Sujet du brevet 2013 de maths — Brevet secours Am du Sud nov 2013 (session de remplacement) (Série générale)

Aucune justification n'est demandée ; elles sont données ici pour comprendre.

1. Réponse B : ${\displaystyle \frac{5}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}$. D'après les règles de priorité, la division est effectuée avant l'addition et la soustraction : ${\displaystyle \frac{2}{3}}:{\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$. L'expression vaut donc ${\displaystyle \frac{5}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}$ (soit ${\displaystyle \frac{29}{15}}$).

2. Réponse C : $21+4\sqrt{5}$. $x^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2=4\times 5=20$ et $2x=4\sqrt{5}$, donc $x^2+2x+1=20+4\sqrt{5}+1=21+4\sqrt{5}$.

3. Réponse B : $7,23\times {10}^{-3}$. L'écriture scientifique est de la forme $a\times {10}^n$ avec $1⩽a<10$ ; or $0,00723=7,23\times 0,001=7,23\times {10}^{-3}$. (La réponse A est égale au nombre, mais 723 n'est pas compris entre 1 et 10.)

4. Réponse C : 0 a pour antécédents 0 et 1. $f(0)=0^2-0=0$ et $f(1)=1^2-1=0$. (Les réponses A et B sont fausses : $f(-1)=(-1{)}^2-(-1)=1+1=2$.)

5. Réponse B : 11. Les 7 notes sont déjà rangées dans l'ordre croissant ; la médiane est la 4^e valeur (3 notes avant, 3 notes après) : 6 ; 6 ; 9 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14.

1. Avec 3 dans le programme A : $3-1=2$ ; $2^2=4$ ; le double du nombre de départ est $2\times 3=6$ ; $4+6=10$. On obtient bien 10.

2. Avec 3 dans le programme B : $3^2=9$ ; $9+1=10$. On obtient 10.

3. Avec −2 dans le programme A : $-2-1=-3$ ; $(-3{)}^2=9$ ; le double du nombre de départ est $2\times (-2)=-4$ ; $9+(-4)=5$. On obtient 5.

4. En notant $x$ le nombre de départ, le programme B donne $x^2+1$. On résout $x^2+1=5$, soit $x^2=4$. Cette équation a deux solutions : $x=2$ et $x=-2$ (car $2^2=4$ et $(-2{)}^2=4$). Il faut choisir 2 ou −2.

5. Avec un nombre de départ $x$ quelconque :
Programme A : $(x-1{)}^2+2x=x^2-2x+1+2x=x^2+1$ (identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$).
Programme B : $x^2+1$.
Les deux programmes donnent la même expression pour tout nombre $x$. Henri a raison : les deux programmes fournissent toujours le même résultat.

Les altitudes se mesurent à partir de la droite horizontale (KI), qui est à l'altitude de la gare inférieure I (415 m) ; les segments [SL] et [JK] sont verticaux, donc perpendiculaires à (KI).

1. $SL=1075-415=660$ m et $JK=1165-415=750$ m. SL = 660 m et JK = 750 m.

2. a. Le triangle SLI est rectangle en L. D'après le théorème de Pythagore : $S{I}^2=S{L}^2+L{I}^2={660}^2+{880}^2=435600+774400=1210000$, donc $SI=\sqrt{1210000}=1100$. Le trajet SI entre les deux gares mesure bien 1 100 m.

2. b. Dans le triangle SLI rectangle en L : $\tan \widehat{SIL}={\displaystyle \frac{SL}{LI}}={\displaystyle \frac{660}{880}}=0,75$, donc $\widehat{SIL}\approx 36,87°$. L'angle $\widehat{SIL}$ mesure environ 37°. (On peut aussi utiliser $\sin \widehat{SIL}={\displaystyle \frac{660}{1100}}=0,6$ ou $\cos \widehat{SIL}={\displaystyle \frac{880}{1100}}=0,8$.)

3. La distance est $d=1100$ m $=1,1$ km et la vitesse $v=10$ km/h. Comme $t={\displaystyle \frac{d}{v}}$ : $t={\displaystyle \frac{1,1}{10}}=0,11$ h. Or $0,11\text{ h}=0,11\times 60=6,6$ min $=6$ min $+0,6\times 60$ s $=6$ min 36 s. Le trajet aller dure 6 min 36 s.

4. Le trajet à pied va de S à J, le long de la pente. Les points I, L, K d'une part et I, S, J d'autre part sont alignés, et les droites (SL) et (JK) sont parallèles (toutes deux perpendiculaires à (KI)). D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{IS}{IJ}}={\displaystyle \frac{SL}{JK}}$, soit ${\displaystyle \frac{1100}{IJ}}={\displaystyle \frac{660}{750}}$, d'où $IJ={\displaystyle \frac{1100\times 750}{660}}=1250$ m.
Donc $SJ=IJ-IS=1250-1100=150$ m. M. Cotharbet aura parcouru 150 m à pied.

1. On convertit 5 tonnes en milligrammes : 5 t = 5 000 kg = 5 000 000 g = 5 000 000 000 mg. Nombre de gélules : ${\displaystyle \frac{5000000000}{500}}=10000000$. On peut produire 10 000 000 de gélules (10 millions).

2. Une boîte contient $2\times 8=16$ gélules : ${\displaystyle \frac{10000000}{16}}=625000$. On peut produire 625 000 boîtes.

3. Les deux demi-sphères de 7 mm de diamètre forment une boule de rayon $R=3,5$ mm : $V_{\text{boule}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \times 3,5^3\approx 179,59$ mm³.
Le cylindre a pour rayon 3,5 mm et pour hauteur 14 mm : $V_{\text{cylindre}}=\pi \times 3,5^2\times 14=171,5\pi \approx 538,78$ mm³.
Volume de la gélule : $179,59+538,78\approx 718,38$ mm³. Le volume d'une gélule est d'environ 718 mm³.

Le grillage (40 m) forme trois côtés de l'enclos : le côté de longueur $x$ parallèle au mur et les deux côtés de longueur $y$. Donc $x+2y=40$.

1. a. Pour $x=4$ m : $2y=40-4=36$, donc $y=18$ m. Aire : $A=4\times 18=72$. y = 18 m et A = 72 m².

1. b. On calcule de même $y={\displaystyle \frac{40-x}{2}}$ puis $A=x\times y$ :

2. De $x+2y=40$ on tire $2y=40-x$, donc $y={\displaystyle \frac{40-x}{2}}=20-0,5x$.
Alors $A=x\times y=x(20-0,5x)=20x-0,5x^2$. On a bien $A=20x-0,5x^2$.

3. Les valeurs de $x$ sont dans la colonne A, à partir de la cellule A2. Dans la cellule B2, on saisit : =20*A2-0,5*A2^2 (ou =A2*(20-0,5*A2)), puis on étire la formule vers le bas : la référence A2 devient automatiquement A3, A4, etc.

4. a. On lit l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 14 : elle est légèrement au-dessus de 180. Pour x = 14 m, l'aire est d'environ 180 m² (le calcul donne $20\times 14-0,5\times {14}^2=280-98=182$ m²).

4. b. La droite horizontale d'ordonnée 192 coupe la courbe en deux points, d'abscisses environ 16 et 24. L'aire vaut 192 m² pour x ≈ 16 m et pour x ≈ 24 m (vérification : $20\times 16-0,5\times 256=192$ et $20\times 24-0,5\times 576=192$).

4. c. Le point le plus haut de la courbe a pour coordonnées environ (20 ; 200). L'aire est maximale pour x = 20 m ; elle vaut alors 200 m². On en déduit $y=20-0,5\times 20=10$ m. Pour que les brebis aient le maximum de place, l'enclos doit mesurer 20 m le long du mur et 10 m de profondeur (20 m ≤ 28 m : il tient bien contre le mur).

Notons $a$ le prix d'une place adulte et $e$ le prix d'une place enfant, en euros. D'après l'énoncé :
$a+2e=21$ (1)
$2a+3e=36$ (2)

On multiplie l'équation (1) par 2 : $2a+4e=42$. En lui soustrayant l'équation (2) : $4e-3e=42-36$, donc $e=6$.
On remplace dans (1) : $a+2\times 6=21$, donc $a=21-12=9$.
Vérification dans (2) : $2\times 9+3\times 6=18+18=36$.

Une place adulte coûte 9 € et une place enfant 6 €. Trois adultes et trois enfants doivent donc payer $3\times 9+3\times 6=27+18=45$ €, et non 43 €. L'enfant a raison : le caissier se trompe, la somme due est 45 € (il leur réclame 2 € de moins que le prix réel).