Sujet du brevet 2013 de maths — Centres étrangers (Série générale)

1. Réponse A. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $x+7=0$ ou $2x-7=0$, soit $x=-7$ ou $x={\displaystyle \frac{7}{2}}=3,5$. Les solutions sont $-7$ et $3,5$.

2. Réponse B. On divise les deux membres par $-2$, nombre négatif, donc on change le sens de l'inégalité : $-2(x+7)⩽-16⟺x+7⩾8⟺x⩾1$. Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 1. (Vérification avec $x=2$ : $-2\times 9=-18⩽-16$, c'est juste.)

3. Réponse B. D'après l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=7x$ et $b=5$ : $(7x-5{)}^2$$=49x^2-2\times 7x\times 5+25$$=49x^2-70x+25$. La forme développée est $49x^2-70x+25$.

4. Réponse C. $9-64x^2=3^2-(8x{)}^2$ est de la forme $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec $a=3$ et $b=8x$. Donc $9-64x^2=(3-8x)(3+8x)$.

5. Réponse B. Le liquide forme un cône qui est une réduction du cône du verre, de coefficient $k={\displaystyle \frac{h/2}{h}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Dans une réduction de coefficient $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$ : ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$. Le liquide n'occupe donc que ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ du verre. Non, c'est moins de la moitié.

6. Réponse C. La section d'un cube (pavé droit) par un plan parallèle à une arête est un rectangle. Ici le plan contient l'arête [EH] : [KM] est parallèle à [EH] et de même longueur (une arête du cube), et (EH) est perpendiculaire à la face qui contient [EM], donc l'angle $\widehat{HEM}$ est droit. Ce n'est pas un carré car M est sur [AB], distinct de A : dans le triangle EAM rectangle en A, l'hypoténuse EM est plus longue que EA, qui est une arête, donc $EM\ne EH$. La section KMEH est un rectangle.

1. Les 32 cartes ont la même chance d'être tirées et 8 d'entre elles sont des trèfles : $P(A)={\displaystyle \frac{8}{32}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. La probabilité de l'évènement A est ${\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$.

2. On lit sur le diagramme : cœur 6 fois, trèfle 8 fois, carreau 3 fois, pique 7 fois (total : $6+8+3+7=24$ tirages, ce qui est cohérent).
Fréquence de « cœur » : ${\displaystyle \frac{6}{24}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$, soit 25 %.
Fréquence de « trèfle » : ${\displaystyle \frac{8}{24}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\approx 0,33$, soit environ 33 %.

3. Les tirages se font avec remise : à chaque tirage, le jeu contient de nouveau 8 cœurs et 8 trèfles sur 32 cartes. Les résultats des tirages précédents n'ont aucune influence. La probabilité de tirer un cœur vaut ${\displaystyle \frac{8}{32}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et celle de tirer un trèfle aussi. Aucun des deux n'a plus de chance que l'autre : Arthur et Julie ont chacun une probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ de gagner.

1. Le triangle ABC est isocèle en A, donc A est sur la médiatrice de [BC] ; O, centre du cercle circonscrit, est aussi sur cette médiatrice. La droite (AO) est donc l'axe de symétrie du triangle et coupe l'angle $\widehat{BAC}$ en deux angles égaux : $\widehat{BAM}={\displaystyle \frac{50°}{2}}$. $\widehat{BAM}=25°$.

2. La droite (OA) passe par le centre O du cercle et recoupe le cercle en M : [AM] est donc un diamètre du cercle (C). Le point B appartient à ce cercle. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse. Le triangle BAM est rectangle en B.

3. Dans le triangle BAM rectangle en B, on connaît l'angle $\widehat{BAM}=25°$, le côté adjacent AB = 5 cm et on cherche l'hypoténuse AM. On utilise le cosinus :
$\cos \widehat{BAM}={\displaystyle \frac{AB}{AM}}$, donc $AM={\displaystyle \frac{AB}{\cos 25°}}={\displaystyle \frac{5}{\cos 25°}}\approx 5,517$ cm.
AM ≈ 5,5 cm (arrondi au dixième). Vérification : $5,517\times \cos 25°\approx 5,517\times 0,906\approx 5,0$.

4. Le point K est sur le cercle (C), du même côté que A par rapport à la corde [BC] (K est diamétralement opposé à B). Les angles inscrits $\widehat{BKC}$ et $\widehat{BAC}$ interceptent le même arc $\stackrel{⌢}{BC}$. Or deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. Donc $\widehat{BKC}=\widehat{BAC}=50°$. (On peut aussi passer par l'angle au centre : $\widehat{BOC}=2\times 50°=100°$, et l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.)

1. $A(x)=-50x+1250$ est une fonction affine mais pas linéaire, car elle a une ordonnée à l'origine non nulle (1 250). Sa représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l'origine du repère (et elle est même décroissante). Le nombre d'abonnés n'est donc pas proportionnel au prix de la revue.

2. $A(10)=-50\times 10+1250=-500+1250=750$. On a bien $A(10)=750$ : lorsque la revue coûte 10 €, elle compte 750 abonnés.

3. $R(x)=-50x^2+1250x$ contient un terme en $x^2$ : elle ne peut pas s'écrire sous la forme $ax+b$. D'ailleurs sa représentation graphique est une courbe et non une droite. La fonction R n'est pas affine.

4. Le point le plus haut de la courbe de R a pour abscisse environ 12,5 (son ordonnée est un peu inférieure à 8 000). La recette est maximale pour un prix d'environ 12,50 €. (Vérification : $R(12,5)$$=-50\times 156,25+1250\times 12,5$$=-7812,5+15625$$=7812,5$ €.)

5. On trace la droite horizontale d'ordonnée 6 800 : elle coupe la courbe de R en deux points, d'abscisses 8 et 17. Les antécédents de 6 800 par R sont 8 et 17. Vérification : $R(8)=-50\times 64+10000=6800$ et $R(17)=-50\times 289+21250=-14450+21250=6800$.

6. Nombre d'abonnés : $A(5)=-50\times 5+1250=-250+1250=1000$.
Recette : $R(5)=-50\times 25+1250\times 5=-1250+6250=5000$.
À 5 €, la revue compte 1 000 abonnés et la recette est de 5 000 € (ce qui est cohérent : $1000\times 5=5000$).

1. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $9,40-6,67=2,73$. L'étendue est de 2,73 € : entre 2001 et 2011, le SMIC horaire brut a augmenté de 2,73 €.

2. La série compte 11 valeurs. Rangées dans l'ordre croissant (ici, l'ordre chronologique, car le SMIC augmente chaque année) : 6,67 ; 6,83 ; 7,19 ; 7,61 ; 8,03 ; 8,27 ; 8,44 ; 8,63 ; 8,82 ; 9,00 ; 9,40. Comme 11 est impair, la médiane est la 6^e valeur (5 valeurs avant, 5 après). La médiane est 8,27 €.

3. Le pourcentage d'augmentation se calcule par rapport à la valeur de départ.
Entre 2001 et 2002 : ${\displaystyle \frac{0,16}{6,67}}\approx 0,0240$, soit environ 2,40 %.
Entre 2007 et 2008 : ${\displaystyle \frac{0,19}{8,44}}\approx 0,0225$, soit environ 2,25 %.
Comme 2,25 % < 2,40 %, Paul a tort : l'augmentation de 2007 à 2008 est plus forte en centimes, mais plus faible en pourcentage, car elle porte sur un salaire de départ plus élevé.

Notons $x$ = CF (en cm), avec $0⩽x⩽6$.

Expression de BM. Les droites (BE) et (CD) sont parallèles (côtés opposés du carré BCDE). Les points A, B, C sont alignés, ainsi que A, M, F. D'après le théorème de Thalès dans le triangle ACF (avec M sur [AF] et B sur [AC]) :
${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{BM}{CF}}$, avec $AC=AB+BC=3+6=9$ cm, donc ${\displaystyle \frac{3}{9}}={\displaystyle \frac{BM}{x}}$ et $BM={\displaystyle \frac{x}{3}}$.

Expression de FD. F est sur [CD] et CD = 6 cm, donc $FD=6-x$.

Équation. On veut BM = FD : ${\displaystyle \frac{x}{3}}=6-x$, d'où $x=18-3x$, puis $4x=18$ et $x=4,5$.

Il faut CF = 4,5 cm. Vérification : $BM={\displaystyle \frac{4,5}{3}}=1,5$ cm et $FD=6-4,5=1,5$ cm : les deux longueurs sont bien égales.

1. La posologie impose 70 mg par mètre carré de surface corporelle, sans dépasser 70 mg par jour. Joé a reçu 100 mg, ce qui dépasse le maximum de 70 mg. (Sa surface corporelle vaut $\sqrt{{\displaystyle \frac{150\times 50}{3600}}}\approx 1,44$ m², ce qui donnerait $70\times 1,44\approx 101$ mg, mais ce calcul est plafonné à 70 mg.) La posologie n'a pas été respectée pour Joé.

2. Lou mesure 1,05 m, soit 105 cm, et pèse 17,5 kg. D'après la formule de Mosteller :
$S=\sqrt{{\displaystyle \frac{105\times 17,5}{3600}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1837,5}{3600}}}\approx \sqrt{0,5104}\approx 0,714$.
La surface corporelle de Lou est bien d'environ 0,71 m².

3. Dose prévue pour Lou : $70\times 0,714\approx 50$ mg (avec la valeur arrondie, $70\times 0,71=49,7$ mg). Cette dose est inférieure au plafond de 70 mg par jour. Lou a reçu 50 mg. La posologie a été respectée pour Lou.