Sujet du brevet 2012 de maths — Métropole (Série générale)

Exercice 1

1. Réponse b. ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Alice choisit au hasard une porte parmi 3 : les 3 issues sont équiprobables et une seule cache la voiture, donc $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

2. Réponse b. diminue. Avec quatre portes, la probabilité devient ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, et ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ est plus petit que ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ (0,25 contre environ 0,33).

Exercice 2

1. ${\displaystyle \frac{{10}^5+1}{{10}^5}}$$={\displaystyle \frac{{10}^5}{{10}^5}}+{\displaystyle \frac{1}{{10}^5}}$$=1+{10}^{-5}$$=1+0,00001$. L'écriture décimale est 1,000 01.

2. De la même façon, ${\displaystyle \frac{{10}^{15}+1}{{10}^{15}}}=1+{\displaystyle \frac{1}{{10}^{15}}}=1+{10}^{-15}=1,000000000000001$ (quatorze zéros après la virgule, puis un 1). Ce nombre est différent de 1. La calculatrice affiche 1 car elle ne peut pas afficher (ni garder en mémoire) autant de chiffres : elle arrondit le résultat. Antoine a raison : le résultat exact n'est pas 1, mais 1,000 000 000 000 001.

Exercice 3

Le coureur met 4 min 30 s, soit 4,5 min, pour parcourir 1 km. À la même allure, la durée est proportionnelle à la distance : pour 42,195 km, il mettra $42,195\times 4,5=189,8775$ min.
Or 3 h 30 min $=3\times 60+30=210$ min, et 189,877 5 min est inférieur à 210 min. ($189,8775$ min $=180$ min $+9,8775$ min, soit environ 3 h 9 min 53 s.) Oui : en gardant cette allure, il mettra environ 3 h 10 min, donc moins de 3 h 30.

Exercice 4

1. Pour $x={\displaystyle \frac{3}{4}}$ : ${(4\times {\displaystyle \frac{3}{4}}-3)}^2-9=(3-3{)}^2-9=0-9=-9$. Le résultat n'est pas 0 : ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ n'est pas solution.
Pour $x=0$ : $(4\times 0-3{)}^2-9=(-3{)}^2-9=9-9=0$. 0 est solution de l'équation.

2. On développe chaque membre avec l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ :
$(4x-3{)}^2-9=16x^2-24x+9-9=16x^2-24x$ ;
$4x(4x-6)=16x^2-24x$.
Les deux expressions sont égales : pour tout nombre $x$, $(4x-3{)}^2-9=4x(4x-6)$. (On peut aussi factoriser directement : $(4x-3{)}^2-3^2$$=(4x-3-3)(4x-3+3)$$=(4x-6)\times 4x$.)

3. D'après la question 2, l'équation s'écrit $4x(4x-6)=0$. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
$4x=0$, soit $x=0$ ; ou $4x-6=0$, soit $x={\displaystyle \frac{6}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}=1,5$.
Vérification pour 1,5 : $(4\times 1,5-3{)}^2-9=3^2-9=0$. L'équation a deux solutions : 0 et ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Exercice 1

1. a) ABCD est un carré de côté 40 cm : aire $={40}^2=1600$. L'aire du carré ABCD est 1 600 cm².

1. b) E est sur [AD], donc $DE=AD-AE=40-15=25$ cm. C est sur [DG], donc $DG=DC+CG=40+25=65$ cm. Aire du rectangle : $DE\times DG=25\times 65=1625$. L'aire du rectangle DEFG est 1 625 cm².

2. On note $x$ la longueur AB en cm (avec $x$ supérieur à 15, pour que E soit sur [AD]). L'aire du carré vaut $x^2$ ; le rectangle a pour dimensions $DE=x-15$ et $DG=x+25$, donc son aire vaut :
$(x-15)(x+25)$$=x^2+25x-15x-375$$=x^2+10x-375$.
Les aires sont égales lorsque $x^2=x^2+10x-375$, soit $0=10x-375$, d'où $x={\displaystyle \frac{375}{10}}=37,5$.
Vérification : aire du carré $37,5^2=1406,25$ cm² ; rectangle $(37,5-15)\times (37,5+25)$$=22,5\times 62,5$$=1406,25$ cm². Oui : il faut AB = 37,5 cm.

Exercice 2

1. $V={\displaystyle \frac{\pi R^{2}h}{3}}={\displaystyle \frac{\pi \times 2^2\times 5}{3}}={\displaystyle \frac{20\pi }{3}}\approx 20,94$. Le volume du cône est d'environ 21 cm³.

2. Le petit cône, de sommet A et de hauteur AB, est une réduction du cône initial de rapport $k={\displaystyle \frac{AB}{AO}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (B est le milieu de [AO]). Dans une réduction de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$ : ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$.
Volume du petit cône : ${\displaystyle \frac{1}{8}}\times {\displaystyle \frac{20\pi }{3}}={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\approx 2,6$ cm³, alors que la moitié du volume initial vaut environ 10,5 cm³. C'est faux : le volume du petit cône est égal au huitième du volume initial, et non à la moitié.

Exercice 3

Longueur BC. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 300 m et AC = 400 m. D'après le théorème de Pythagore :
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2={300}^2+{400}^2=90000+160000=250000$, donc $BC=\sqrt{250000}=500$ m.

Longueurs CD et DE. Les droites (AE) et (BD) se coupent en C, et (AB) // (DE). D'après le théorème de Thalès (configuration « papillon »), avec CE = 1 000 m :
${\displaystyle \frac{CA}{CE}}={\displaystyle \frac{CB}{CD}}={\displaystyle \frac{AB}{DE}}$, soit ${\displaystyle \frac{400}{1000}}={\displaystyle \frac{500}{CD}}={\displaystyle \frac{300}{DE}}$.
Donc $CD={\displaystyle \frac{500\times 1000}{400}}=1250$ m et $DE={\displaystyle \frac{300\times 1000}{400}}=750$ m.

Longueur du parcours. $AB+BC+CD+DE=300+500+1250+750=2800$ m. Le parcours ABCDE mesure 2 800 m, soit 2,8 km.

PARTIE 1

1. De 9 h 35 à 10 h, il s'écoule 25 min, puis de 10 h à 10 h 30, 30 min : $25+30=55$ min. Le vol dure 55 minutes.

2. a) Passagers des six jours connus : $152+143+164+189+157+163=968$. Mercredi : $1113-968=145$. 145 passagers ont emprunté ce vol mercredi.

2. b) ${\displaystyle \frac{1113}{7}}=159$. Il y avait en moyenne 159 passagers par jour cette semaine-là.

3. a) La « cellule 12 » est la cellule I2 (colonne TOTAL, ligne de la semaine 1). On y a saisi la formule =SOMME(B2:H2) (ou =B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2). Vérification : $157+145+142+159+190+156+161=1110$.

3. b) Dans la cellule J2, on a saisi =MOYENNE(B2:H2) (ou =I2/7). Vérification : $1110÷7\approx 158,6$, affiché arrondi à 159.

4. 80 % de la capacité maximale : $190\times {\displaystyle \frac{80}{100}}=152$ passagers. La moyenne sur les douze semaines est 166 passagers par jour, et 166 est supérieur à 152 (cela représente ${\displaystyle \frac{166}{190}}\approx 87$ % de la capacité). L'objectif est atteint.

PARTIE 2

1. En 0,000 3 s, le signal parcourt $d=v\times t=300000\times 0,0003=90$ km. Ce trajet correspond à l'aller (radar → avion) et au retour (avion → radar) : la distance radar-avion est $90÷2=45$ km. L'avion se trouve bien à 45 km du radar.

2. L'altitude de l'avion est la longueur AI, où I est le point de l'horizontale situé à la verticale de l'avion : le triangle ARI est rectangle en I, d'hypoténuse $RA=45$ km, et $\widehat{ARI}=5$°. AI est le côté opposé à cet angle :
$\sin \widehat{ARI}={\displaystyle \frac{AI}{RA}}$, donc $AI=45\times \sin 5^{\circ }\approx 3,922$ km, soit environ 3 922 m. L'altitude de l'avion est d'environ 3 900 m (à la centaine de mètres près).

PARTIE 3

1. Sur le graphique, le point de la courbe d'abscisse 10 s a pour ordonnée 450 m environ. 10 s après avoir touché le sol, l'avion a parcouru environ 450 m.

2. À partir d'environ 20 s, la courbe est horizontale, à la hauteur de 600 m : la distance parcourue n'augmente plus, l'avion est arrêté. Aux instants 22 s et 26 s, on lit donc la même distance, 600 m. La distance est la même car l'avion est déjà à l'arrêt : il ne parcourt plus aucun mètre.

3. L'avion s'arrête au moment où la courbe atteint le palier de 600 m, c'est-à-dire vers 20 s. L'avion met environ 20 secondes pour s'arrêter (après avoir parcouru 600 m sur la piste).