Sujet du brevet 2014 de maths — Métropole (Série générale)

1. Construction (aucune justification attendue) : on trace un cercle de centre O et de rayon 3 cm. Un octogone régulier a 8 sommets régulièrement répartis sur ce cercle, donc deux sommets consécutifs forment avec O un angle au centre de ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{8}}={45}^{\circ }$. On place un premier point A sur le cercle, puis, au rapporteur, on reporte sept fois un angle de ${45}^{\circ }$ à partir de O pour obtenir B, C, D, E, F, G et H ; on relie les points dans l'ordre. (Autre méthode : tracer deux diamètres perpendiculaires, puis leurs bissectrices : les 8 extrémités sont les sommets.)

2. L'octogone est régulier et inscrit dans un cercle de centre O : chaque angle au centre entre deux sommets consécutifs mesure ${45}^{\circ }$. De D à H, en passant par E, F et G, il y a 4 côtés, donc $\widehat{DOH}=4\times {45}^{\circ }={180}^{\circ }$ : les points D, O et H sont alignés et [DH] est un diamètre du cercle.
Le point A est aussi sur ce cercle. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse. Le triangle DAH est donc rectangle en A.

3. L'angle $\widehat{BEH}$ est un angle inscrit dans le cercle ; il intercepte l'arc BH qui ne contient pas E, c'est-à-dire l'arc passant par A. De B à H en passant par A, il y a 2 côtés, donc l'angle au centre associé vaut $\widehat{BOH}=2\times {45}^{\circ }={90}^{\circ }$.
D'après le théorème de l'angle inscrit, un angle inscrit mesure la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc : $\widehat{BEH}={\displaystyle \frac{{90}^{\circ }}{2}}={45}^{\circ }$. L'angle $\widehat{BEH}$ mesure ${45}^{\circ }$.

Vérification par une autre méthode : le triangle OEH est isocèle en O (OE = OH = rayon) et $\widehat{EOH}=3\times {45}^{\circ }={135}^{\circ }$, donc $\widehat{OEH}={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{135}^{\circ }}{2}}=22,5^{\circ }$. De même $\widehat{BOE}={135}^{\circ }$ donne $\widehat{OEB}=22,5^{\circ }$. Comme [EA] est un diamètre passant par O, situé entre [EB) et [EH), on a $\widehat{BEH}=22,5^{\circ }+22,5^{\circ }={45}^{\circ }$.

On note $p$ le prix d'un cahier avant promotion (le même dans les trois magasins).

1. Pour un seul cahier : au magasin A, le lot de 3 ne s'applique pas, elle paie $p$ ; au magasin B, la réduction ne porte que sur le deuxième cahier, elle paie $p$ ; au magasin C, elle bénéficie de 30 % de réduction et paie $p-0,3p=0,7p$. Comme $0,7p<p$, le magasin C est le plus intéressant pour un seul cahier.

2. a) Pour deux cahiers :

• magasin A : $2p$ ;
• magasin B : $p+0,5p=1,5p$ ;
• magasin C : $2\times 0,7p=1,4p$.

Comme $1,4p<1,5p<2p$, pour deux cahiers, elle doit choisir le magasin C.

2. b) Pour trois cahiers :

• magasin A : 3 cahiers pour le prix de 2, soit $2p$ ;
• magasin B : le deuxième est à moitié prix, le troisième est au prix normal, soit $p+0,5p+p=2,5p$ ;
• magasin C : $3\times 0,7p=2,1p$.

Comme $2p<2,1p<2,5p$, pour trois cahiers, elle doit choisir le magasin A.

3. Une réduction de 30 % revient à multiplier le prix par $1-0,30=0,7$ ; une réduction de 10 % revient à multiplier par $1-0,10=0,9$. Les deux réductions s'appliquent l'une après l'autre : le prix payé est $p\times 0,7\times 0,9=0,63p$. Elle paie donc 63 % du prix initial, et la réduction totale est $100\%-63\%=37\%$. Léa obtient une réduction totale de 37 %.

Vérification avec un cahier à 10 € : après 30 % de réduction il coûte 7 €, puis après 10 % de réduction $7-0,7=6,30$ €, soit une économie de 3,70 € sur 10 €, c'est-à-dire 37 %.

Si on choisit le nombre $x$, on obtient $x-6$ d'un côté et $x-2$ de l'autre, puis le résultat $(x-6)(x-2)$.

1. Avec 8 : $8-6=2$ et $8-2=6$, puis $2\times 6=12$. Le programme donne bien 12.

2.

Proposition 1 : vraie. Avec le nombre 4 : $4-6=-2$ et $4-2=2$, puis $(-2)\times 2=-4$. Le résultat $-4$ est négatif.

Proposition 2 : vraie. ${\displaystyle \frac{1}{2}}-6={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{12}{2}}=-{\displaystyle \frac{11}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{2}}-2={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{4}{2}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, puis $(-{\displaystyle \frac{11}{2}})\times (-{\displaystyle \frac{3}{2}})={\displaystyle \frac{33}{4}}$ (produit de deux nombres négatifs, donc positif). Vérification décimale : $(-5,5)\times (-1,5)=8,25={\displaystyle \frac{33}{4}}$.

Proposition 3 : vraie. Le résultat est nul lorsque $(x-6)(x-2)=0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $x-6=0$ ou $x-2=0$, c'est-à-dire $x=6$ ou $x=2$. Le programme donne 0 pour exactement deux nombres : 2 et 6.

Proposition 4 : fausse. Une fonction linéaire est de la forme $x\mapsto ax$ et associe toujours 0 au nombre 0. Or, avec 0 au départ, le programme donne $(0-6)(0-2)=(-6)\times (-2)=12\ne 0$. De plus, en développant, $(x-6)(x-2)$$=x^2-2x-6x+12$$=x^2-8x+12$, qui contient un terme en $x^2$ : ce n'est pas une fonction linéaire.

1. a) Sur le graphique, après 1 000 tirages, la fréquence d'apparition du jaune se stabilise autour de 0,5, nettement au-dessus des autres couleurs (vert environ 0,25, rouge environ 0,2, bleu proche de 0,05). La couleur la plus présente dans le sac est le jaune.

1. b) La fréquence d'apparition du rouge est le quotient du nombre de jetons rouges apparus par le nombre de tirages, soit B2 divisé par A2. Formule saisie en C2 : =B2/A2. Vérification avec la ligne 7 : ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx 0,166666667$, ce qui correspond bien au tableau.

2. Les 20 jetons ont la même probabilité d'être tirés, donc la probabilité de tirer un jeton rouge est ${\displaystyle \frac{\text{nombre de jetons rouges}}{20}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$. Le nombre de jetons rouges est donc $20\times {\displaystyle \frac{1}{5}}=4$. Il y a 4 jetons rouges dans le sac. (Cela concorde avec le graphique : la fréquence du rouge se stabilise vers 0,2.)

Question 1 : réponse d (8). Le volume d'une boule de rayon $r$ est $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$. Si le rayon est multiplié par 2, le volume est multiplié par $2^3=8$ : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi (2r{)}^3=8\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$.

Question 2 : réponse a (10 m.s⁻¹). $36$ km/h signifie 36 000 m en 3 600 s, soit ${\displaystyle \frac{36000}{3600}}=10$ m/s.

Question 3 : réponse c ($\sqrt{21}$). $525=25\times 21$, donc $\sqrt{525}=\sqrt{25}\times \sqrt{21}=5\sqrt{21}$, et ${\displaystyle \frac{5\sqrt{21}}{5}}=\sqrt{21}$. Vérification : $\sqrt{525}\approx 22,91$ et ${\displaystyle \frac{22,91}{5}}\approx 4,58\approx \sqrt{21}$.

Question 4 : réponse a (25). 1,5 To $=1,5\times {10}^{12}$ octets et 60 Go $=60\times {10}^9=6\times {10}^{10}$ octets. Nombre de dossiers : ${\displaystyle \frac{1,5\times {10}^{12}}{6\times {10}^{10}}}=0,25\times {10}^2=25$. Vérification : 1,5 To = 1 500 Go et $1500÷60=25$.

1. Le quadrilatère APQC a trois angles droits (en A, en Q et en C sur le schéma) : c'est un rectangle, donc $QC=PA=0,65$ m. Le point K est sur le segment [QC], donc $QK=QC-CK=0,65-0,58=0,07$ m.
L'inclinaison vaut ${\displaystyle \frac{QK}{QP}}={\displaystyle \frac{0,07}{5}}=0,014$. L'inclinaison est bien égale à 0,014, et comme $0,01<0,014<0,015$, les feux de Pauline sont réglés correctement.

2. Dans le triangle PQK rectangle en Q, [QK] est le côté opposé à l'angle $\widehat{QPK}$ et [QP] le côté adjacent. On utilise la tangente : $\tan \widehat{QPK}={\displaystyle \frac{QK}{QP}}=0,014$. À la calculatrice, $\widehat{QPK}=\arctan (0,014)\approx 0,{802}^{\circ }$. L'angle $\widehat{QPK}$ mesure environ $0,8^{\circ }$ (arrondi au dixième de degré).

3. Les points S, K, P sont alignés et les points S, C, A sont alignés. Les droites (KC) et (PA) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AS), donc elles sont parallèles. D'après le théorème de Thalès dans les triangles SKC et SPA : ${\displaystyle \frac{SC}{SA}}={\displaystyle \frac{SK}{SP}}={\displaystyle \frac{KC}{PA}}$.
On pose $SC=x$ ; alors $SA=SC+CA=x+5$, et ${\displaystyle \frac{x}{x+5}}={\displaystyle \frac{0,58}{0,65}}$.
Produit en croix : $0,65x=0,58(x+5)$, soit $0,65x=0,58x+2,9$, donc $0,07x=2,9$ et $x={\displaystyle \frac{2,9}{0,07}}\approx 41,43$ m.
Ainsi $AS=x+5\approx 46,43$ m. La distance d'éclairage AS est d'environ 46 m (arrondie au mètre).

Vérification par la trigonométrie : les droites (PQ) et (AS) sont parallèles, donc les angles alternes-internes $\widehat{QPS}$ et $\widehat{PSA}$ sont égaux ; dans le triangle PAS rectangle en A, $\tan \widehat{PSA}={\displaystyle \frac{PA}{AS}}=0,014$, d'où $AS={\displaystyle \frac{0,65}{0,014}}\approx 46,43$ m. On retrouve bien 46 m.

1. Volume d'une botte (pavé droit), en mètres : $V=0,9\times 0,45\times 0,35=0,14175$ m³.
Masse d'une botte : 1 m³ pèse 90 kg, donc $m=0,14175\times 90=12,7575$ kg, soit $0,0127575$ tonne.
Prix : la paille coûte 40 € la tonne, donc une botte coûte $0,0127575\times 40=0,5103$ €. Une botte coûte bien 0,51 €, arrondi au centime.

2. a) La zone grisée est le rectangle JKGF (pan du toit) : ses dimensions sont JF et FG.

• Le bâtiment est un prisme droit, donc $FG=BC=15,3$ m et $BF=CG=5$ m.
• Le quadrilatère ABFI est un rectangle, donc $IF=AB=3,6$ m et $AI=BF=5$ m ; ainsi $JI=AJ-AI=7,7-5=2,7$ m.
• Le triangle JIF est rectangle en I, donc d'après le théorème de Pythagore : $J{F}^2$$=J{I}^2+I{F}^2$$=2,7^2+3,6^2$$=7,29+12,96$$=20,25$, d'où $JF=\sqrt{20,25}=4,5$ m.

Aire de la zone grisée : $𝒜=JF\times FG=4,5\times 15,3=68,85$ m².
Volume d'isolant pour une épaisseur de 35 cm : $68,85\times 0,35=24,0975$ m³.
Nombre de bottes : ${\displaystyle \frac{24,0975}{0,14175}}=170$.
Vérification par un pavage : les bottes étant posées à plat (épaisseur 35 cm), il en faut ${\displaystyle \frac{4,5}{0,45}}=10$ dans la largeur du pan et ${\displaystyle \frac{15,3}{0,9}}=17$ dans la longueur, soit $10\times 17=170$ bottes. Marc devra commander 170 bottes de paille.

2. b) Coût de la paille : $170\times 0,5103=86,751$ €. La paille nécessaire coûte environ 86,75 € (si l'on utilise le prix arrondi de 0,51 € par botte, on obtient $170\times 0,51=86,70$ €, résultat également accepté). Vérification : $24,0975$ m³ de paille pèsent $24,0975\times 90=2168,775$ kg, soit environ 2,169 t, et $2,168775\times 40\approx 86,75$ €.