Sujet du brevet 2016 de maths — Amérique du Sud (Série générale)

1. Réponse : $7^{12}$. Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, on additionne les exposants : $7^6\times 7^6=7^{6+6}=7^{12}$. (On ne multiplie ni les bases, ce qui donnerait ${14}^6$ à tort, ni les exposants, ce qui donnerait $7^{36}$.)

2. Réponse : 150 m². Augmenter de 40 % revient à multiplier par $1+{\displaystyle \frac{40}{100}}=1,4$. La superficie de départ est donc $210÷1,4=150$ m². Vérification : $150\times 1,4=210$.

3. Réponse : ${\displaystyle \frac{2}{3}}$. Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6, soit 4 issues favorables sur 6 issues équiprobables : $p={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

1. a) On place 320 km.h⁻¹ sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe « confort » et on lit l'ordonnée. La distance de freinage « confort » est d'environ 2 400 m.

1. b) On place 1 500 m sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à la courbe « rapide » et on lit l'abscisse. La vitesse d'atterrissage est d'environ 360 km.h⁻¹.

2. a) Pour une vitesse de 260 km.h⁻¹, la courbe « confort » donne une distance de freinage d'environ 1 600 m. Or la sortie 1 est à 900 m et la sortie 2 à 1 450 m, distances inférieures à 1 600 m, tandis que la sortie 3 est à 2 050 m, distance supérieure à 1 600 m. L'avion dépassera les sorties 1 et 2 (il pourra emprunter la sortie 3).

2. b) Pour emprunter la sortie 1, l'avion doit s'arrêter en 900 m au plus. On place 900 m sur l'axe des ordonnées et on lit l'abscisse du point de la courbe « rapide » d'ordonnée 900 : on trouve environ 275 km.h⁻¹. Au-delà, la distance de freinage dépasse 900 m. La vitesse maximale d'atterrissage est d'environ 275 km.h⁻¹ (une lecture entre 270 et 280 km.h⁻¹ est acceptable avec la précision du graphique).

1. Pour paver le rectangle sans découpe avec des carreaux carrés de côté $c$, il faut que $c$ divise à la fois 108 et 225 (un nombre entier de carreaux sur la largeur et sur la longueur).
Carreaux de 3 cm : $108=3\times 36$ et $225=3\times 75$. 3 divise 108 et 225, donc Carole peut utiliser des carreaux de 3 cm de côté (il en faudrait $36\times 75=2700$).
Carreaux de 6 cm : $225÷6=37,5$ n'est pas un entier (225 est impair, il n'est pas divisible par 6). Carole ne peut donc pas utiliser des carreaux de 6 cm de côté.

2. La dimension maximale est le plus grand diviseur commun de 108 et de 225, c'est-à-dire leur PGCD. Par l'algorithme d'Euclide :
$225=2\times 108+9$
$108=12\times 9+0$
Le dernier reste non nul est 9, donc $\text{PGCD}(225;108)=9$. (Par décomposition : $108=2^2\times 3^3$ et $225=3^2\times 5^2$, d'où $\text{PGCD}=3^2=9$.)
La dimension maximale des carreaux est 9 cm de côté.
Nombre de carreaux : $108÷9=12$ carreaux sur la largeur et $225÷9=25$ carreaux sur la longueur, soit $12\times 25=300$. Vérification par les aires : ${\displaystyle \frac{108\times 225}{9\times 9}}={\displaystyle \frac{24300}{81}}=300$. Carole utilisera 300 carreaux.

Le monument [SC] et Julien [TJ] sont tous deux perpendiculaires au sol, c'est-à-dire à la droite (CM). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (TJ) // (SC).

Les points M, J, C sont alignés, les points M, T, S sont alignés et (TJ) // (SC). D'après le théorème de Thalès dans les triangles MJT et MCS :
$${\displaystyle \frac{MJ}{MC}}={\displaystyle \frac{MT}{MS}}={\displaystyle \frac{JT}{CS}}$$
On convertit dans la même unité : $MJ=50$ cm $=0,5$ m, $MC=10$ m et $JT=1,90$ m. On obtient ${\displaystyle \frac{0,5}{10}}={\displaystyle \frac{1,9}{SC}}$, donc $SC={\displaystyle \frac{1,9\times 10}{0,5}}={\displaystyle \frac{19}{0,5}}=38$.
Vérification : ${\displaystyle \frac{1,9}{38}}=0,05={\displaystyle \frac{0,5}{10}}$.

La statue mesure 38 m de hauteur, socle compris.

Dans ce corrigé, la monnaie brésilienne est notée « réais » (R suivi du symbole dollar dans le sujet).

1. Le ticket de caisse indique « HAUTE SAISON » pour le 09/02/2016. Le tarif à partir de 11 ans est alors de 62,00 réais. Le prix de la visite pour un adulte le 09/02/2016 est de 62 réais.

2. Le total de 329 réais correspond à 4 adultes, 3 enfants de 6 à 11 ans (tarif réduit) et 2 enfants de moins de 6 ans (gratuit, donc 0 réais).
Les 4 adultes paient $4\times 62=248$ réais. Il reste pour les 3 enfants : $329-248=81$ réais.
Un enfant de 6 à 11 ans paie donc $81÷3=27$ réais.
Vérification : $4\times 62+3\times 27+2\times 0=248+81+0=329$. Le prix pour un enfant de 6 à 11 ans est de 27 réais.

1. À l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{300}}$, toutes les longueurs réelles sont divisées par 300 :
– longueur : $317÷300\approx 1,0567$ m, soit environ 106 cm ;
– largeur : $279÷300=0,93$ m, soit 93 cm ;
– hauteur : $32÷300\approx 0,1067$ m, soit environ 11 cm.
La reproduction mesurera environ 106 cm sur 93 cm, pour une hauteur d'environ 11 cm.

2. a) Dans une réduction de rapport $k={\displaystyle \frac{1}{300}}$, les aires sont multipliées par $k^2={\displaystyle \frac{1}{90000}}$. La superficie de la reproduction est donc ${\displaystyle \frac{69500}{90000}}\approx 0,772$ m². La superficie de la reproduction est d'environ 0,77 m².

2. b) L'aire suffit, puisque $0,77<1$ m². Mais la reproduction mesure environ 1,06 m de long : si l'espace de 1 m² est par exemple un carré de 1 m de côté, la reproduction n'y tient pas, car $1,06>1$. Le sculpteur n'est donc pas certain de pouvoir réaliser sa reproduction : cela dépend de la forme de l'espace dont il dispose (il faut qu'il mesure au moins 1,06 m dans une direction et 0,93 m dans l'autre).

1. Le point O est à la même altitude que U (220 m) et à la verticale de S, donc $OS=396-220=176$ m.
Dans le triangle UOS rectangle en O, [OS] est le côté opposé à l'angle $\widehat{OUS}$ et [US] est l'hypoténuse. On utilise le sinus : $\sin \widehat{OUS}={\displaystyle \frac{OS}{US}}={\displaystyle \frac{176}{762}}\approx 0,231$.
À la calculatrice : $\widehat{OUS}=\arcsin \left({\displaystyle \frac{176}{762}}\right)\approx 13,4^{\circ }$. Le câble forme avec l'horizontale un angle d'environ ${13}^{\circ }$.

2. On convertit la durée en secondes : 6 min 30 s $=6\times 60+30=390$ s. La vitesse moyenne est $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{762}{390}}\approx 1,95$ m/s. La vitesse moyenne du téléphérique est d'environ 2 m/s.

3. a) La formule =SOMME(B2:G2) additionne les nombres de visiteurs de toutes les tranches horaires, de 8 h à 20 h. Le nombre 615 est le nombre total de visiteurs du Pain de Sucre sur la journée.

3. b) Le nombre de visiteurs entre 12 h 00 et 14 h 00 est celui de la cellule D2, masquée. On a : $122+140+63+75+118=518$, donc $D2=615-518=97$. Vérification : $122+140+97+63+75+118=615$. Il y a eu 97 visiteurs entre 12 h 00 et 14 h 00.

4. =MOYENNE(B2:G2)/2
(Une formule de tableur commence toujours par le signe « = » ; MOYENNE(B2:G2) donne le nombre moyen de visiteurs par tranche de deux heures, soit 102,5, qu'il faut diviser par 2 pour obtenir un nombre moyen par heure : $615÷12=51,25$.)