Sujet du brevet 2015 de maths — Asie (Série générale)

1. Réponse C. Un nombre en notation scientifique s'écrit $a\times {10}^n$ avec $1⩽a<10$. Ici $587000000=5,87\times 100000000=5,87\times {10}^8$. La réponse B est bien égale au nombre mais $58,7$ n'est pas compris entre 1 et 10 ; la réponse A est un nombre très petit. $587000000=5,87\times {10}^8$.

2. Réponse A. Par double distributivité : $(x+2)(3x-1)$$=3x^2-x+6x-2$$=3x^2+5x-2$. On obtient $3x^2+5x-2$.

3. Réponse C. Si les 28 véhicules étaient des motos, il y aurait $28\times 2=56$ roues. Il y a $80-56=24$ roues en plus, et chaque voiture apporte 2 roues de plus qu'une moto : $24÷2=12$ voitures. Vérification : 12 voitures et 16 motos font $12\times 4+16\times 2=48+32=80$ roues. Il y a 12 voitures.

4. Réponse B. Le produit de 18 facteurs égaux à $-8$ s'écrit $(-8{)}^{18}$ : les parenthèses indiquent que c'est $-8$ tout entier qui est multiplié par lui-même. L'écriture $-8^{18}$ désigne $-(8^{18})$, un nombre négatif, alors qu'un produit de 18 facteurs négatifs (nombre pair) est positif ; $18\times (-8)$ est une somme de 18 termes, pas un produit. Le produit s'écrit $(-8{)}^{18}$.

5. Réponse A. La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle : une de ses dimensions est la hauteur du cylindre (10 cm) et l'autre est la longueur d'une corde du cercle de base, donc inférieure ou égale au diamètre (4 cm). Seul le rectangle de 3 cm sur 10 cm convient (5 cm dépasse le diamètre et 8 cm n'est pas la hauteur). La section peut être un rectangle de 3 cm sur 10 cm.

En utilisant le passage piéton, Julien marche de J à K le long du trottoir puis traverse de K à F : il parcourt $JK+KF=15+8=23$ m.

En traversant directement, il parcourt la longueur JF. Le passage piéton est perpendiculaire au trottoir, donc le triangle FKJ est rectangle en K. D'après le théorème de Pythagore : $J{F}^2=K{F}^2+K{J}^2=8^2+{15}^2=64+225=289$, donc $JF=\sqrt{289}=17$ m.

Julien économise donc $23-17=6$ m de marche.

Un piéton met 9 secondes pour 10 mètres, soit $9÷10=0,9$ seconde par mètre. Pour 6 m : $6\times 0,9=5,4$ s (on peut aussi écrire la proportion ${\displaystyle \frac{9\times 6}{10}}=5,4$).

Julien a gagné 5,4 secondes (en prenant un risque bien inutile pour si peu de temps !).

Il y a $10+12+18=40$ sportifs dans le bus ; ils sortent en désordre, donc chacun a la même chance de sortir le premier (situation d'équiprobabilité).

1. Il y a 10 joueurs de ping-pong sur 40 sportifs : $p={\displaystyle \frac{10}{40}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. La probabilité que le premier sportif soit un joueur de ping-pong est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, soit 0,25.

2. Il y a $12+18=30$ coureurs ou gymnastes : $p={\displaystyle \frac{30}{40}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. On retrouve ce résultat avec l'événement contraire : $1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. La probabilité est ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, soit 0,75.

3. Notons $n$ le nombre de nageurs. Il y a alors $40+n$ sportifs dans le bus et la probabilité qu'un nageur sorte en premier est ${\displaystyle \frac{n}{40+n}}$. On veut ${\displaystyle \frac{n}{40+n}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$, d'où, par produit en croix, $5n=40+n$, soit $4n=40$ et $n=10$.
Vérification : ${\displaystyle \frac{10}{50}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$. Il y a 10 nageurs dans le bus.

La première année, il reste 37 ballons : les enfants se sont partagé $397-37=360$ ballons. Le nombre d'enfants est donc un diviseur de 360.

L'année suivante, il reste 13 ballons : ils se sont partagé $598-13=585$ ballons. Le nombre d'enfants est donc aussi un diviseur de 585.

Le nombre maximal d'enfants est donc le plus grand diviseur commun de 360 et 585. Avec l'algorithme d'Euclide :
$585=1\times 360+225$
$360=1\times 225+135$
$225=1\times 135+90$
$135=1\times 90+45$
$90=2\times 45+0$
Le dernier reste non nul est 45 : $\text{PGCD}(360;585)=45$.

On peut le vérifier avec les décompositions en facteurs premiers : $360=2^3\times 3^2\times 5$ et $585=3^2\times 5\times 13$, d'où $\text{PGCD}=3^2\times 5=45$.

Vérification : $397=45\times 8+37$ et $598=45\times 13+13$, avec des restes 37 et 13 bien inférieurs à 45 (un reste doit toujours être plus petit que le diviseur).

Il y avait au maximum 45 enfants.

1. a) À l'échelle 1/1 000, 1 cm sur le schéma représente 10 m, donc $L=80$ m est représenté par un segment [AB] de 8 cm. Construction : tracer [AB] de 8 cm ; au rapporteur, tracer en A une demi-droite faisant un angle de 45° avec [AB] et en B une demi-droite faisant un angle de 65° avec [BA], du même côté ; elles se coupent au point C (le bateau). Tracer enfin la perpendiculaire à (AB) passant par C : elle coupe [AB] en H, et la distance d est représentée par CH.

1. b) On mesure sur le schéma CH ≈ 5,5 cm. Comme 1 cm représente 10 m, on conjecture que d ≈ 55 m. (Une mesure entre 5,4 cm et 5,6 cm, soit entre 54 m et 56 m, est acceptable.)

2. a) La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°. Dans le triangle ABC : $\widehat{ACB}=180-45-65=70$. L'angle $\widehat{ACB}$ mesure bien 70°.

2. b) D'après la loi des sinus, ${\displaystyle \frac{BC}{\sin \hat{A}}}={\displaystyle \frac{AB}{\sin \hat{C}}}$, d'où $BC={\displaystyle \frac{AB\times \sin \hat{A}}{\sin \hat{C}}}={\displaystyle \frac{80\times \sin 45}{\sin 70}}$ (angles en degrés).
À la calculatrice : $BC\approx {\displaystyle \frac{80\times 0,7071}{0,9397}}\approx 60,199$. BC ≈ 60,20 m au cm près.

2. c) Le triangle CHB est rectangle en H. L'angle $\widehat{CBH}$ mesure 65°, le côté [CH] lui est opposé et [BC] est l'hypoténuse. On utilise le sinus : $\sin \widehat{CBH}={\displaystyle \frac{CH}{BC}}$, donc $CH=BC\times \sin 65\approx 60,199\times 0,9063\approx 54,559$. CH ≈ 54,56 m au cm près.

La distance du bateau à la plage est donc d ≈ 54,56 m, ce qui confirme la conjecture de la question 1. b).

1. La valeur $x=-2$ se trouve dans la colonne C ; la ligne 4 contient les valeurs de $h$. La cellule C4 affiche $-17$. $h(-2)=-17$. (Vérification : $5\times (-2)-7=-10-7=-17$.)

2. $g(-3)$$=3\times (-3{)}^2-9\times (-3)-7$$=3\times 9+27-7$$=27+27-7$$=47$. On a bien $g(-3)=47$.

3. L'image de $-3$ par la fonction $g$ est 47 ; autrement dit, $-3$ est un antécédent de 47 par la fonction $g$.

4. La cellule B1 contient la valeur de $x$ et $h(x)=5x-7$. Pauline a saisi dans B4 la formule =5*B1-7, puis l'a étirée vers la droite.

5. a) L'équation $3x^2-9x-7=5x-7$ s'écrit $g(x)=h(x)$. On cherche dans le tableau une colonne où les lignes 3 et 4 affichent la même valeur : dans la colonne E, pour $x=0$, on lit $g(0)=-7$ et $h(0)=-7$. Le nombre 0 est une solution de l'équation.

5. b) On résout l'équation par le calcul :
$3x^2-9x-7=5x-7$
$3x^2-9x-5x=0$
$3x^2-14x=0$
$x(3x-14)=0$
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $x=0$ ou $3x-14=0$, c'est-à-dire $x={\displaystyle \frac{14}{3}}$.
Vérification : $g\left({\displaystyle \frac{14}{3}}\right)=3\times {\displaystyle \frac{196}{9}}-42-7={\displaystyle \frac{196}{3}}-49={\displaystyle \frac{49}{3}}$ et $h\left({\displaystyle \frac{14}{3}}\right)={\displaystyle \frac{70}{3}}-7={\displaystyle \frac{49}{3}}$.
Oui, l'équation a une autre solution : $x={\displaystyle \frac{14}{3}}\approx 4,67$, que le tableur ne pouvait pas faire apparaître puisqu'il n'affiche que des valeurs entières de $x$ entre $-3$ et 3.

1. a) Le rayon de la sphère est $r=10$ cm et la hauteur de la calotte est $h=18$ cm. Avec la formule $V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times h^2\times (3r-h)$ :
$V$$={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times {18}^2\times (3\times 10-18)$$={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times 324\times 12$$=\pi \times 324\times 4$$=1296\pi$.
Le volume exact de l'aquarium est bien $1296\pi$ cm³.

1. b) $1296\pi \approx 4071,5$ cm³. Comme $1\text{ L}=1000$ cm³, cela fait environ 4,07 L. Le volume de l'aquarium est d'environ 4 L au litre près.

2. L'eau versée occupe dans le nouvel aquarium un pavé droit de base 15 cm × 20 cm, dont l'aire vaut $15\times 20=300$ cm². Le volume d'un pavé droit est $V=\text{aire de la base}\times \text{hauteur}$, donc la hauteur d'eau est :
$h={\displaystyle \frac{1296\pi }{300}}\approx 13,57$ cm.
L'eau atteint une hauteur d'environ 14 cm (arrondi au cm).