Sujet du brevet 2012 de maths — Nouvelle-Calédonie (Série générale)

Exercice 1 (QCM)

Aucune justification n'est demandée ; les explications ci-dessous servent à comprendre.

1. « Trois mille trente » s'écrit 3 030 et « trois centièmes » s'écrit 0,03 (le 3 est au 2^e rang après la virgule). Réponse : 3 030,03.

2. $2080+10+10=2090+10=2100$. Réponse : 2 100.

3. On multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles : $3x\times 2x=3\times 2\times x\times x=6x^2$. Réponse : $6x^2$.

4. ${10}^{-3}=0,001$, donc $5\times {10}^{-3}=5\times 0,001=0,005$. Réponse : 0,005.

5. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $x(x+7)=0$ équivaut à $x=0$ ou $x+7=0$, c'est-à-dire $x=0$ ou $x=-7$. Réponse : 0 et −7.

6. $\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$. Réponse : 7. (Attention, $\sqrt{25}=5$ : la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.)

7. Pierre part à 6 h 38 et roule 25 minutes : 6 h 38 + 25 min = 6 h 63 min = 7 h 03. Il arrive à 7 h 03, donc 2 minutes avant le début des cours (7 h 05). Réponse : en avance.

8. Un jeu de 52 cartes contient 4 as, et chaque carte a la même chance d'être tirée. La probabilité vaut donc ${\displaystyle \frac{4}{52}}$. Réponse : ${\displaystyle \frac{4}{52}}$. (La valeur 0,077 n'est qu'un arrondi de ${\displaystyle \frac{4}{52}}={\displaystyle \frac{1}{13}}\approx 0,0769$, ce n'est pas la valeur exacte.)

Exercice 2

Notons $c$ la masse de la coquille, en grammes. Le jaune est deux fois plus lourd que la coquille : il pèse $2c$. Le blanc est deux fois plus lourd que le jaune : il pèse $2\times 2c=4c$.
La masse totale de l'œuf est 63 g, donc $c+2c+4c=63$, soit $7c=63$ et $c={\displaystyle \frac{63}{7}}=9$.

Vérification : coquille 9 g, jaune $2\times 9=18$ g, blanc $2\times 18=36$ g, et $9+18+36=63$ g. La coquille d'un œuf de poule pèse 9 g.

Exercice 1

1. a. Le quadrilatère AHCD a trois angles droits (en A, en D et en H, puisque H est le pied de la hauteur issue de C) : c'est un rectangle. Ses côtés opposés ont la même longueur, donc AH = DC = 9 cm. Comme H appartient au segment [AB] : HB = AB − AH = 12 − 9 = 3. HB = 3 cm.

b. Le triangle CHB est rectangle en H, donc d'après le théorème de Pythagore : $B{C}^2=C{H}^2+H{B}^2$.
$5^2=C{H}^2+3^2$, donc $C{H}^2=25-9=16$ et $CH=\sqrt{16}=4$. CH = 4 cm.

c. AHCD est un rectangle, donc AD = HC = 4 cm. Le périmètre du trapèze est : AB + BC + CD + DA = 12 + 5 + 9 + 4 = 30. Le périmètre de ABCD est bien égal à 30 cm.

2. Dans le triangle CHB rectangle en H, l'angle $\widehat{ABC}$ (qui est aussi $\widehat{HBC}$) a pour côté adjacent [HB] et pour hypoténuse [BC] :
$\cos \widehat{ABC}={\displaystyle \frac{HB}{BC}}={\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$, donc $\widehat{ABC}\approx 53,13°$ (touche ${\cos }^{-1}$ de la calculatrice). $\widehat{ABC}\approx 53°$ au degré près.

Vérification avec la tangente : $\tan \widehat{ABC}={\displaystyle \frac{CH}{HB}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$ donne aussi environ 53,13°.

3. Construction en vraie grandeur : tracer [AB] de 12 cm ; placer H sur [AB] avec AH = 9 cm ; tracer les perpendiculaires à (AB) en A et en H ; placer D et C sur ces perpendiculaires, du même côté de (AB), avec AD = HC = 4 cm ; relier D à C (on doit trouver DC = 9 cm) et C à B (on doit mesurer BC = 5 cm). Coder les angles droits en A, D et H.

4. Tracer le segment [AC], puis, à l'équerre et à la règle, la parallèle à (AC) passant par H ; elle coupe le segment [BC] en un point M que l'on nomme.

5. Dans le triangle ABC, H appartient à [BA], M appartient à [BC] et les droites (HM) et (AC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès :
${\displaystyle \frac{BH}{BA}}={\displaystyle \frac{BM}{BC}}={\displaystyle \frac{HM}{AC}}$, donc ${\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{BM}{5}}$ et $BM={\displaystyle \frac{3\times 5}{12}}={\displaystyle \frac{15}{12}}=1,25$. BM = 1,25 cm.

Exercice 2

1. Sur l'annexe : le point de départ, noté A, est sur le cercle. Le point d'arrivée du deuxième trajet, noté C, est diamétralement opposé à A : on trace la droite passant par A et par le centre du cercle, elle recoupe le cercle en C. Le point B où Roméo change de direction est sur le cercle, à 5 cm de C (et donc à 12 cm de A) : on le place au compas en traçant un arc de centre C et de rayon 5 cm qui coupe le cercle. On trace enfin les segments [AB], [BC] et [CA].

2. Le triangle ABC est inscrit dans le cercle et son côté [AC] est un diamètre de ce cercle. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse. Roméo parcourt un triangle rectangle en B.

3. Le triangle ABC est rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore : $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2={12}^2+5^2=144+25=169$, d'où $AC=\sqrt{169}=13$ cm.
Distance totale : $12+5+13=30$. Roméo a parcouru 30 cm.

Exercice 3

On a IH = 60 cm et IS = 80 cm. Le mur est « droit » si le triangle HIS est rectangle en I.

1. Mur de Jacques : HS = 1 m = 100 cm. Le plus grand côté est [HS].
D'une part $H{S}^2={100}^2=10000$ ; d'autre part $I{H}^2+I{S}^2={60}^2+{80}^2=3600+6400=10000$.
Comme $H{S}^2=I{H}^2+I{S}^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle HIS est rectangle en I. Le mur de Jacques est perpendiculaire au sol : il est « droit ».

2. Mur de Patrick : HS = 95 cm. D'une part $H{S}^2={95}^2=9025$ ; d'autre part $I{H}^2+I{S}^2=10000$.
Comme $H{S}^2\ne I{H}^2+I{S}^2$, d'après le théorème de Pythagore (par contraposée), le triangle HIS n'est pas rectangle en I. Le mur de Patrick n'est pas « droit ».

Première partie

Notons $p$ le nombre de poules et $c$ le nombre de chèvres. Il y a 18 animaux : $p+c=18$. Une poule a 2 pattes et une chèvre 4 : $2p+4c=40$.

De la première égalité, $p=18-c$. En remplaçant dans la seconde : $2(18-c)+4c=40$, soit $36-2c+4c=40$, donc $2c=4$ et $c=2$. Alors $p=18-2=16$.

Vérification : $16+2=18$ animaux et $16\times 2+2\times 4=32+8=40$ pattes. Torres possède 16 poules et 2 chèvres.

(Raisonnement sans équation : si les 18 animaux étaient des poules, on compterait 36 pattes ; il manque 4 pattes, et chaque chèvre apporte 2 pattes de plus qu'une poule, donc il y a 2 chèvres.)

Deuxième partie

1. D'après le schéma, la cuve a pour longueur 1 m = 100 cm, pour largeur 60 cm et pour hauteur 50 cm.
$V=\ell \times L\times h=60\times 100\times 50=300000$. Le volume de la cuve est bien de 300 000 cm³.
Comme 1 dm³ = 1 000 cm³ : $300000{\text{cm}}^3=300{\text{ dm}}^3=300$ L. La cuve contient 300 litres.

2. La surface ABCD est le rectangle du dessus de la cuve, de longueur AB = 1 m et de largeur AD = 60 cm = 0,6 m.
$𝒜=1\times 0,6=0,6$. L'aire de la surface de récupération est bien de 0,6 m².

3. Torres habite à Poindimié. Dans la ligne « 2011 » et la colonne « Poindimié », on lit 2 550 mm de pluie tombée en 2011.

4. a. Dans le tableau de l'annexe, on écrit 0,6 dans la case vide, sous $x$ :

b. Le volume récupéré est proportionnel à l'aire. Par produit en croix : $x={\displaystyle \frac{2550\times 0,6}{1}}=1530$. Torres a pu récupérer au maximum 1 530 L d'eau en 2011.

5. a. Une poule boit en moyenne 1,5 L par semaine, donc en un an : $1,5\times 52=78$ L. Pour 16 poules : $16\times 78=1248$ L.
Comme $1248<1530$, Torres a eu suffisamment d'eau pour abreuver gratuitement ses 16 poules en 2011.

b. $1530-1248=282$. 282 litres ne seront pas consommés.

c. Une poule consomme 78 L par an. ${\displaystyle \frac{282}{78}}\approx 3,6$ : $3\times 78=234$ L $\le 282$ L, mais $4\times 78=312$ L $>282$ L. Il pourrait abreuver 3 poules supplémentaires.