Sujet du brevet 2015 de maths — Polynésie (Série générale)

Il reste 8 jetons dans le sac : 5, 14, 26, 18, 5, 9, 18, 20. Tous ont la même probabilité d'être tirés : on est dans une situation d'équiprobabilité, donc $p={\displaystyle \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}}$.

1. a. Deux jetons portent le nombre 18 sur les 8 jetons. $p={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. La probabilité que Sarah tire un jeton « 18 » est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ (soit 0,25).

1. b. Les multiples de 5 parmi les jetons sont 5, 5 et 20 (14, 26, 18, 9 et 18 ne sont pas divisibles par 5). Il y a donc 3 issues favorables sur 8 : $p={\displaystyle \frac{3}{8}}$. La probabilité de tirer un multiple de 5 est ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ (soit 0,375).

2. Sarah garde le jeton « 26 » : il reste 7 jetons dans le sac (5, 14, 18, 5, 9, 18, 20). Le 26 n'étant pas un multiple de 5, les trois jetons favorables 5, 5 et 20 sont toujours là. La probabilité devient $p={\displaystyle \frac{3}{7}}$.
Or ${\displaystyle \frac{3}{7}}\approx 0,43$ et ${\displaystyle \frac{3}{8}}=0,375$ : on a ${\displaystyle \frac{3}{7}}\ne {\displaystyle \frac{3}{8}}$. La probabilité n'est pas la même : elle est plus grande pour Djamel (${\displaystyle \frac{3}{7}}$ contre ${\displaystyle \frac{3}{8}}$).

1. a. On place 100 m sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe puis on lit l'ordonnée : la courbe passe un peu au-dessus de la graduation 45 dB. À 100 mètres de la tondeuse, le niveau de bruit est d'environ 46 dB (lecture graphique, entre 46 et 47 dB).

1. b. On place 60 dB sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'à la courbe puis on lit l'abscisse. Le niveau de bruit est égal à 60 dB à environ 35 mètres de la tondeuse.

2. Sur le graphique de la machine A, à 5 m de la machine, la courbe passe juste en dessous de la graduation 90 dB : le niveau de bruit vaut environ 88 dB. Le casque est donc obligatoire dès que le niveau de bruit atteint environ 88 dB.
Sur le graphique de la machine B, on cherche la distance pour laquelle le niveau de bruit vaut ce même niveau d'environ 88 dB : la courbe B coupe la droite horizontale 90 dB vers 8 m et descend à 88 dB vers 9 m. Pour la machine B, le port du casque est obligatoire quand on se trouve à moins d'environ 9 m de la machine (entre 8,5 et 9,5 m selon la précision de la lecture).

1. Construction en vraie grandeur (sans utiliser ce qu'on démontrera ensuite) :

• tracer le segment [HK] de longueur 2,4 cm ;
• tracer un arc de cercle de centre H et de rayon 3,2 cm, puis un arc de centre K et de rayon 4 cm : leur point d'intersection est J ;
• prolonger la droite (KH) au-delà de H ;
• tracer un arc de cercle de centre J et de rayon 6,8 cm : il coupe la demi-droite d'origine H, du côté opposé à K, au point I ;
• tracer les segments [IJ], [JK] et [JH].

2. Dans le triangle JHK, le plus grand côté est [JK].
D'une part : $J{K}^2=4^2=16$.
D'autre part : $J{H}^2+H{K}^2=3,2^2+2,4^2=10,24+5,76=16$.
On constate que $J{K}^2=J{H}^2+H{K}^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle JHK est rectangle en H. Comme les points I, H et K sont alignés, les droites (IK) et (JH) sont perpendiculaires.

3. D'après la question 2, la droite (JH) est perpendiculaire à (IK), donc le triangle IHJ est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore : $I{J}^2=I{H}^2+J{H}^2$, donc $I{H}^2$$=I{J}^2-J{H}^2$$=6,8^2-3,2^2$$=46,24-10,24$$=36$.
Une longueur étant positive, $IH=\sqrt{36}=6$. On a bien IH = 6 cm.

4. Dans le triangle JHK rectangle en H, pour l'angle $\widehat{HJK}$, le côté [JH] est le côté adjacent et [JK] est l'hypoténuse. D'après la formule du cosinus : $\cos \widehat{HJK}={\displaystyle \frac{JH}{JK}}={\displaystyle \frac{3,2}{4}}=0,8$.
À la calculatrice : $\widehat{HJK}=\arccos (0,8)\approx 36,{87}^{\circ }$. L'angle $\widehat{HJK}$ mesure environ 37° (arrondi au degré).
Vérification avec le sinus : $\sin \widehat{HJK}={\displaystyle \frac{HK}{JK}}={\displaystyle \frac{2,4}{4}}=0,6$ et $\arcsin (0,6)\approx 36,{87}^{\circ }$ : même résultat.

5. On trace la parallèle à (IJ) passant par K (à l'équerre et à la règle, en faisant glisser l'équerre). Elle coupe la droite (JH) en un point L situé de l'autre côté de H par rapport à J, c'est-à-dire sous la droite (IK). On place L et on trace le segment [LK].

6. Les droites (IK) et (JL) sont sécantes en H, et les droites (IJ) et (LK) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès (configuration « papillon ») dans les triangles HIJ et HKL :
$${\displaystyle \frac{HK}{HI}}={\displaystyle \frac{HL}{HJ}}={\displaystyle \frac{LK}{IJ}}$$
Or ${\displaystyle \frac{HK}{HI}}={\displaystyle \frac{2,4}{6}}=0,4$. Donc ${\displaystyle \frac{LK}{IJ}}=0,4$, c'est-à-dire LK = 0,4 × IJ.
(Numériquement : $LK=0,4\times 6,8=2,72$ cm, ce qu'on peut contrôler sur la figure.)

1. Le prix passe de 80 € à 60 € : la réduction est de $80-60=20$ €. En pourcentage de l'ancien prix : ${\displaystyle \frac{20}{80}}=0,25={\displaystyle \frac{25}{100}}$.
Vérification : $80\times (1-{\displaystyle \frac{25}{100}})=80\times 0,75=60$ €. Le nombre caché par la tache est 25 (soldes de 25 %).

2. On calcule les puissances successives de 2 : $2^{10}=1024$, donc $2^{11}=2\times 1024=2048$. 2 048 est égal à $2^{11}$.

3. D'après l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=2x$ et $b=1$ :
$(2x-1{)}^2$$=(2x{)}^2-2\times 2x\times 1+1^2$$=4x^2-4x+1$.
Jules a trouvé $4x^2-4x-1$ : le dernier terme est faux ($1^2=+1$). Contre-exemple pour $x=0$ : $(2\times 0-1{)}^2=(-1{)}^2=1$, alors que $4\times 0^2-4\times 0-1=-1$. Jules a tort : $(2x-1{)}^2=4x^2-4x+1$.

1. D'après les documents 2 et 3, un tour mesure 13,629 km et l'Audi R15+ a parcouru 5 405,470 km. On divise : ${\displaystyle \frac{5405,470}{13,629}}\approx 396,6$.
Vérification : $396\times 13,629=5397,084$ km et $397\times 13,629=5410,713$ km, ce qui dépasse la distance parcourue. La voiture a effectué 396 tours complets.

2. La course dure 24 heures (document 1). La vitesse moyenne est $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{5405,470\text{ km}}{24\text{ h}}}\approx 225,23$ km/h. La vitesse moyenne de l'Audi R15+ est d'environ 225 km/h (arrondie à l'unité).

3. On convertit la vitesse de la voiture n° 37 en km/h. D'après le document 4, 1 mile ≈ 1 609 m = 1,609 km.
205 mph signifie 205 miles en une heure, soit $205\times 1,609=329,845$ km en une heure. La voiture n° 37 roule donc à environ 330 km/h.
Comme $330>310$, la voiture n° 37 est la plus rapide.

1. Nombre choisi : 7. On ajoute 1 : $7+1=8$. Carré : $8^2=64$. On soustrait 9 : $64-9=55$. On obtient bien 55.

2. Nombre choisi : $-6$. On ajoute 1 : $-6+1=-5$. Carré : $(-5{)}^2=25$. On soustrait 9 : $25-9=16$. Le résultat obtenu est 16.

3. La colonne B contient le résultat de la 1^re étape, c'est-à-dire le nombre de départ (colonne A) augmenté de 1. Jim a saisi dans la cellule B2 la formule =A2+1 (on vérifie : $-0,4+1=0,6$, valeur affichée en B2).

4. Si on note $x$ le nombre choisi, le programme donne $(x+1{)}^2-9$. On résout $(x+1{)}^2-9=0$.
On reconnaît une différence de deux carrés $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec $a=x+1$ et $b=3$ :
$(x+1-3)(x+1+3)=0$, soit $(x-2)(x+4)=0$.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $x-2=0$ ou $x+4=0$, donc $x=2$ ou $x=-4$.
Vérification : $(2+1{)}^2-9=9-9=0$ (c'est d'ailleurs la ligne 14 du tableur) et $(-4+1{)}^2-9=(-3{)}^2-9=9-9=0$. Les deux nombres qui donnent 0 sont 2 et −4.

1. La piscine est un pavé droit de 10 m de long, 4 m de large et 1,2 m de profondeur. Son volume est $V=L\times \ell \times h=10\times 4\times 1,2=48$ m³.
La pompe vide 14 m³ par heure (document 2). Durée de vidange : $t={\displaystyle \frac{48}{14}}\approx 3,43$ h. Or $0,43\text{ h}\approx 0,43\times 60\approx 26$ min, donc la vidange dure environ 3 h 26 min.
Autre façon : en 4 heures, la pompe vide $4\times 14=56$ m³, et $56>48$. Oui, la piscine sera vide en moins de 4 heures (environ 3 h 26 min).

2. Surface intérieure à peindre (le fond et les quatre parois, pas le dessus) :

• le fond : $10\times 4=40$ m² ;
• les deux grandes parois : $2\times (10\times 1,2)=2\times 12=24$ m² ;
• les deux petites parois : $2\times (4\times 1,2)=2\times 4,8=9,6$ m².

Surface totale : $40+24+9,6=73,6$ m².
Quantité de peinture : il faut 2 couches, soit une surface à couvrir de $2\times 73,6=147,2$ m². Un litre couvre 6 m², donc il faut ${\displaystyle \frac{147,2}{6}}\approx 24,53$ litres.
Nombre de seaux : un seau contient 3 litres, donc ${\displaystyle \frac{24,53}{3}}\approx 8,18$ seaux. On ne peut acheter que des seaux entiers : 8 seaux (24 L) ne suffisent pas, il en faut 9.
Coût : $9\times 69,99=629,91$ €. Le coût de la rénovation (peinture) est de 629,91 €.