Sujet du brevet 2016 de maths — Métropole (Série générale)

1. a) Par lecture graphique, à 6 heures, la hauteur d'eau dans le port de Brest était d'environ 5 m.

1. b) Entre 10 h et 22 h, la courbe passe au-dessus de 3 m vers 12 h (marée montante) et redescend sous 3 m vers 20 h (marée descendante). $20-12=8$. La hauteur d'eau a été supérieure à 3 m pendant environ 8 heures.

2. On applique la formule avec $H=7,4$ m, $N_0=4,2$ m et $U=3,1$ m : $C={\displaystyle \frac{7,4-4,2}{3,1}}\times 100={\displaystyle \frac{3,2}{3,1}}\times 100\approx 103,2$. Le coefficient de cette marée est 103 (arrondi à l'unité).

1. Dans le triangle IKJ, le plus grand côté est [IJ]. On calcule séparément :
$I{J}^2=4^2=16$ ;
$I{K}^2+K{J}^2=3,2^2+2,4^2=10,24+5,76=16$.
On a $I{J}^2=I{K}^2+K{J}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IKJ est rectangle en K.

2. D'après la question 1, (KJ) est perpendiculaire à (IL). D'après le codage de la figure, l'angle en L est droit : (LM) est aussi perpendiculaire à (IL). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (KJ) // (LM).
Dans le triangle ILM, K appartient à [IL], J appartient à [IM] et (KJ) // (LM) : d'après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{IK}{IL}}={\displaystyle \frac{IJ}{IM}}={\displaystyle \frac{KJ}{LM}}$.
Avec $IL=IK+KL=3,2+1,8=5$ m : ${\displaystyle \frac{3,2}{5}}={\displaystyle \frac{2,4}{LM}}$, donc $LM={\displaystyle \frac{2,4\times 5}{3,2}}={\displaystyle \frac{12}{3,2}}=3,75$. On a bien LM = 3,75 m.

3. Le triangle KLM est rectangle en L. D'après le théorème de Pythagore : $K{M}^2$$=K{L}^2+L{M}^2$$=1,8^2+3,{75}^2$$=3,24+14,0625$$=17,3025$, donc $KM=\sqrt{17,3025}\approx 4,1596$ m. KM ≈ 4,16 m (au centimètre près).

1. La cellule B15 contient le total de la colonne : on a saisi =SOMME(B2:B14).

2. Production de l'Indonésie et de Madagascar : $3200+3100=6300$ milliers de tonnes. Les trois quarts de la production mondiale valent ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times 8342=6256,5$ milliers de tonnes. Comme $6300>6256,5$, oui, à eux deux, ces deux pays produisent plus des trois quarts de la production mondiale (environ 75,5 %).

3. Les cinq pays qui ont le moins produit sont le Zimbabwe (11), le Kenya (15), le Malawi (22), les Comores (35) et la France (79). Leur production totale est $11+15+22+35+79=162$ milliers de tonnes. Pourcentage : ${\displaystyle \frac{162}{8342}}\times 100\approx 1,94$. Ces cinq pays représentent environ 2 % de la production mondiale (arrondi à l'unité).

Question 1 : réponse c. $5x-4⩽7$. Pour $x=2$ : $5\times 2-4=6$ et $6⩽7$ est vrai. Les autres sont fausses : a. $2<2$ est faux ; b. $-4\times 2-3=-11$ et $-11>-10$ est faux ; d. $8-3\times 2=2$ et $2⩾3$ est faux.

Question 2 : réponse graphique c. La fonction $f:x\mapsto 2x-8$ est affine : sa représentation est une droite qui coupe l'axe des ordonnées en $-8$ (car $f(0)=-8$) et l'axe des abscisses en 4 (car $f(4)=2\times 4-8=0$). Le graphique a coupe l'axe des abscisses en 2, le b et le d ne passent pas par $-8$ : seul le graphique c convient.

Question 3 : réponse b. 36 km/h. Le coureur parcourt 100 m en 10 s, soit 10 m par seconde. En une heure (3 600 s), il parcourrait $10\times 3600=36000$ m, soit 36 km : sa vitesse est 36 km/h.

1. Construction à terminer sur l'annexe (on ne peut pas la dessiner ici ; voici ce qu'il faut tracer et placer, dans l'ordre de la fiche) :

• B : l'autre extrémité du diamètre vertical, en bas du cercle (diamètre [AB]) ; D : l'autre extrémité du diamètre horizontal, à droite (diamètre [CD]) ;
• J : le milieu de [OC], déjà marqué d'un point sur le rayon [OC] ;
• le cercle de centre J passant par C (déjà tracé en pointillés) ;
• M : le point où la demi-droite [JA) coupe ce cercle de centre J ; il est situé entre J et A (déjà marqué d'un point sur la demi-droite) ;
• le cercle de centre A passant par M (déjà tracé en pointillés) ; il coupe le grand cercle en deux points, de part et d'autre de A : E à gauche de A et F à droite de A (le point déjà marqué), comme sur la figure de la fiche ;
• avec le compas ouvert de la longueur EF, on part de F et on reporte trois fois cette longueur sur le grand cercle, en s'éloignant de E : on obtient G, puis H, puis I ; la longueur IE est alors elle aussi égale à EF ;
• on trace enfin les segments [EG], [GI], [IF], [FH] et [HE] : on obtient l'étoile à cinq branches.

2. La troisième consigne se réécrit : « Tracer le cercle de centre J passant par C » (ou, ce qui revient au même, « le cercle de centre J et de rayon JC », c'est-à-dire le cercle de diamètre [OC]).

3. Les cinq points E, F, G, H, I sont sur le cercle de centre O et partagent ce cercle en cinq arcs de même longueur, car les cordes EF, FG, GH, HI et IE sont toutes égales. Les points G et H sont situés sur le même arc d'extrémités E et I (celui qui contient F, G et H). Les angles $\widehat{EGI}$ et $\widehat{EHI}$ sont donc deux angles inscrits dans le cercle qui interceptent le même arc $\stackrel{⌢}{EI}$ : d'après la propriété des angles inscrits, ils sont égaux (chacun vaut la moitié de l'angle au centre $\widehat{EOI}$, soit ${\displaystyle \frac{72}{2}}=36$°, puisque $\widehat{EOI}={\displaystyle \frac{360}{5}}=72$°). Ce raisonnement ne dépend pas du rayon du cercle de départ. Oui, c'est le cas pour tous les pentagrammes construits avec cette méthode : les angles $\widehat{EGI}$ et $\widehat{EHI}$ sont toujours égaux (à 36°).

1. Il faut 19 tuiles régence par m², à 1,20 € l'unité : $19\times 1,20=22,80$. Le prix au m² des tuiles régence est 22,80 €.

2. D'après le croquis, le point C est sur [BD] et le triangle DEC est rectangle en C. On a $DC=BD-BC=3,10-2,10=1$ m et $EC=2,85$ m. Dans le triangle DEC rectangle en C, [DC] est le côté opposé à l'angle $\widehat{DEC}$ et [EC] le côté adjacent : $\tan \widehat{DEC}={\displaystyle \frac{DC}{EC}}={\displaystyle \frac{1}{2,85}}$, donc $\widehat{DEC}\approx 19,3$°. Comme 19,3° est supérieur à 15° (pente minimale des tuiles romanes) et à 18° (pente minimale des tuiles régence), la pente du toit permet la pose des deux modèles de tuiles.

3. Le toit EDGF est un rectangle de longueur EF = 6,10 m et de largeur ED.
Calcul de ED : dans le triangle DEC rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore, $E{D}^2$$=E{C}^2+D{C}^2$$=2,{85}^2+1^2$$=8,1225+1$$=9,1225$, donc $ED=\sqrt{9,1225}\approx 3,02$ m.
Aire du toit : $𝒜=ED\times EF\approx 3,0203\times 6,10\approx 18,42$ m².
On augmente cette surface de 5 %, c'est-à-dire qu'on la multiplie par 1,05 : $18,424\times 1,05\approx 19,35$ m².
Nombre de tuiles romanes (13 par m²) : $19,345\times 13\approx 251,5$. Les tuiles étant vendues à l'unité, on arrondit à l'entier supérieur pour couvrir toute la surface. Mélanie doit prévoir d'acheter 252 tuiles romanes.

1. On note $x$ le prix (en euros) d'une pizza ronde ; une pizza carrée coûte alors $x+1$. Pierre paie 14,20 € pour les deux : $x+(x+1)=14,20$, donc $2x+1=14,20$, $2x=13,20$ et $x=6,60$. Une pizza ronde coûte 6,60 € et une pizza carrée 7,60 €. Vérification : $6,60+7,60=14,20$.

2. Les pizzas ont toutes la même épaisseur : il suffit de comparer les aires des parts.
Pizza ronde : rayon ${\displaystyle \frac{34}{2}}=17$ cm, aire $\pi \times {17}^2=289\pi \approx 907,9$ cm² ; une part mesure ${\displaystyle \frac{289\pi }{8}}\approx 113,5$ cm².
Pizza carrée : aire ${34}^2=1156$ cm² ; une part mesure ${\displaystyle \frac{1156}{9}}\approx 128,4$ cm².
Comme $128,4>113,5$, les parts les plus grandes sont celles de la pizza carrée.