Sujet du brevet 2014 de maths — Asie (Série générale)

À chaque rebond, la hauteur est multipliée par ${\displaystyle \frac{3}{4}}$. En partant de 1 m :

• 1^er rebond : $1\times {\displaystyle \frac{3}{4}}=0,75$ m ;
• 2^e rebond : $0,75\times {\displaystyle \frac{3}{4}}=0,5625$ m ;
• 3^e rebond : $0,5625\times {\displaystyle \frac{3}{4}}\approx 0,4219$ m ;
• 4^e rebond : $\approx 0,3164$ m ;
• 5^e rebond : $\approx 0,2373$ m.

En une seule ligne : $h=1\times {\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^5={\displaystyle \frac{243}{1024}}\approx 0,2373$ m. Au cinquième rebond, la balle atteint environ 24 cm.

Tension pour obtenir un « La3 ». D'après le tableau, le La3 correspond à une fréquence de 440 Hz. Sur le graphique, on part de 440 sur l'axe des fréquences, on rejoint horizontalement la courbe puis on descend sur l'axe des tensions : on lit une tension d'environ 480 N. Il faut appliquer une tension d'environ 480 N.
Vérification par le calcul : $20\sqrt{T}=440$ donne $\sqrt{T}=22$, donc $T={22}^2=484$ N, ce qui confirme la lecture.

Note obtenue avec une tension de 220 N. $f(220)=20\sqrt{220}\approx 20\times 14,832\approx 296,6$ Hz. La fréquence du tableau la plus proche est 297 Hz. La note obtenue est un Ré3.

Fréquence maximale avant la casse. La fonction $f$ est croissante (plus la tension est grande, plus le son est aigu), donc la fréquence est maximale pour la tension maximale de 900 N : $f(900)=20\sqrt{900}=20\times 30=600$ Hz. La corde peut émettre au maximum une fréquence de 600 Hz.

Un agrandissement de rapport 10 multiplie toutes les longueurs par 10 : le nouvel hexagone régulier a des côtés de $3\times 10=30$ mm, soit 3 cm de côté.

Construction (aucune justification n'est demandée, mais voici la méthode) :

• tracer un cercle de centre O et de rayon 3 cm (dans un hexagone régulier, le côté est égal au rayon du cercle circonscrit) ;
• placer un point A sur ce cercle ;
• avec le compas toujours ouvert à 3 cm, reporter cette longueur six fois de suite sur le cercle à partir de A : on obtient six points B, C, D, E, F (et on revient en A) ;
• relier les six points consécutifs : ABCDEF est l'hexagone régulier de côté 3 cm demandé.

Affirmation 1. Une réduction de 30 % revient à payer 70 % du prix : $9,50\times 0,70=6,65$ €. C'est exactement le tarif étudiant. L'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Contre-exemple : $a=10$ et $b=4$ (on a bien $a>b$). Les diviseurs de 10 sont 1, 2, 5, 10 et ceux de 4 sont 1, 2, 4, donc $\text{PGCD}(10;4)=2$, alors que $a-b=10-4=6$. Comme $2\ne 6$, l'affirmation 2 est fausse. (Le PGCD de $a$ et $b$ est égal à celui de $b$ et $a-b$, mais il n'est pas égal à $a-b$ en général.)

Affirmation 3. La somme de $x$ et de 5 est $x+5$ ; la différence entre $2x$ et 1 est $2x-1$. Donc $A=(x+5)(2x-1)$. On développe par double distributivité :
$A$$=x\times 2x+x\times (-1)+5\times 2x+5\times (-1)$$=2x^2-x+10x-5$$=2x^2+9x-5$.
L'affirmation 3 est vraie.

Figure 1. Le codage indique que $OA=OC$ et que $OB=OD$. Comme O, A, C sont alignés et O, B, D sont alignés, O est le milieu de [AC] et le milieu de [BD]. Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD ont donc le même milieu. Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme : ABCD est un parallélogramme. Ses côtés opposés sont parallèles. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles : c'est vrai.

Figure 2. Le codage indique que $OA=OE$ et que A, O, E sont alignés : O est le milieu de [AE], et comme A et E sont sur le cercle de centre O, [AE] est un diamètre du cercle. Le point B est aussi sur ce cercle. Or si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle (le sommet opposé au diamètre est celui de l'angle droit) : le triangle ABE est rectangle en B, donc $(AB)⟂(BE)$.
B, E et C sont alignés, donc la droite (BE) est la droite (BC). Le codage indique un angle droit en C : $(CD)⟂(BC)$.
Les droites (AB) et (CD) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (BC). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles : c'est vrai.

1. On lit sur le diagramme le nombre de tickets vendus chaque jour : lundi 350, mardi 225, mercredi 400, jeudi 125, vendredi 325, samedi 475.
Nombre total de tickets : $350+225+400+125+325+475=1900$ tickets.
Recette : $1900\times 2=3800$ €.
Coût des lots, financés par l'association : $300+10\times 25+20\times 5=300+250+100=650$ €.
Somme restante : $3800-650=3150$ €. Comme $3150>2660$, l'association pourra financer entièrement la sortie (il lui restera même 490 €).

2. Il faut maintenant que la recette couvre le voyage et les lots : $10000+650=10650$ €. Avec 1 900 tickets, le prix $p$ d'un ticket doit vérifier $1900\times p⩾10650$, soit $p⩾{\displaystyle \frac{10650}{1900}}\approx 5,605$ €.
Un prix de 6 € par ticket convient, par exemple ($1900\times 6=11400$ €). Au centime près, le prix minimal est de 5,61 € (avec 5,60 €, la recette ne serait que de 10 640 €, insuffisante). Remarque : si l'on comprend que les lots ne sont plus à financer, le calcul devient ${\displaystyle \frac{10000}{1900}}\approx 5,263$, soit un prix minimal de 5,27 € ; l'essentiel est d'annoncer clairement son hypothèse.

3. Il y a $1+10+20=31$ tickets gagnants. Le gros lot ayant été tiré, il reste $1900-1=1899$ tickets dans l'urne, dont $31-1=30$ gagnants, tous ayant la même chance d'être tirés. La probabilité de tirer un autre ticket gagnant est $p={\displaystyle \frac{30}{1899}}={\displaystyle \frac{10}{633}}$ (on a simplifié par 3). La probabilité vaut ${\displaystyle \frac{10}{633}}$.

4. Le sujet ne contient aucun énoncé pour cette question (seul le numéro est imprimé) : il n'y a rien à traiter.

Le triangle CHP est rectangle en H, avec $PH=25$ m et $CH=4$ m. Pour qu'un modèle convienne, il faut vérifier deux conditions : l'angle d'inclinaison $\widehat{CPH}$ et la durée du trajet (au plus 1 minute, soit 60 s).

Longueur du trottoir. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle CHP rectangle en H : $P{C}^2=P{H}^2+C{H}^2={25}^2+4^2=625+16=641$, donc $PC=\sqrt{641}\approx 25,32$ m.

Angle d'inclinaison. Dans le triangle CHP rectangle en H : $\tan \widehat{CPH}={\displaystyle \frac{CH}{PH}}={\displaystyle \frac{4}{25}}=0,16$, d'où $\widehat{CPH}\approx 9,1°$.

Modèle 1. L'angle $9,1°$ est inférieur à l'angle maximum de 12° : l'inclinaison est acceptée. Durée du trajet : $t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{25,32}{0,5}}\approx 50,6$ s, ce qui est inférieur à 60 s. Le modèle 1 convient.

Modèle 2. L'angle $9,1°$ est supérieur à l'angle maximum de 6° : ce modèle ne peut pas être installé (même si sa durée, ${\displaystyle \frac{25,32}{0,75}}\approx 33,8$ s, conviendrait).

Conclusion : seul le modèle 1 peut convenir pour équiper ce centre commercial.