Sujet du brevet 2014 de maths — Centres étrangers (Série générale)

1. Sur chaque ligne, la colonne C contient la différence des colonnes A et B : $216-126=90$, $126-90=36$, $90-36=54$, etc. On entre en C1, puis on recopie vers le bas : =A1-B1.

2. On observe le passage d'une ligne à la suivante :

• ligne 1 → ligne 2 : B1 = 126 et C1 = 90 ; on retrouve A2 = 126 et B2 = 90 ;
• ligne 2 → ligne 3 : B2 = 90 et C2 = 36 ; on retrouve A3 = 90 et B3 = 36 ;
• ligne 3 → ligne 4 : B3 = 36 et C3 = 54 ; on trouve A4 = 54 et B4 = 36. Les deux nombres ont été rangés : le plus grand dans la colonne A, le plus petit dans la colonne B.

La cellule A2 contient donc le plus grand des deux nombres B1 et C1. La formule entrée en A2 est =MAX(B1;C1) (et, de même, B2 contient =MIN(B1;C1)). On vérifie sur les lignes suivantes : MAX(36 ; 18) = 36 = A5 et MAX(18 ; 18) = 18 = A6.

3. La feuille applique l'algorithme des différences : on remplace le couple de nombres par le plus petit des deux et leur différence, jusqu'à obtenir une différence nulle (C6 = 0). La dernière différence non nulle est celle de la cellule C5. Le nombre 18 de la cellule C5 est le PGCD de 216 et 126.

4. Le PGCD de 216 et 126 est 18, et non 1 : les deux nombres ont un diviseur commun autre que 1, donc la fraction ${\displaystyle \frac{216}{126}}$ n'est pas irréductible. On simplifie par le PGCD : $216=18\times 12$ et $126=18\times 7$, donc ${\displaystyle \frac{216}{126}}={\displaystyle \frac{18\times 12}{18\times 7}}={\displaystyle \frac{12}{7}}$. La forme irréductible est ${\displaystyle \frac{12}{7}}$.

Une fois la lance écartée, elle forme avec le mur et le sol un triangle rectangle (la tour est perpendiculaire au sol) : l'hypoténuse est la lance (20 pieds), un côté de l'angle droit est l'écart au pied de la tour (12 pieds) et l'autre côté est la hauteur $d$ atteinte sur le mur.

D'après le théorème de Pythagore : ${20}^2={12}^2+d^2$, donc $d^2=400-144=256$ et $d=\sqrt{256}=16$ pieds.

Au départ, l'extrémité haute de la lance était à 20 pieds du sol ; elle est maintenant à 16 pieds. Elle descend donc de $h=20-16=4$ pieds. L'autre extrémité de la lance descend de 4 pieds le long du mur, soit environ $4\times 30=120$ cm.

1. Faux. Tout triangle peut être inscrit dans un cercle (son cercle circonscrit), mais il n'est pas toujours rectangle. Contre-exemple : un triangle équilatéral est inscrit dans son cercle circonscrit et ses trois angles mesurent 60°. Un triangle inscrit dans un cercle n'est rectangle que si l'un de ses côtés est un diamètre du cercle.

2. Vrai. La médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points situés à égale distance de A et de B. Si M est sur la médiatrice de [AB], alors $MA=MB$ : le triangle AMB a deux côtés égaux, il est isocèle en M. (Si M est le milieu de [AB], les trois points sont alignés et le « triangle » est aplati.)

3. On ne peut pas savoir. On connaît seulement $BC=8$ cm et $\widehat{ABC}=60°$, et la figure ne respecte pas les mesures. Aucun angle droit n'est codé en A : on ne peut donc pas utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle. Si le triangle était rectangle en A, on aurait $AB=BC\times \cos 60°=8\times 0,5=4$ cm, mais rien ne permet de l'affirmer : pour un autre angle en A, AB aurait une autre longueur.

4. Vrai. D'après le codage, les quatre côtés de ABCD ont la même longueur : ABCD est un losange. Il possède de plus un angle droit en A. Or un losange qui a un angle droit est un carré. ABCD est donc un carré (même si la figure, qui ne respecte pas les mesures, ne le montre pas).

Dimensions du réservoir. Dans une réduction à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{500}}$, toutes les longueurs sont divisées par 500 :

• côté de la base : $35\text{ m}÷500=0,07$ m $=7$ cm ;
• hauteur : $22\text{ m}÷500=0,044$ m $=4,4$ cm.

Volume du réservoir. $V$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \text{aire de la base}\times \text{hauteur}$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\times 7^2\times 4,4$$={\displaystyle \frac{49\times 4,4}{3}}$$={\displaystyle \frac{215,6}{3}}$$\approx 71,87$ cm³.

(Autre méthode : le volume de la vraie pyramide est ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {35}^2\times 22={\displaystyle \frac{26950}{3}}\approx 8983,33$ m³ ; dans une réduction de rapport $k={\displaystyle \frac{1}{500}}$, les volumes sont multipliés par $k^3={\displaystyle \frac{1}{125000000}}$, ce qui donne le même résultat, environ $0,00007187$ m³, soit 71,87 cm³.)

Durée de combustion. La lampe brûle 4 cm³ d'huile par heure : $t={\displaystyle \frac{215,6}{3}}÷4={\displaystyle \frac{215,6}{12}}\approx 17,97$ h.

Il ne restera plus d'huile dans le réservoir au bout d'environ 18 heures.

1. On reconnaît l'identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ avec $a=2n$ et $b=5$ : $(2n+5)(2n-5)=(2n{)}^2-5^2$. $(2n+5)(2n-5)=4n^2-25$.

2. On choisit $n=100$ : alors $2n+5=205$ et $2n-5=195$. D'après la question 1 : $205\times 195=4\times {100}^2-25=40000-25=39975$. $205\times 195=39975$.

1. Sur autoroute : distance 993 km, durée 8 h 31 min. On convertit la durée en heures : $8\text{ h }31\text{min}=8+{\displaystyle \frac{31}{60}}$ h $={\displaystyle \frac{511}{60}}$ h. Vitesse moyenne : $v={\displaystyle \frac{d}{t}}=993÷{\displaystyle \frac{511}{60}}={\displaystyle \frac{993\times 60}{511}}\approx 116,6$ km/h. L'itinéraire prévoit une vitesse moyenne d'environ 117 km/h sur autoroute.

2. Le temps de conduite prévu est de 8 h 47 min. Il faut au moins une pause de 10 minutes après chaque tranche de deux heures de conduite : après 2 h, 4 h, 6 h et 8 h de conduite, soit 4 pauses (il reste ensuite 47 min de route, moins de 2 h). Durée minimale des pauses : $4\times 10=40$ min. Durée totale : $8\text{ h }47\text{min}+40\text{min}=9\text{ h }27\text{min}$. Julien doit prévoir au minimum 9 h 27 min pour son voyage.

3. D'après le site, le carburant coûte 89,44 €. Au prix de 1,42 € le litre, cela représente ${\displaystyle \frac{89,44}{1,42}}\approx 62,99$ L, soit environ 63 L. Or le réservoir ne contient que 60 L, et $63>60$. Non, d'après les données du site, Julien ne peut pas faire le trajet avec un seul plein : il lui manque environ 3 L.

1. On part de 0 °C : $0\times 1,8+32=32$. Le thermomètre indiquerait 32 °F.

2. On cherche la température $x$ en degrés Celsius telle que $1,8x+32=212$. Alors $1,8x=180$ et $x={\displaystyle \frac{180}{1,8}}=100$. Le thermomètre indiquerait 100 °C : l'eau bout (l'eau bout à 100 °C au niveau de la mer).

3. a) On multiplie $x$ par 1,8 puis on ajoute 32 : $f(x)=1,8x+32$.

3. b) $f$ est de la forme $f(x)=ax+b$ avec $a=1,8$ et $b=32$. C'est une fonction affine.

3. c) $f(5)=1,8\times 5+32=9+32=41$. L'image de 5 par $f$ est 41.

3. d) On résout $f(x)=5$ : $1,8x+32=5$, donc $1,8x=-27$ et $x={\displaystyle \frac{-27}{1,8}}=-15$. Vérification : $1,8\times (-15)+32=-27+32=5$. L'antécédent de 5 par $f$ est −15.

3. e) $f(10)=50$ signifie que l'image de 10 par $f$ est 50. Une température de 10 °C correspond à une température de 50 °F.