Sujet du brevet 2016 de maths — Asie (Série générale)

1. Réponse B : ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. L'urne contient $10+20=30$ boules, dont 10 rouges : $p={\displaystyle \frac{10}{30}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

2. Réponse C : $4+3x(3x+4)$. D'après l'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ : $(3x+2{)}^2=9x^2+12x+4$. Or $4+3x(3x+4)=4+9x^2+12x$ : c'est la même expression. (La réponse A oublie le double produit $12x$, la réponse B oublie d'élever 3 au carré.)

3. Réponse C : 4. On teste : $4^2-2\times 4-8=16-8-8=0$. (Avec 0 on obtient $-8$, avec 3 on obtient $9-6-8=-5$.)

4. Réponse C : 8. Quand toutes les longueurs sont multipliées par $k=2$, les volumes sont multipliés par $k^3=2^3=8$.

1. Le pylône est vertical et la chaussée horizontale, donc le triangle ACD est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore : $C{D}^2=A{C}^2+A{D}^2={76}^2+{154}^2=5776+23716=29492$.
Donc $CD=\sqrt{29492}\approx 171,7$. Le hauban [CD] mesure environ 172 m.

2. Dans le triangle ACD rectangle en A, [AC] est le côté opposé à l'angle $\widehat{CDA}$ et [AD] le côté adjacent. On utilise la tangente : $\tan \widehat{CDA}={\displaystyle \frac{AC}{AD}}={\displaystyle \frac{76}{154}}\approx 0,494$.
À la calculatrice : $\widehat{CDA}=\arctan \left({\displaystyle \frac{76}{154}}\right)\approx 26,3^{\circ }$. L'angle $\widehat{CDA}$ mesure environ ${26}^{\circ }$.

3. Les points A, E, C sont alignés, ainsi que les points A, F, D, dans le même ordre.
$AE=AC-EC=76-5=71$ m et $AF=AD-FD=154-12=142$ m.
D'une part ${\displaystyle \frac{AE}{AC}}={\displaystyle \frac{71}{76}}\approx 0,934$ ; d'autre part ${\displaystyle \frac{AF}{AD}}={\displaystyle \frac{142}{154}}\approx 0,922$.
Pour comparer sans arrondi, on calcule les produits en croix : $71\times 154=10934$ et $76\times 142=10792$. Ils sont différents, donc ${\displaystyle \frac{AE}{AC}}\ne {\displaystyle \frac{AF}{AD}}$.
Si les droites (EF) et (CD) étaient parallèles, ces quotients seraient égaux d'après le théorème de Thalès. D'après la contraposée du théorème de Thalès, les haubans [CD] et [EF] ne sont pas parallèles.

On vérifie les trois critères l'un après l'autre. L'effectif total est $4+36+53+79+145+82+56+38+7=500$ paquets.

Critère 1 : la moyenne.
$\overline{x}$$={\displaystyle \frac{56\times 4+57\times 36+58\times 53+59\times 79+60\times 145+61\times 82+62\times 56+63\times 38+64\times 7}{500}}$
$\overline{x}$$={\displaystyle \frac{224+2052+3074+4661+8700+5002+3472+2394+448}{500}}$$={\displaystyle \frac{30027}{500}}$$\approx 60,05$.
Comme $59,9⩽60,054⩽60,1$, le premier critère est respecté.

Critère 2 : l'étendue. $64-56=8$ et $8⩽10$ : le deuxième critère est respecté.

Critère 3 : l'écart interquartile. On calcule les effectifs cumulés croissants :

Premier quartile : ${\displaystyle \frac{500}{4}}=125$, donc $Q_1$ est la 125^e valeur de la série rangée. Les valeurs de rang 94 à 172 valent 59, donc $Q_1=59$.
Troisième quartile : ${\displaystyle \frac{3\times 500}{4}}=375$, donc $Q_3$ est la 375^e valeur. Les valeurs de rang 318 à 399 valent 61, donc $Q_3=61$.
Écart interquartile : $Q_3-Q_1=61-59=2$ et $2⩽3$ : le troisième critère est respecté.

Les trois critères sont respectés : la nouvelle machine respecte les critères de qualité et peut être validée.

1. La piste est formée de deux segments de 109 m et de deux demi-cercles de diamètre 58 m, qui forment ensemble un cercle entier de diamètre 58 m.
Longueur $=2\times 109+\pi \times 58=218+58\pi \approx 218+182,2=400,2$ m. La piste mesure bien environ 400 m.

2. Adèle. Elle a parcouru 6 tours et 150 m : $6\times 400+150=2550$ m (avec la longueur exacte, environ 2 551 m). Adèle est une femme de 31 ans : on lit la colonne « De 30 à 39 ans » du tableau des femmes. Comme $2550>2500$, son indice est « Très bon ».
Mathéo. Il a couru 12 min à la vitesse moyenne de 13,5 km/h. Or 12 min $={\displaystyle \frac{12}{60}}$ h $=0,2$ h, donc $d=v\times t=13,5\times 0,2=2,7$ km $=2700$ m. Mathéo est un homme de 27 ans : on lit la colonne « Moins de 30 ans » du tableau des hommes. Comme $2401⩽2700⩽2800$, son indice est « Bon ».
Les deux indices sont au moins « moyen » : Adèle et Mathéo participeront tous les deux au marathon.

1. D'après la cellule H2 (colonne où $x=3$), ou par le calcul $f(3)=2\times 3+1=7$. L'image de 3 par la fonction $f$ est 7.

2. La cellule C3 contient $g(-2)$ : $g(-2)$$=(-2{)}^2+4\times (-2)-5$$=4-8-5$$=-9$. Le nombre qui doit apparaître dans la cellule C3 est $-9$.

3. La cellule B2 calcule $f(x)=2x+1$ pour la valeur de $x$ située en B1. Formule : =2*B1+1

4. On cherche une colonne où la ligne 2 ($f(x)$) est strictement inférieure à la ligne 3 ($g(x)$). Pour $x=2$ : $f(2)=5$ et $g(2)=7$, et $5<7$. Le nombre 2 est une solution de l'inéquation (3 convient aussi : $7<16$).

5. On cherche $x$ tel que $f(x)=1$ : $2x+1=1$, donc $2x=0$ et $x=0$. On le retrouve dans le tableur : pour $x=0$ (colonne E), $f(x)=1$. Un antécédent de 1 par la fonction $f$ est 0.

1. Affirmation 1 : fausse. Deux nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun positif est 1. Contre-exemple : 9 et 15 sont impairs, mais ils sont tous les deux divisibles par 3 ($9=3\times 3$ et $15=3\times 5$). Ils ne sont donc pas premiers entre eux.

2. Affirmation 2 : fausse. Contre-exemple avec $a=9$ et $b=16$ : $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$, alors que $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Comme $7\ne 5$, l'égalité n'est pas vraie pour tous les entiers positifs.

3. Affirmation 3 : vraie. Augmenter de 20 % revient à multiplier par 1,2 ; augmenter de 30 % revient à multiplier par 1,3. Au total, le prix est multiplié par $1,2\times 1,3=1,56=1+{\displaystyle \frac{56}{100}}$, ce qui correspond à une augmentation de 56 %. (Exemple : 100 € deviennent 120 €, puis $120\times 1,3=156$ €.)

Volume de cocktail nécessaire. Pour 6 personnes : $60+30+12+12=114$ cl. Pour 20 personnes, on applique la proportionnalité : $114\times {\displaystyle \frac{20}{6}}=380$ cl, soit 3,8 L, c'est-à-dire $3800$ cm³.

Volume du récipient. C'est une demi-sphère de diamètre 26 cm, donc de rayon $r=13$ cm :
$V$$={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$$={\displaystyle \frac{2}{3}}\times \pi \times {13}^3$$={\displaystyle \frac{2}{3}}\times \pi \times 2197$$\approx 4601$ cm³, soit environ 4,6 L.

Conclusion. $4601$ cm³ $>3800$ cm³ : le récipient de Romane est assez grand pour préparer le cocktail pour 20 personnes (il reste environ 0,8 L de marge).