Sujet du brevet 2015 de maths — Centres étrangers (Série générale)

Aucune justification n'est attendue ; les explications sont données pour comprendre. Les 9 cases ont la même chance de s'allumer : on est dans une situation d'équiprobabilité.

1. a) Une seule case sur 9 est la case 1. La probabilité que la case 1 s'allume est ${\displaystyle \frac{1}{9}}$.

1. b) Les cases marquées d'un chiffre impair sont 1, 3, 5, 7 et 9, soit 5 cases sur 9. La probabilité est ${\displaystyle \frac{5}{9}}$.

1. c) Une probabilité de ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{3}{9}}$ correspond à un événement réalisé par 3 cases sur 9. Par exemple : « la case allumée porte un multiple de 3 » (cases 3, 6 et 9). D'autres réponses conviennent : « la case allumée est sur la première ligne » (1, 2, 3), « la case allumée porte un nombre inférieur ou égal à 3 »…

2. Les cases 1 et 7 sont allumées ; il reste 7 cases éteintes (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9), qui ont chacune la même chance de s'allumer. Les cases 1 et 7 sont dans la première colonne : la seule case alignée avec elles est la case 4 (colonne 1, 4, 7). Il y a donc 1 issue favorable sur 7. La probabilité que les trois cases allumées soient alignées est ${\displaystyle \frac{1}{7}}$.

Remarque : l'énoncé ne précise pas si le bouton peut tomber sur une case déjà allumée. Si l'on considère que les 9 cases restent possibles (une case déjà allumée ne change alors rien), seule la case 4 convient sur 9 et la probabilité vaut ${\displaystyle \frac{1}{9}}$. La lecture la plus naturelle (une nouvelle case s'allume) donne ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ ; une réponse ${\displaystyle \frac{1}{9}}$ bien expliquée reste défendable.

1. Il faut comparer deux vitesses dans la même unité. Convertissons 1 357,6 km/h en m/s : 1 km = 1 000 m et 1 h = 3 600 s, donc
$1357,6\text{ km/h}$$={\displaystyle \frac{1357,6\times 1000\text{ m}}{3600\text{ s}}}$$={\displaystyle \frac{1357,6}{3,6}}\text{ m/s}$$\approx 377,1$ m/s.
Comme $377,1>340$, Félix Baumgartner a dépassé la vitesse du son : il a atteint son objectif.

2. Distance parcourue avec le parachute ouvert : le saut part de 38 969,3 m d'altitude et la chute libre couvre 36 529 m, donc $38969,3-36529=2440,3$ m.
Durée de la chute avec le parachute ouvert : durée totale 9 min 3 s = $9\times 60+3=543$ s ; chute libre 4 min 19 s = $4\times 60+19=259$ s ; donc $543-259=284$ s.
Vitesse moyenne : $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{2440,3}{284}}\approx 8,59$ m/s.
La vitesse moyenne avec le parachute ouvert est d'environ 9 m/s (arrondie à l'unité).

1. Construction en vraie grandeur :

• tracer un segment [KM] de 6 cm et placer son milieu O ;
• tracer le cercle de centre O et de rayon 3 cm (il a [KM] pour diamètre) ;
• au compas, tracer un arc de centre M et de rayon 3 cm : il coupe le cercle en un point L (deux choix possibles, symétriques par rapport à (KM)) ;
• tracer le triangle KLM.

2. Le point L appartient au cercle de diamètre [KM]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse. Le triangle KLM est donc rectangle en L.

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle KLM rectangle en L : $K{M}^2=K{L}^2+L{M}^2$, donc $K{L}^2=K{M}^2-L{M}^2=6^2-3^2=36-9=27$ et $KL=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ cm.

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont une base et la hauteur associée :
$\text{Aire}={\displaystyle \frac{KL\times LM}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}\times 3}{2}}={\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{2}}$.
L'aire du triangle KLM vaut ${\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{2}}$ cm² (valeur exacte), soit environ 8 cm² au cm² près (${\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{2}}\approx 7,79$).

1. a) Le nombre de départ est en B1 ; Mathilde le multiplie par 9 puis soustrait 8. Formule à saisir en B2 : =9*B1-8

1. b) Paul multiplie le nombre par $-3$ puis ajoute 31. Formule à saisir en B3 : =-3*B1+31

2. D'après le tableau, pour le nombre 3, Mathilde obtient 19 et Paul 22 : le résultat de Mathilde est plus petit. Pour le nombre 4, Mathilde obtient 28 et Paul 19 : le résultat de Mathilde est devenu plus grand. Le résultat de Mathilde augmente quand le nombre de départ augmente et celui de Paul diminue, donc les deux résultats sont égaux pour un nombre situé entre 3 et 4. Conjecture : le nombre cherché est compris entre 3 et 4.

3. Notons $x$ le nombre de départ. Mathilde obtient $9x-8$ et Paul obtient $-3x+31$. On résout :
$9x-8=-3x+31$
$9x+3x=31+8$
$12x=39$
$x={\displaystyle \frac{39}{12}}=3,25$
Vérification : $9\times 3,25-8=29,25-8=21,25$ et $-3\times 3,25+31=-9,75+31=21,25$.
Il faut saisir le nombre 3,25 ; les deux programmes donnent alors 21,25. Comme $3<3,25<4$, la conjecture est vérifiée.

1. Sur la représentation 2, la courbe est une droite qui ne passe pas par l'origine du repère : elle coupe l'axe des ordonnées vers 32. Sur le thermomètre (représentation 1), on lit de même que 0 °C correspond à environ 32 °F. Si les deux températures étaient proportionnelles, 0 °C correspondrait à 0 °F. Il n'y a donc pas proportionnalité entre la température en degrés Celsius et la température en degrés Fahrenheit.

2. Sur la représentation 2, on lit que la droite passe par le point de coordonnées (0 ; 32) : 0 °C correspond à 32 °F, donc $f(0)=32$. On lit aussi qu'elle passe par le point (10 ; 50) : 10 °C correspond à 50 °F, donc $f(10)=50$.

• Proposition 1 : $f(10)=10+32=42$ et non 50. Elle ne convient pas.
• Proposition 3 : $f(0)=2\times 0+30=30$ et non 32. Elle ne convient pas.
• Proposition 2 : $f(0)=1,8\times 0+32=32$ et $f(10)=1,8\times 10+32=50$. Elle est compatible avec les deux lectures.

Les propositions 1 et 3 ne peuvent donc pas être correctes et, parmi les trois, c'est la proposition 2 qui convient. (On peut le confirmer : la droite coupe l'axe des abscisses vers $-18$, et $1,8\times (-18)+32=-0,4$, presque 0.)

3. $f(10)=1,8\times 10+32=18+32=50$ et $f(-40)=1,8\times (-40)+32=-72+32=-40$. $f(10)=50$ et $f(-40)=-40$.

4. On cherche une température $x$ telle que $f(x)=x$, c'est-à-dire $1,8x+32=x$, soit $0,8x=-32$ et $x={\displaystyle \frac{-32}{0,8}}=-40$. C'est d'ailleurs ce qu'on a trouvé à la question 3 : $f(-40)=-40$. Oui : −40 °C correspond exactement à −40 °F ; c'est la seule valeur pour laquelle les deux températures sont égales.

1. La gélule est formée d'un cylindre de hauteur 16,6 mm et de deux demi-sphères de diamètre 9,5 mm, une à chaque bout. Chaque demi-sphère ajoute un rayon à la longueur, soit $9,5÷2=4,75$ mm. La longueur totale est donc $L=4,75+16,6+4,75=16,6+9,5=26,1$ mm. D'après le tableau, une longueur de 26,1 mm correspond au calibre « 000 ». Cette gélule est de calibre 000.

2. Le rayon commun du cylindre et des demi-sphères est $R=4,75$ mm. Les deux demi-sphères identiques forment une sphère entière.
Volume du cylindre : $V_1=\pi \times 4,{75}^2\times 16,6=374,5375\pi \approx 1176,64$ mm³.
Volume de la sphère : $V_2={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 4,{75}^3\approx 448,92$ mm³.
Volume de la gélule : $V=V_1+V_2\approx 1176,64+448,92=1625,56$ mm³.
Le volume de la gélule est d'environ 1 626 mm³ (arrondi au mm³).

3. La boîte contient $3\times 6=18$ gélules. La masse d'une gélule est égale à sa masse volumique multipliée par son volume :
$m=6,15\times {10}^{-4}\times 1625,56\approx 0,9997$ g, soit environ 1 g par gélule.
Pour toute la boîte : $18\times 0,9997\approx 17,995$ g.
Robert a absorbé environ 18 g d'antibiotique durant son traitement.