Sujet du brevet 2016 de maths — Antilles-Guyane (Série générale)

1. Parmi les 500 composants de l'usine A, 27 sont défectueux. Les tirages étant équiprobables : $p={\displaystyle \frac{27}{500}}=0,054$. La probabilité qu'un composant de l'usine A soit défectueux est ${\displaystyle \frac{27}{500}}$, soit 0,054.

2. On prélève cette fois parmi les composants défectueux : il y en a $27+38=65$, dont 27 proviennent de l'usine A. $p={\displaystyle \frac{27}{65}}\approx 0,415$. La probabilité qu'un composant défectueux provienne de l'usine A est ${\displaystyle \frac{27}{65}}$, soit environ 0,42.

3. Usine A : ${\displaystyle \frac{27}{500}}={\displaystyle \frac{5,4}{100}}$, soit 5,4 % de composants défectueux, ce qui est inférieur à 7 %.
Usine B : ${\displaystyle \frac{38}{500}}={\displaystyle \frac{7,6}{100}}$, soit 7,6 % de composants défectueux, ce qui est supérieur à 7 %.
La condition n'est pas remplie pour l'usine B. Le contrôle n'est donc pas satisfaisant.

1. Programme A avec 2 : $2\times (-2)=-4$ ; $-4+13=9$. On obtient bien 9.

2. Soit $x$ le nombre choisi. Le programme B donne $(x-7)\times 3=3(x-7)$. On résout $3(x-7)=9$ : $x-7=3$, donc $x=10$. Vérification : $10-7=3$ et $3\times 3=9$. Il faut choisir 10 au départ.

3. Avec un nombre de départ $x$, le programme A donne $-2x+13$ et le programme B donne $3(x-7)=3x-21$. On cherche $x$ tel que :
$-2x+13=3x-21$
$13+21=3x+2x$
$34=5x$
$x={\displaystyle \frac{34}{5}}=6,8$.
Vérification : programme A : $6,8\times (-2)+13=-13,6+13=-0,6$ ; programme B : $(6,8-7)\times 3=-0,2\times 3=-0,6$. Oui : en choisissant 6,8, les deux programmes donnent le même résultat, $-0,6$.

Figure 1. D'après le codage, $CJ=JA=CB=6$ cm (J est le milieu de [CA]), donc $CA=2\times 6=12$ cm. Le triangle ABC est rectangle en B, d'hypoténuse [CA]. D'après le théorème de Pythagore : $C{A}^2=A{B}^2+B{C}^2$, donc $A{B}^2={12}^2-6^2=144-36=108$ et $AB=\sqrt{108}\approx 10,39$. AB ≈ 10,4 cm (au millimètre près).

Figure 2. Le triangle ABC est rectangle en A, d'hypoténuse [CB] $=36$ cm. Le côté [AB] est opposé à l'angle $\widehat{ACB}={53}^{\circ }$. On utilise le sinus : $\sin \widehat{ACB}={\displaystyle \frac{AB}{CB}}$, donc $AB=36\times \sin {53}^{\circ }\approx 36\times 0,7986\approx 28,75$. AB ≈ 28,8 cm (au millimètre près).

Figure 3. [AB] est un diamètre du cercle, donc la longueur du cercle vaut $\pi \times AB$. On a $\pi \times AB=154$, d'où $AB={\displaystyle \frac{154}{\pi }}\approx 49,02$. AB ≈ 49,0 cm (au millimètre près).

1. Une réduction de 30 % revient à payer 70 % du prix, c'est-à-dire à multiplier par $1-0,30=0,7$ : $54\times 0,7=37,8$. Vérification : la réduction vaut $54\times 0,3=16,20$ € et $54-16,20=37,80$ €. Le prix après réduction est 37,80 €.

2. a) La réduction est 30 % du prix de la ligne 1 (par exemple $12\times 0,3=3,60$). Dans la cellule B2 : =B1*0,3 (ou =B1*30/100).

2. b) Le prix soldé est le prix avant réduction moins la réduction. Dans la cellule B3 : =B1-B2 (ou =B1*0,7).

3. Le prix soldé est le prix initial multiplié par 0,7. Le prix initial est donc $42÷0,7=60$. Vérification : $60\times 0,7=42$. Le prix initial était de 60,00 €.

1. Le triangle PAS est rectangle en A (codage), donc son aire est ${\displaystyle \frac{PA\times AS}{2}}={\displaystyle \frac{30\times 18}{2}}=270$ m².
Nombre de sacs : $270÷140\approx 1,93$. Un seul sac ne suffit pas (140 m²) : il faut donc acheter 2 sacs.
Budget : $2\times 13,90=27,80$. La commune doit prévoir un budget de 27,80 €.

2. Les droites (AS) et (RC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (PR) (angles droits codés en A et en R). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (AS) // (RC).
Les points P, A, R sont alignés, les points P, S, C sont alignés et (AS) // (RC). D'après le théorème de Thalès :
$${\displaystyle \frac{PA}{PR}}={\displaystyle \frac{PS}{PC}}={\displaystyle \frac{AS}{RC}}$$
avec $PR=PA+AR=30+10=40$ m. On a ${\displaystyle \frac{30}{40}}={\displaystyle \frac{18}{RC}}$, donc $RC={\displaystyle \frac{18\times 40}{30}}=24$ m.
Le triangle PRC est rectangle en R, son aire est ${\displaystyle \frac{PR\times RC}{2}}={\displaystyle \frac{40\times 24}{2}}=480$ m².
Aire du skatepark : $480-270=210$ m².
Vérification avec la formule du trapèze (bases [AS] et [RC] parallèles, hauteur AR) : ${\displaystyle \frac{(18+24)\times 10}{2}}=210$ m². L'aire du skatepark est de 210 m².

Partie 1

1. Le morceau n^o 1 mesure 8 cm : le carré a un côté de $8÷4=2$ cm. Le morceau n^o 2 mesure $20-8=12$ cm : le triangle équilatéral a un côté de $12÷3=4$ cm.
Il faut dessiner un carré de 2 cm de côté et un triangle équilatéral de 4 cm de côté (pour le triangle : tracer un segment de 4 cm, puis deux arcs de cercle de rayon 4 cm centrés en ses extrémités ; leur point d'intersection est le troisième sommet).

2. Aire du carré : $2\times 2=4$. L'aire du carré est 4 cm².

3. On trace une hauteur du triangle et on la mesure sur le dessin : elle mesure environ 3,5 cm (la valeur exacte est $2\sqrt{3}\approx 3,46$ cm). Aire $\approx {\displaystyle \frac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}}={\displaystyle \frac{4\times 3,5}{2}}=7$. L'aire du triangle équilatéral est d'environ 7 cm².

Partie 2

1. Si le morceau n^o 1 mesure $x$ cm, le carré a pour côté ${\displaystyle \frac{x}{4}}$ cm et pour aire ${\left({\displaystyle \frac{x}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{x^2}{16}}$. Aire du carré : ${\displaystyle \frac{x^2}{16}}$ cm² (vérification avec $x=8$ : ${\displaystyle \frac{64}{16}}=4$ cm², comme à la partie 1).

2. a) On lit sur la courbe B l'abscisse du point d'ordonnée 14. Le morceau n^o 1 doit mesurer environ 3 cm.

2. b) Les deux aires sont égales à l'abscisse du point d'intersection des courbes A et B. Le morceau n^o 1 doit mesurer environ 9,3 cm (une lecture entre 9 et 9,5 cm est acceptable ; les deux aires valent alors environ 5,5 cm²).

Volume intérieur du vase. Les bords ont une épaisseur de 0,2 cm de chaque côté : le côté intérieur mesure $9-2\times 0,2=8,6$ cm. Le fond a une épaisseur de 1,7 cm : la hauteur intérieure est $21,7-1,7=20$ cm. L'intérieur est un pavé droit de volume $8,6\times 8,6\times 20=73,96\times 20=1479,2$ cm³.

Volume des billes. Une bille a un rayon de $1,8÷2=0,9$ cm. Son volume est ${\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 0,9^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 0,729=0,972\pi \approx 3,054$ cm³. Les 150 billes occupent $150\times 0,972\pi =145,8\pi \approx 458,0$ cm³.

Place restante. $1479,2-458,0\approx 1021,2$ cm³. Or 1 L $=1000$ cm³ et $1021,2>1000$.

Antoine peut ajouter un litre d'eau colorée sans débordement (il reste environ 21 cm³ de marge).