Sujet du brevet 2015 de maths — Amérique du Sud (Série générale)

Aucune justification n'est attendue ; les explications ci-dessous servent à comprendre.

Question 1. ${\left(4\sqrt{2}\right)}^2=4^2\times {\left(\sqrt{2}\right)}^2=16\times 2=32$. Or le PGCD de 128 et de 96 vaut aussi 32 (algorithme d'Euclide : $128=96\times 1+32$ et $96=32\times 3+0$). Réponse 2 : le PGCD de 128 et de 96.

Question 2. La série, déjà rangée dans l'ordre croissant, compte 9 valeurs : la médiane est la 5^e valeur, soit 12. La moyenne vaut ${\displaystyle \frac{7+8+8+12+12+14+15+15+41}{9}}={\displaystyle \frac{132}{9}}\approx 14,7$. Comme $12<14,7$, réponse 2 : la médiane est inférieure à la moyenne de cette série. (La valeur 41, très éloignée des autres, tire la moyenne vers le haut.)

Question 3. La proportion d'élèves qui ne viennent pas en bus est $1-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, d'où $(1-{\displaystyle \frac{2}{3}})\times 30={\displaystyle \frac{1}{3}}\times 30=10$ élèves. Réponse 3 : $(1-{\displaystyle \frac{2}{3}})\times 30$. La proposition 2 est fausse à cause des priorités opératoires : $1-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times 30=1-20=-19$.

Question 4. On teste le couple $(3;5)$ : $2\times 3+5=11$ et $3-3\times 5=3-15=-12$. Les deux équations sont vérifiées. Réponse 3 : le couple $(3;5)$. (Pour $(3,5;4)$ : $3,5-12=-8,5\ne -12$ ; pour $(-12;0)$ : $2\times (-12)+0=-24\ne 11$.)

1. La cellule B2 doit contenir l'image par $f$ du nombre écrit en B1, c'est-à-dire $-8\times$ B1. On peut saisir la formule =-8*B1 ; recopiée vers la droite, elle devient =-8*C1, =-8*D1, =-8*E1.

2. La cellule E2 indique que l'image par $f$ du nombre effacé vaut $-24$. On cherche donc $x$ tel que $-8x=-24$, soit $x={\displaystyle \frac{-24}{-8}}=3$. Vérification avec $g$ : $g(3)=-6\times 3+4=-18+4=-14$, ce qui correspond bien à la cellule E3. La cellule E1 contenait le nombre 3.

3. Pour tout nombre $x$ : $h(x)$$=f(x)\times g(x)$$=-8x\times (-6x+4)$$=48x^2-32x$.
L'expression contient un terme en $x^2$ : elle ne peut pas s'écrire sous la forme $ax+b$. On peut aussi le vérifier avec des valeurs : $h(0)=0$, $h(1)=48-32=16$ et $h(2)=192-64=128$ ; quand $x$ augmente de 1, $h(x)$ augmente de 16 puis de 112, alors que pour une fonction affine l'augmentation serait toujours la même. La fonction $h$ n'est pas une fonction affine.

1. Le DJ possède $96+104=200$ titres, choisis au hasard (situation d'équiprobabilité). Parmi eux, 96 sont des titres de rap : $p={\displaystyle \frac{96}{200}}={\displaystyle \frac{12}{25}}=0,48$. La probabilité que le premier titre soit un titre de rap est ${\displaystyle \frac{12}{25}}$, soit 0,48.

2. a. Les mix étant identiques et utilisant tous les titres, le nombre de concerts doit diviser à la fois 96 et 104. Le nombre maximum de concerts est donc le PGCD de 96 et de 104.
Algorithme d'Euclide : $104=96\times 1+8$, puis $96=8\times 12+0$. Le dernier reste non nul est 8, donc PGCD$(96\,;\,104) = 8$. Le DJ pourra réaliser au maximum 8 concerts différents.

2. b. $96÷8=12$ et $104÷8=13$. Chaque concert comportera 12 titres de rap et 13 titres d'électro (soit 25 titres ; vérification : $8\times 25=200$).

Données lues sur la figure. Le segment [AB] mesure 9 m et il est partagé par les points H, E, D, F et G en six segments marqués du même codage : $AH=HE=ED=DF=FG=GB=9÷6=1,5$ m. Par symétrie par rapport à [CD], D est le milieu de [AB], donc $AD=4,5$ m, et $HD=2\times 1,5=3$ m. La poutre [CD] est perpendiculaire à [AB].

1. Le triangle ADC est rectangle en D et l'angle $\widehat{DAC}$ mesure 25°. Dans ce triangle, d'après la trigonométrie : $\tan \widehat{DAC}={\displaystyle \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}}={\displaystyle \frac{CD}{AD}}$.
Donc $CD=AD\times \tan 25°=4,5\times \tan 25°\approx 2,098$ m. Au centimètre près, CD = 2,10 m : la dimension du charpentier est exacte.

2. Le triangle ADC est rectangle en D, donc d'après le théorème de Pythagore : $A{C}^2$$=A{D}^2+C{D}^2$$=4,5^2+2,{10}^2$$=20,25+4,41$$=24,66$.
Donc $AC=\sqrt{24,66}\approx 4,966$ m. Au centimètre près, AC = 4,97 m. (Avec la valeur non arrondie $CD\approx 2,098$ m, on trouve $AC\approx 4,965$ m, ce qui donne le même arrondi.)

3. Les points D, H, A sont alignés, ainsi que les points D, I, C, et les droites (HI) et (AC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès dans les triangles DHI et DAC : ${\displaystyle \frac{DH}{DA}}={\displaystyle \frac{DI}{DC}}={\displaystyle \frac{HI}{AC}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{3}{4,5}}={\displaystyle \frac{DI}{2,10}}$, d'où $DI={\displaystyle \frac{3\times 2,10}{4,5}}={\displaystyle \frac{6,3}{4,5}}=1,4$. DI = 1,40 m.

4. Deux démarches possibles (non rédigées, comme demandé) :

• Méthode 1 (trigonométrie). Les droites (HI) et (AC) sont parallèles et coupées par la sécante (AB) : les angles correspondants $\widehat{DHI}$ et $\widehat{DAC}$ sont égaux, donc $\widehat{DHJ}=25°$. Dans le triangle HJD rectangle en J, on utilise le sinus : $\sin 25°={\displaystyle \frac{JD}{HD}}$, d'où $JD=3\times \sin 25°\approx 1,268$, soit 1,27 m.
• Méthode 2 (aires). On calcule d'abord HI par le théorème de Pythagore dans le triangle HDI rectangle en D : $HI=\sqrt{3^2+1,4^2}=\sqrt{10,96}\approx 3,311$ m. Puis on écrit l'aire du triangle HDI de deux façons : ${\displaystyle \frac{HD\times DI}{2}}={\displaystyle \frac{HI\times JD}{2}}$ (car [JD] est la hauteur issue de D). D'où $JD={\displaystyle \frac{3\times 1,4}{HI}}\approx 1,269$, soit 1,27 m.

Autre démarche acceptée : calculer l'angle $\widehat{DHI}$ avec $\tan \widehat{DHI}={\displaystyle \frac{DI}{HD}}={\displaystyle \frac{1,4}{3}}$, puis utiliser le sinus dans le triangle HJD. Les trois démarches confirment JD ≈ 1,27 m.

Affirmation 1 : fausse. On reconnaît une identité remarquable : $n^2-6n+9=n^2-2\times n\times 3+3^2=(n-3{)}^2$. Pour $n=3$ (qui est bien un entier naturel), on obtient $3^2-6\times 3+9=9-18+9=0$. L'expression n'est donc pas toujours différente de 0 : $n=3$ est un contre-exemple.

Affirmation 2 : fausse. On convertit la vitesse du faucon en m/s : $180\text{ km/h}={\displaystyle \frac{180000\text{ m}}{3600\text{ s}}}=50\text{ m/s}$. Comme $50<51$, le faucon (50 m/s) est moins rapide que le ballon (51 m/s).

Étape 1 : choix du modèle. On compare les surfaces (aires) des trois rectangles, en mètres :

• Modèle A : $5\times 3=15$ m² ;
• Modèle B : $8,5\times 3,5=29,75$ m² ;
• Modèle C : $8\times 4=32$ m².

Ils choisissent donc le modèle C (8 m sur 4 m).

Étape 2 : surface de dalles. Les dalles entourent la piscine sur une largeur de 2 m de chaque côté. L'ensemble piscine + dalles forme un rectangle de $8+2\times 2=12$ m sur $4+2\times 2=8$ m, d'aire $12\times 8=96$ m². La surface couverte par les dalles vaut donc $96-32=64$ m², soit 64 dalles de 1 m².

Étape 3 : prix. Sans remise : $64\times 13,90=889,60$ €. La remise de 15 % revient à multiplier par $1-0,15=0,85$ : $889,60\times 0,85=756,16$ € (vérification : la remise vaut $889,60\times 0,15=133,44$ € et $889,60-133,44=756,16$ €).

Ils payent 756,16 € pour leurs dalles.

1. a. Le volume d'une boule de rayon $r$ est $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$. Pour la tête, $r=3$ cm : $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 3^3={\displaystyle \frac{4\times 27}{3}}\pi =36\pi$. Le volume de la tête est bien $36\pi$ cm³.

1. b. Le rayon du corps est 2 fois plus grand : c'est un agrandissement de rapport $k=2$, donc les volumes sont multipliés par $k^3=2^3=8$. $V_{\text{corps}}=8\times 36\pi =288\pi$. Le volume exact de la boule du corps est $288\pi$ cm³ (vérification : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \times 6^3={\displaystyle \frac{4\times 216}{3}}\pi =288\pi$).

2. La section d'une sphère par un plan est un cercle ; la surface d'assemblage est donc un disque. Notons O le centre de la tête, H le centre du disque de section et M un point du cercle de section. Le triangle OHM est rectangle en H, avec $OH=2$ cm (distance du plan au centre) et $OM=3$ cm (rayon de la boule).
D'après le théorème de Pythagore : $H{M}^2=O{M}^2-O{H}^2=3^2-2^2=9-4=5$, donc le rayon du disque vaut $\sqrt{5}$ cm.
Aire du disque : $𝒜=\pi \times H{M}^2=5\pi \approx 15,7$ cm². L'aire de la surface d'assemblage est d'environ 16 cm².

Notons $n$ le nombre d'allers-retours effectués dans l'année.

• Sans abonnement : prix $=40n$ (en euros).
• Avec abonnement : chaque aller-retour coûte $40÷2=20$ €, d'où prix $=442+20n$.

Les deux formules coûtent le même prix lorsque $40n=442+20n$, soit $20n=442$, donc $n=22,1$. Comme $n$ est un nombre entier, on compare autour de cette valeur :

• pour 22 allers-retours : $40\times 22=880$ € sans abonnement, contre $442+20\times 22=882$ € avec ;
• pour 23 allers-retours : $40\times 23=920$ € sans abonnement, contre $442+20\times 23=902$ € avec.

Plus généralement, $40n<442+20n$ équivaut à $n<22,1$.

Conclusion : si Sophie fait 22 allers-retours ou moins dans l'année, elle a intérêt à payer chaque trajet sans abonnement ; à partir de 23 allers-retours, l'abonnement est plus avantageux.