base, donc les droites (O'B') et (OB) sont parallèles. Dans le triangle SOB, O' appartient à [SO], B' appartient à [SB] et (O'B') // (OB) : d'après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{S{B}^{\prime }}{SB}}={\displaystyle \frac{S{O}^{\prime }}{SO}}={\displaystyle \frac{O^{\prime }{B}^{\prime }}{OB}}$.
Comme O' est le milieu de [OS], ${\displaystyle \frac{S{O}^{\prime }}{SO}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (on le vérifie aussi avec les rayons : ${\displaystyle \frac{O^{\prime }{B}^{\prime }}{OB}}={\displaystyle \frac{15}{30}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$). Donc $S{B}^{\prime }={\displaystyle \frac{SB}{2}}$ : B' est le milieu de [SB], et $S{B}^{\prime }=B{B}^{\prime }=240$ cm. Ainsi $SB=2\times 240$. On a bien SB = 480 cm.

2. Le cône est de révolution : la hauteur [SO] est perpendiculaire à la base, donc le triangle SOB est rectangle en O. Le rayon de la base est $OB={\displaystyle \frac{AB}{2}}=30$ cm. D'après le théorème de Pythagore : $S{B}^2=S{O}^2+O{B}^2$, donc $S{O}^2={480}^2-{30}^2=230400-900=229500$, et $SO=\sqrt{229500}\approx 479,06$ cm. SO ≈ 479 cm (arrondi au centimètre).

3. Le volume d'air est celui du tronc de cône : volume du grand cône moins volume du petit cône.
Grand cône : $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times {30}^2\times \sqrt{229500}=300\pi \sqrt{229500}\approx 451505$ cm³.
Le petit cône (sommet S, base de centre O') est une réduction du grand de rapport $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; son volume est donc multiplié par $k^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$ : $V^{\prime }={\displaystyle \frac{V}{8}}\approx 56438$ cm³.
Volume de la manche à air : $V-V^{\prime }={\displaystyle \frac{7}{8}}V=262,5\pi \sqrt{229500}\approx 395066,8$ cm³. La manche à air contient environ 395 067 cm³ d'air (soit environ 395 L).

1. La famille compte 2 adultes et 2 enfants, pour 6 jours de forfait.
Formule 1 : $2\times 187,50+2\times 162,50=375+325=700$ €.
Formule 2 : carte famille 120 €, puis par jour $2\times 25+2\times 20=90$ €, donc $120+6\times 90=120+540=660$ €.
Comme $660<700$, la formule 2 est la plus intéressante (660 € au lieu de 700 €).

2. On additionne toutes les dépenses du séjour :

• studio 4 personnes pour la semaine du 20/02 au 27/02 : 1 020 € ;
• location du matériel pendant 6 jours : par jour, 2 adultes à ski ($2\times 17=34$ €), Anaïs à ski (10 €) et Thomas en snowboard (19 €), soit $34+10+19=63$ € par jour, donc $6\times 63=378$ € ;
• forfaits (formule 2) : 660 € ;
• nourriture et sorties : 500 €.

Total : $1020+378+660+500=2558$ €. La famille doit prévoir un budget total de 2 558 €.