Sujet du brevet 2012 de maths — Brevet AmeriqueSud nov- 2012 (session de remplacement) (Série générale)

Exercice 1

1. Réponse : $9x^2+30x+25$. Avec l'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ : $(3x+5{)}^2$$=(3x{)}^2+2\times 3x\times 5+5^2$$=9x^2+30x+25$.

2. Réponse : $(4x+7)(4x-7)$. $16x^2-49=(4x{)}^2-7^2$, et $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

3. Réponse : $2\sqrt{3}$. $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{16}\times \sqrt{3}=4\sqrt{3}$, donc ${\displaystyle \frac{\sqrt{48}}{2}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$. (3,64 n'est qu'une valeur approchée, et $\sqrt{24}\approx 4,9$ ne convient pas.)

4. Réponse : affine. $f(x)=5-4x=-4x+5$ est de la forme $ax+b$ avec $a=-4$ et $b=5$ ; comme $b\ne 0$, elle n'est pas linéaire.

5. Réponse : $6,51\times {10}^7$. $65100000=6,51\times 10000000=6,51\times {10}^7$, avec $1⩽6,51$ et $6,51$ inférieur à 10 ($651\times {10}^5$ est égal mais n'est pas une écriture scientifique).

Exercice 2

1. Une chance sur deux de tirer une boule rouge signifie que les boules rouges représentent la moitié des boules de l'urne : il y a donc autant de boules rouges que de boules d'une autre couleur, soit $6+5=11$. Vérification : l'urne contient 22 boules et ${\displaystyle \frac{11}{22}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=50$ %. Il y a 11 boules rouges dans l'urne.

2. Les 8 secteurs sont identiques, donc les 8 numéros sont équiprobables. Les multiples de 3 entre 1 et 8 sont 3 et 6. $p={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. La probabilité d'obtenir un multiple de 3 est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.

3. Pour gagner, Pierre doit d'abord tirer une boule rouge (probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$), puis obtenir un multiple de 3 (probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$). Les deux épreuves se succèdent, on multiplie les probabilités le long du chemin de l'arbre : $p={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$. La probabilité que Pierre gagne le gros lot est ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ (soit 12,5 %).

Exercice 3

1. 555 et 240 sont tous les deux divisibles par 5 (ils se terminent par 5 et par 0) : $555=5\times 111$ et $240=5\times 48$. Ils ont un diviseur commun autre que 1. 555 et 240 ne sont pas premiers entre eux.

2. On calcule le PGCD de 555 et 240 par l'algorithme d'Euclide :
$555=2\times 240+75$ ; $240=3\times 75+15$ ; $75=5\times 15+0$.
Le dernier reste non nul est 15, donc PGCD(555 ; 240) = 15. On divise numérateur et dénominateur par 15 : ${\displaystyle \frac{240}{555}}={\displaystyle \frac{240÷15}{555÷15}}={\displaystyle \frac{16}{37}}$. La fraction irréductible est ${\displaystyle \frac{16}{37}}$. (16 et 37 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 : 37 est premier et ne divise pas 16.)

Exercice 1

1. Le terrain se décompose en un rectangle ABDE et un triangle BDC rectangle en D.

• Rectangle ABDE : $AB=20$ m et $AE=40$ m, aire $=20\times 40=800$ m².
• Triangle BDC : $BD=AE=40$ m et $DC=EC-ED=50-20=30$ m, aire $={\displaystyle \frac{40\times 30}{2}}=600$ m².

Aire du terrain : $800+600=1400$ m². Il faut 1 kg pour 35 m² : $1400÷35=40$ kg de gazon. Un sac contient 15 kg : $40÷15\approx 2,67$ ; deux sacs (30 kg) ne suffisent pas. Pierre doit acheter 3 sacs de gazon.

2. Il manque la longueur BC. Le triangle BDC est rectangle en D ; d'après le théorème de Pythagore :
$B{C}^2=B{D}^2+D{C}^2={40}^2+{30}^2=1600+900=2500$, donc $BC=\sqrt{2500}=50$ m.
Périmètre du terrain : $AB+BC+CE+EA=20+50+50+40=160$ m. Le contour mesure 160 m : les 150 m de grillage ne suffisent pas (il manque 10 m).

Exercice 2

Dans le triangle ABI, la somme des angles vaut 180° : $\widehat{AIB}=180-35-55=90$°. Le triangle ABI est donc rectangle en I, d'hypoténuse $[AB]=800$ m.

Dans le triangle ABI rectangle en I, avec l'angle $\widehat{IAB}=35$° :
$\cos \widehat{IAB}={\displaystyle \frac{AI}{AB}}$, donc $AI=800\times \cos {35}^{\circ }\approx 655,3$ m ;
$\sin \widehat{IAB}={\displaystyle \frac{BI}{AB}}$, donc $BI=800\times \sin {35}^{\circ }\approx 458,9$ m.
Vérification avec Pythagore : $655,3^2+458,9^2\approx 429418+210589\approx 640007$, et ${800}^2=640000$. Le bateau A est à environ 655 m de l'île et le bateau B à environ 459 m.

Exercice 3

Les points E, P, N d'une part et F, P, M d'autre part sont alignés, et les droites (EF) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès (configuration « papillon ») :
${\displaystyle \frac{PE}{PN}}={\displaystyle \frac{PF}{PM}}={\displaystyle \frac{EF}{MN}}$, avec $PE=2$, $PN=5$ et $EF=3$ (longueurs lues sur la figure).
Donc ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3}{MN}}$, d'où $MN={\displaystyle \frac{5\times 3}{2}}=7,5$. MN = 7,5 (dans l'unité de longueur de la figure).

I - Le cercle de lancer

1. Le rayon du cercle est $r=2,14÷2=1,07$ m. Aire du disque : $A=\pi r^2=\pi \times 1,{07}^2=1,1449\pi \approx 3,60$ m². L'aire du disque de lancer est d'environ 3,60 m².

2. À l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{50}}$, les longueurs réelles sont divisées par 50 : $2,14$ m $=214$ cm, et $214÷50=4,28$ cm. Sur le dessin, le cercle a donc un diamètre de 4,28 cm, soit un rayon de 2,14 cm. Les angles ne changent pas avec l'échelle :

• on trace au compas un cercle de centre O et de rayon 2,14 cm ;
• on trace deux demi-droites issues du centre O, formant entre elles un angle de 40° (au rapporteur), comme sur le schéma ;
• la zone de lancer valable est la partie du sol comprise entre ces deux demi-droites, à l'extérieur du cercle.

II - Le poids

Le poids est une boule de diamètre 12 cm, donc de rayon 6 cm. Avec le formulaire :
$V$$={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$$={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 6^3$$={\displaystyle \frac{4}{3}}\times 216\pi$$=288\pi$$\approx 904,8$ cm³.
Chaque cm³ pèse 8 g : masse $=8\times 288\pi =2304\pi \approx 7238$ g, soit environ 7,24 kg.

• Pour les hommes : le diamètre (120 mm) est bien compris entre 110 mm et 130 mm, mais la masse (environ 7,238 kg) est inférieure au minimum de 7,26 kg.
• Pour les femmes : le diamètre de 120 mm dépasse le maximum de 110 mm (et la masse dépasse largement 4,025 kg).

Ce poids ne vérifie pas les conditions : il ne peut être utilisé en compétition ni chez les hommes ni chez les femmes (il est trop léger d'environ 22 g pour les hommes).

III - Trajectoires

1. Les trois courbes partent du point de coordonnées (0 ; 2). Le poids est lâché à 2 m de hauteur.

2. La longueur du jet est l'abscisse du point où la courbe rejoint l'axe horizontal (hauteur 0) : environ 16 m pour (C1), 19 m pour (C2) et 11,5 m pour (C3). Le jet le plus long est obtenu avec un angle de 40° (courbe (C2)) : la distance est d'environ 19 m.

3. Le point le plus haut est le sommet de la courbe (C1), dont l'ordonnée est environ 8,5 m (atteinte vers 7,5 m de distance horizontale). Le poids monte le plus haut avec un angle de 60° : il atteint environ 8,5 m.

IV - Performances

On range les 11 lancers dans l'ordre croissant (en m) :
19,67 ; 20,06 ; 20,41 ; 20,42 ; 20,53 ; 20,63 ; 20,98 ; 21,04 ; 21,05 ; 21,09 ; 21,51.

1. Les trois meilleurs lancers sont les trois plus grandes valeurs. Pologne (or) : 21,51 m ; États-Unis (argent) : 21,09 m ; Biélorussie (bronze) : 21,05 m.

2. Somme des 11 lancers : $19,67+20,06+20,41+20,42+20,53+20,63+20,98+21,04+21,05+21,09+21,51$$=227,39$ m.
Moyenne : ${\displaystyle \frac{227,39}{11}}\approx 20,67$ m. La longueur moyenne de lancer de cette finale est d'environ 20,67 m.

3. Il y a 11 valeurs (nombre impair) : la médiane est la valeur de rang ${\displaystyle \frac{11+1}{2}}=6$ dans la série rangée, soit 20,63 m (5 lancers plus courts, 5 plus longs). Le lancer de Yurly Bilonoh mesurait 20,63 m.

4. Les lancers supérieurs à 21 m sont 21,04 ; 21,05 ; 21,09 et 21,51 : 4 lanceurs sur 11. ${\displaystyle \frac{4}{11}}\approx 0,364$. Environ 36,4 % des finalistes ont franchi les 21 m.