Sujet du brevet 2015 de maths — Métropole (Série générale)

1. Une formule de tableur commence toujours par le signe « = », et la somme ne doit porter que sur les quantités des six exploitations, c'est-à-dire les cellules B2 à B7 (la cellule B8 est celle où l'on écrit la formule : l'inclure créerait une référence circulaire). La formule qui convient est donc =SOMME(B2:B7).

2. Quantité totale collectée : $1250+2130+1070+2260+1600+1740=10050$ L.
La moyenne est égale à la somme des quantités divisée par le nombre d'exploitations (6) : ${\displaystyle \frac{10050}{6}}=1675$.
La quantité moyenne de lait collecté est de 1 675 L par exploitation. (Vérification : $1675\times 6=10050$.)

3. L'exploitation « Petit pas » a fourni 2 260 L sur 10 050 L : ${\displaystyle \frac{2260}{10050}}\times 100\approx 22,49$.
Environ 22 % de la collecte provient de l'exploitation « Petit pas » (arrondi à l'unité).

On teste d'abord les nombres annoncés, puis on fait le calcul avec un nombre quelconque pour l'affirmation de Faïza.

Sophie. Avec 4 : $4+8=12$ ; $12\times 3=36$ ; $36-24=12$ ; $12-4=8$. On obtient bien 8. Sophie a raison.

Martin. Avec 0 : $0+8=8$ ; $8\times 3=24$ ; $24-24=0$ ; $0-0=0$. On obtient bien 0. Martin a raison.

Gabriel. Avec $-3$ : $-3+8=5$ ; $5\times 3=15$ ; $15-24=-9$ ; $-9-(-3)=-9+3=-6$. On obtient $-6$ et non $-9$ : Gabriel a oublié la dernière étape (enlever le nombre de départ). Gabriel a tort.

Faïza. On note $x$ le nombre de départ. Les étapes donnent successivement : $x+8$, puis $3(x+8)$, puis $3(x+8)-24$, puis $3(x+8)-24-x$.
On développe et on réduit : $3(x+8)-24-x=3x+24-24-x=2x$.
Le résultat final est donc toujours $2x$, le double du nombre de départ. Faïza a raison. (Cohérent avec les essais : $2\times 4=8$, $2\times 0=0$, $2\times (-3)=-6$.)

1. Le triangle DKA est rectangle en K (codage de la figure). D'après le théorème de Pythagore : $D{A}^2=D{K}^2+K{A}^2$, donc $K{A}^2=D{A}^2-D{K}^2$.
$K{A}^2={60}^2-{11}^2=3600-121=3479$, donc $KA=\sqrt{3479}\approx 58,98$.
KA ≈ 59,0 cm (au millimètre près). (Vérification : ${59}^2=3481$, très proche de 3 479.)

2. Les droites (PH) et (DK) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (KA) (angles droits en H et en K). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles : (PH) // (DK).
Comme les points A, P, D d'une part et A, H, K d'autre part sont alignés, d'après le théorème de Thalès dans le triangle ADK : ${\displaystyle \frac{AP}{AD}}={\displaystyle \frac{AH}{AK}}={\displaystyle \frac{PH}{DK}}$.
Les points D, P, A étant alignés dans cet ordre : $AP=DA-DP=60-45=15$ cm.
Donc ${\displaystyle \frac{15}{60}}={\displaystyle \frac{PH}{11}}$, d'où $PH={\displaystyle \frac{15\times 11}{60}}={\displaystyle \frac{165}{60}}=2,75$.
HP = 2,75 cm. (Vérification : ${\displaystyle \frac{2,75}{11}}=0,25={\displaystyle \frac{15}{60}}$.)

1. $f(3)=-6\times 3+7=-18+7=-11$. L'image de 3 par la fonction $f$ est $-11$.

2. Arthur choisit au hasard une chemisette parmi 3, puis un short parmi 2 : il y a $3\times 2=6$ tenues possibles, toutes équiprobables (V-V, V-B, B-V, B-B, R-V, R-B, en notant chemisette puis short). Une seule tenue est entièrement verte : chemisette verte et short vert.
La probabilité qu'Arthur soit habillé uniquement en vert est ${\displaystyle \frac{1}{6}}$. (Autre calcul : ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.)

3. $2^{40}=2^{39+1}=2^{39}\times 2^1=2\times 2^{39}$. Ariane a raison : $2^{40}$ est bien le double de $2^{39}$.

4. Contre-exemple : 6 est pair et 9 est impair, mais 3 divise 6 et 9. Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, 6 ; ceux de 9 sont 1, 3, 9 : le PGCD de 6 et 9 est 3, et non 1. Loïc a tort. (Ce qui est vrai, c'est seulement que ce PGCD ne peut pas être pair.)

5. $5x-2=3x+7$
$5x-3x=7+2$
$2x=9$
$x={\displaystyle \frac{9}{2}}=4,5$.
L'équation a pour unique solution $x=4,5$. (Vérification : $5\times 4,5-2=20,5$ et $3\times 4,5+7=20,5$.)

1. La zone grisée est formée du rectangle ABDE et du triangle BCD.

• Aire du rectangle ABDE : $7,5\times 6=45$ m².
• Triangle BCD : sa base est BD = AE = 7,5 m et sa hauteur est la différence entre la hauteur totale du hangar et celle du rectangle : $9-6=3$ m. Aire : ${\displaystyle \frac{7,5\times 3}{2}}=11,25$ m².
• Aire à peindre : $45+11,25=56,25$ m².

Un pot couvre 24 m² en une seule couche (peinture monocouche) : ${\displaystyle \frac{56,25}{24}}\approx 2,34$. Deux pots ne couvriraient que 48 m², ce qui est insuffisant : il faut donc acheter 3 pots.
Montant : $3\times 103,45=310,35$.
Le montant minimum à prévoir est de 310,35 €.

2. Somme réglée aujourd'hui : ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times 343,50={\displaystyle \frac{687}{5}}=137,40$ €.
Reste à payer : $343,50-137,40=206,10$ €.
Chaque mensualité : ${\displaystyle \frac{206,10}{3}}=68,70$.
Chaque mensualité sera de 68,70 €. (Vérification : $137,40+3\times 68,70=137,40+206,10=343,50$ €.)

1. Distance d'arrêt = distance de réaction + distance de freinage $=12,5+10=22,5$. La distance d'arrêt du scooter est de 22,5 m.

2. a. Sur le graphique de la distance de réaction, on part de 15 m sur l'axe vertical, on rejoint la droite puis on descend sur l'axe des vitesses : on roule à environ 54 km/h (un peu plus de 50 km/h ; une lecture « environ 55 km/h » est acceptée).

2. b. La courbe de la distance de freinage passe par l'origine, mais ce n'est pas une droite : c'est une courbe qui s'incurve vers le haut. Par exemple, on lit environ 12 m à 50 km/h et environ 50 m à 100 km/h : quand la vitesse double, la distance de freinage est environ multipliée par 4, et non par 2. La distance de freinage n'est donc pas proportionnelle à la vitesse.

2. c. À 90 km/h, on lit sur le premier graphique une distance de réaction de 25 m, et sur le second une distance de freinage d'environ 40 m.
Distance d'arrêt : $25+40=65$. À 90 km/h, la distance d'arrêt est d'environ 65 m.

3. On remplace $v$ par 110 dans la formule : ${\displaystyle \frac{{110}^2}{152,4}}={\displaystyle \frac{12100}{152,4}}\approx 79,4$.
Sur route mouillée, à 110 km/h, la distance de freinage est d'environ 79 m (au mètre près).

1. Le triangle ABC est rectangle en B. L'angle $\widehat{BCA}$ a pour côté opposé [AB] (le dénivelé, 10 m) et pour côté adjacent [BC] (le déplacement horizontal, 100 m). On utilise donc la tangente :
$\tan \widehat{BCA}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{10}{100}}=0,1$.
À la calculatrice (en mode degrés) : $\widehat{BCA}=\arctan (0,1)$, soit environ 5,7°.
La route fait un angle d'environ 6° avec l'horizontale (arrondi au degré).

2. Le panneau B (« 1 : 5 ») indique un dénivelé de 1 m pour un déplacement horizontal de 5 m, soit ${\displaystyle \frac{1}{5}}=0,2={\displaystyle \frac{20}{100}}$ : une pente de 20 %.
Le panneau A indique une pente de 15 %, soit 15 m de dénivelé pour 100 m horizontaux, contre 20 m pour le panneau B.
Comme 20 % > 15 %, c'est le panneau B qui indique la pente la plus forte.