Sujet du brevet 2013 de maths — Pondichéry (Série générale)

Affirmation 1. On reconnaît l'identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ avec $a=\sqrt{5}$ et $b=1$ :
$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5}{)}^2-1^2=5-1=4$. 4 est un nombre entier : l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Les diviseurs de 4 sont 1, 2 et 4, car $4=1\times 4=2\times 2$. Le nombre 4 admet donc trois diviseurs. L'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3. Un cube a 6 faces, une pyramide à base carrée a 5 faces (la base et 4 faces triangulaires) et un pavé droit a 6 faces. Au total : $6+5+6=17$. L'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Sur la figure, les droites (AC) et (BD) se coupent en O, avec OA = 2,8 cm, OB = 2 cm, OD = 3,5 cm et OC = 5 cm. Les points A, O, C sont alignés, ainsi que B, O, D.
D'une part ${\displaystyle \frac{OA}{OC}}={\displaystyle \frac{2,8}{5}}=0,56$ ; d'autre part ${\displaystyle \frac{OB}{OD}}={\displaystyle \frac{2}{3,5}}\approx 0,571$.
Pour vérifier sans valeur approchée, on compare les produits en croix : $2,8\times 3,5=9,8$ et $5\times 2=10$. Comme $9,8\ne 10$, on a ${\displaystyle \frac{OA}{OC}}\ne {\displaystyle \frac{OB}{OD}}$.
Or, si les droites (AB) et (CD) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait l'égalité de ces rapports. Les droites (AB) et (CD) ne sont donc pas parallèles : l'affirmation 4 est fausse.

1. Les plantules qui mesurent au plus 12 cm sont celles de 0, 8 et 12 cm : $1+2+2=5$. 5 plantules mesurent au plus 12 cm.

2. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $22-0=22$. L'étendue de la série est 22 cm.

3. L'effectif total est $1+2+2+4+2+2+3+3+4+4+2=29$. La moyenne pondérée vaut :
$m$$={\displaystyle \frac{0\times 1+8\times 2+12\times 2+14\times 4+16\times 2+17\times 2+18\times 3+19\times 3+20\times 4+21\times 4+22\times 2}{29}}$
$m$$={\displaystyle \frac{0+16+24+56+32+34+54+57+80+84+44}{29}}$$={\displaystyle \frac{481}{29}}$$\approx 16,59$.
La moyenne est d'environ 16,6 cm (arrondie au dixième).

4. L'effectif total, 29, est impair : la médiane est la valeur de rang ${\displaystyle \frac{29+1}{2}}=15$ dans la série rangée par ordre croissant. Effectifs cumulés : 1 (0 cm), 3 (8 cm), 5 (12 cm), 9 (14 cm), 11 (16 cm), 13 (17 cm), 16 (18 cm). Les valeurs de rang 14 à 16 sont égales à 18 cm. La médiane est 18 cm.
Interprétation : au moins la moitié des plantules mesurent 18 cm ou moins, et au moins la moitié mesurent 18 cm ou plus.

5. Les élèves qui ont bien respecté le protocole sont ceux dont la plantule mesure 14 cm ou plus : $29-5=24$ élèves. Le pourcentage est ${\displaystyle \frac{24}{29}}\times 100\approx 82,8$. Environ 83 % des élèves ont bien respecté le protocole.

6. Avec la donnée du professeur, la série compte 30 valeurs. L'effectif est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang 15 et 16. Notons $t$ la taille obtenue par le professeur.

• Si $t<18$, la valeur $t$ se place avant les 18 cm : toutes les valeurs de rang 14, 15 et 16 de l'ancienne série reculent d'un rang et deviennent les valeurs de rang 15, 16 et 17. Les valeurs de rang 15 et 16 sont donc 18 et 18.
• Si $t⩾18$, les 13 valeurs inférieures à 18 et les trois premières valeurs égales à 18 gardent leur rang (on peut ranger $t$ après elles) : les valeurs de rang 14, 15 et 16 valent toujours 18.

Dans tous les cas, les valeurs de rang 15 et 16 sont égales à 18 cm, donc la médiane vaut ${\displaystyle \frac{18+18}{2}}=18$. Quelle que soit la taille relevée par le professeur, la médiane reste égale à 18 cm.

1. On applique $P=m\times g_T$ avec $m=70$ kg et $g_T=9,8$ : $P=70\times 9,8=686$. Sur Terre, cet homme pèse 686 N.

2. a) On calcule le quotient du poids par la masse dans chaque colonne :
${\displaystyle \frac{5,1}{3}}=1,7$ ; ${\displaystyle \frac{17}{10}}=1,7$ ; ${\displaystyle \frac{42,5}{25}}=1,7$ ; ${\displaystyle \frac{68}{40}}=1,7$ ; ${\displaystyle \frac{93,5}{55}}=1,7$.
Tous les quotients sont égaux. Le tableau est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,7.

2. b) Sur la Lune, $P=m\times g_L$, donc $g_L={\displaystyle \frac{P}{m}}$, qui est le coefficient de proportionnalité trouvé au a). $g_L=1,7$ (en N/kg).

2. c) Pour une même masse, le rapport des poids sur Terre et sur la Lune est ${\displaystyle \frac{g_T}{g_L}}={\displaystyle \frac{9,8}{1,7}}\approx 5,8$. Par exemple, l'homme de 70 kg pèse 686 N sur Terre et $70\times 1,7=119$ N sur la Lune, et $686÷119\approx 5,8$. C'est vrai : on pèse environ 6 fois moins lourd sur la Lune que sur la Terre.

3. a) Les rayons solaires passent par C et B : l'angle $\widehat{BCD}$ mesure 4,3°. Dans le triangle BCD rectangle en D, CD = 29 km est le côté adjacent à l'angle $\widehat{BCD}$ et BD le côté opposé. D'après la trigonométrie :
$\tan \widehat{BCD}={\displaystyle \frac{BD}{CD}}$, donc $BD=CD\times \tan 4,3°=29\times \tan 4,3°\approx 2,18$.
La profondeur BD du cratère est d'environ 2,2 km (arrondie au dixième).

3. b) CD représente 20 % du diamètre AB, donc $0,2\times AB=29$, d'où $AB={\displaystyle \frac{29}{0,2}}=145$. Le diamètre AB du cratère mesure 145 km.
Vérification : 20 % de 145 km, c'est $0,2\times 145=29$ km.

1. La cellule B17 calcule $2x^2-3x-9$ pour $x=6$ : $2\times 6^2-3\times 6-9=2\times 36-18-9=72-27=45$. On obtient 45 dans la cellule B17.

2. On cherche dans la colonne B les cellules qui affichent 0 : ce sont B3 (pour $x=-1,5$) et B12 (pour $x=3$). Vérification : $2\times 3^2-3\times 3-9=18-9-9=0$ et $2\times (-1,5{)}^2-3\times (-1,5)-9$$=4,5+4,5-9$$=0$. Les nombres $-1,5$ et $3$ sont solutions de l'équation $2x^2-3x-9=0$.

3. L'aire du rectangle ABCD est :
$(2x+3)(x-3)$$=2x^2-6x+3x-9$$=2x^2-3x-9$.
C'est exactement l'expression de la colonne B. On cherche donc $x$ tel que $2x^2-3x-9=5$ : le tableur affiche 5 pour $x=-2$ et pour $x=3,5$.
Mais les longueurs doivent être positives : il faut $x-3>0$, soit $x>3$, ce qui exclut $x=-2$. Pour $x=3,5$ : $2x+3=10$ cm et $x-3=0,5$ cm, et $10\times 0,5=5$. Pour $x=3,5$, l'aire du rectangle est égale à 5 cm².

1. D'après la formule du volume d'une pyramide, $V={\displaystyle \frac{\text{aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}}$, donc aire de ABCD $={\displaystyle \frac{3V}{SH}}={\displaystyle \frac{3\times 108}{9}}={\displaystyle \frac{324}{9}}=36$. L'aire de ABCD est bien 36 cm².
ABCD est un carré : $A{B}^2=36$, donc $AB=\sqrt{36}=6$. AB = 6 cm.
Le triangle ABC est rectangle en B (angle d'un carré), donc d'après le théorème de Pythagore : $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=36+36=72$, d'où $AC=\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2}$ cm.
Le périmètre du triangle ABC vaut $AB+BC+AC=6+6+6\sqrt{2}$. Le périmètre de ABC est égal à $12+6\sqrt{2}$ cm.

2. a) Dans une réduction de coefficient $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Ici $k^2={\displaystyle \frac{4}{36}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$, donc $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Le volume de SMNOP est $V^{\prime }=k^3\times V={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3\times 108={\displaystyle \frac{108}{27}}=4$. Le volume de la pyramide SMNOP est 4 cm³.
Vérification : $MN=\sqrt{4}=2$ cm et la hauteur vaut $9÷3=3$ cm, d'où $V^{\prime }={\displaystyle \frac{4\times 3}{3}}=4$ cm³.

2. b) Les longueurs sont multipliées par le coefficient de réduction $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$, donc le périmètre du triangle MNO est celui du triangle ABC divisé par 3 : ${\displaystyle \frac{12+6\sqrt{2}}{3}}=4+2\sqrt{2}$ cm.
Vérification directe : MNOP est un carré d'aire 4 cm², donc $MN=NO=2$ cm, et sa diagonale vaut $MO=2\sqrt{2}$ cm (Pythagore : $M{O}^2=4+4=8$). Le périmètre de MNO est bien $2+2+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$ cm. Oui, Elise a raison.

1. Le vol a duré 255 jours de 24 heures : $255\times 24=6120$. Le vol a duré 6 120 heures.

2. La vitesse moyenne est $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{560000000\text{ km}}{6120\text{ h}}}\approx 91503$ km/h.
La vitesse moyenne du rover est d'environ 91 500 km/h (arrondie à la centaine).
Vérification : $91500\times 6120=559980000$ km, soit environ 560 millions de km.

3. Le signal parcourt $d=248\times {10}^6$ km à $v=300000$ km/s. Sa durée de trajet est :
$t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{248000000}{300000}}\approx 826,7$ s.
Or $826,7=13\times 60+46,7$, donc $t\approx 13$ min 47 s, soit environ 14 min à la minute près.
Les images partent à 7 h 48 min ; elles arrivent à 7 h 48 min + 13 min 47 s = 8 h 01 min 47 s. Les premières images sont parvenues au centre de la NASA vers 8 h 02 min (arrondi à la minute).