Sujet du brevet 2012 de maths — Brevet AmduNord 8 juin 2012 (Série générale)

Exercice 1

Affirmation 1 : vraie. En effectuant la division, ${\displaystyle \frac{1}{8}}=1÷8=0,125$. Ce nombre s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule (c'est aussi ${\displaystyle \frac{125}{1000}}$, une fraction décimale). ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ est donc un nombre décimal.

Affirmation 2 : fausse. On cherche tous les diviseurs de 72 en les associant par paires dont le produit vaut 72 : $1\times 72$, $2\times 36$, $3\times 24$, $4\times 18$, $6\times 12$, $8\times 9$. La liste des diviseurs est donc 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. 72 a douze diviseurs, et non cinq : l'affirmation est fausse.

Affirmation 3 : vraie. On développe avec l'identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ :
$(n-1)(n+1)+1$$=n^2-1^2+1$$=n^2-1+1$$=n^2$.
Comme $n$ est un entier, le résultat $n^2$ est toujours le carré d'un entier : l'affirmation est vraie. (Exemple : pour $n=5$, $4\times 6+1=25=5^2$.)

Affirmation 4 : fausse. Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Contre-exemple : 3 et 9 sont impairs, mais 3 divise 3 et 9 ($9=3\times 3$). Leur PGCD vaut 3, et non 1. Deux nombres impairs ne sont donc pas toujours premiers entre eux : l'affirmation est fausse.

Exercice 2

1. Dans la classe n° 1, on compte 21 réponses : une fois 1, quatre fois 2, huit fois 3, cinq fois 6 et trois fois 7 ($1+4+8+5+3=21$). Le nombre total de livres empruntés est :
$1\times 1+4\times 2+8\times 3+5\times 6+3\times 7$$=1+8+24+30+21$$=84$.
Moyenne de la classe n° 1 : ${\displaystyle \frac{84}{21}}=4$ livres. La moyenne de la classe n° 2 est donnée : 4 livres. Les deux classes ont le même nombre moyen de livres empruntés : 4 livres par élève.

2. Dans la classe n° 1, les « grands lecteurs » sont ceux qui ont emprunté 6 ou 7 livres : $5+3=8$ élèves.
Dans la classe n° 2, l'effectif est 25 et la médiane vaut 5 : en rangeant les 25 réponses dans l'ordre croissant, la 13^e valeur vaut 5 ; les valeurs de la 13^e à la 25^e sont donc toutes supérieures ou égales à 5. Il y a ainsi au moins 13 « grands lecteurs ». C'est la classe n° 2 qui a le plus de « grands lecteurs » (au moins 13 contre 8).

3. Dans la classe n° 1, le maximum est 7 livres. Dans la classe n° 2, l'étendue (différence entre la plus grande et la plus petite valeur) vaut 8 : le maximum est égal au minimum augmenté de 8. Le minimum étant au moins égal à 0, le maximum vaut au moins 8 livres, donc plus que 7. L'élève qui a emprunté le plus de livres est dans la classe n° 2.

Exercice 3

Chaque heure, le nombre de cellules est multiplié par 2. On note les résultats heure par heure :

Au bout de $n$ heures, il y a $2^n$ cellules. Or $2^7=128$, qui est inférieur à 200, et $2^8=256$, qui dépasse 200 : il faut attendre 8 heures après midi. Léa notera pour la première fois plus de 200 cellules à 20 h (256 cellules).

Exercice 1

Les points C, G, B d'une part et D, G, A d'autre part sont alignés (G est le point de croisement des segments [CB] et [AD]), et les droites (CD) et (AB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès (configuration « papillon ») :
${\displaystyle \frac{GC}{GB}}={\displaystyle \frac{GD}{GA}}={\displaystyle \frac{CD}{AB}}$, soit ${\displaystyle \frac{30}{45}}={\displaystyle \frac{30}{45}}={\displaystyle \frac{CD}{51}}$.
Donc $CD={\displaystyle \frac{51\times 30}{45}}={\displaystyle \frac{1530}{45}}=34$.
Vérification : ${\displaystyle \frac{34}{51}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{30}{45}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. L'assise mesure CD = 34 cm.

Exercice 2

1. a) Le cylindre a pour rayon $AK=1,5$ cm et pour hauteur 6 cm. Volume d'un cylindre = aire de la base × hauteur :
$V=\pi \times 1,5^2\times 6=\pi \times 2,25\times 6=13,5\pi$. La valeur exacte du volume du cylindre est bien $13,5\pi$ cm³.

1. b) Les deux cônes sont identiques, de même sommet C, et leurs bases sont les deux bases du cylindre : la hauteur de chaque cône est donc la moitié de celle du cylindre, $6÷2=3$ cm. Volume d'un cône :
${\displaystyle \frac{\pi \times 1,5^2\times 3}{3}}=\pi \times 2,25=2,25\pi$.
Le sablier est formé de deux cônes : $V_1=2\times 2,25\pi =4,5\pi$. La valeur exacte de $V_1$ est bien $4,5\pi$ cm³.

1. c) ${\displaystyle \frac{V_1}{V}}={\displaystyle \frac{4,5\pi }{13,5\pi }}={\displaystyle \frac{4,5}{13,5}}={\displaystyle \frac{45}{135}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Le sablier occupe ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ du volume du cylindre.

2. Le débit est de 240 cm³ par heure. Le temps d'écoulement de 12 cm³ est :
$t={\displaystyle \frac{12}{240}}=0,05$ h, et $0,05\times 60=3$ min. Le sablier mesure 3 minutes.

Exercice 3

Le petit carré a une aire de 4 cm², donc son côté mesure $\sqrt{4}=2$ cm. Sur la figure, le côté gauche du grand carré est partagé en deux segments codés de la même longueur, dont l'un a pour longueur le côté du petit carré : le côté du grand carré mesure donc $2\times 2=4$ cm et son aire vaut $4^2=16$ cm².

Le carré cherché doit avoir une aire de $4+16=20$ cm², donc un côté $c$ tel que $c^2=20$, soit $c=\sqrt{20}\approx 4,47$ cm. Cette longueur ne se mesure pas exactement à la règle : on l'obtient avec le théorème de Pythagore.

• On trace un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 2 cm et 4 cm (les côtés des deux carrés).
• D'après le théorème de Pythagore, son hypoténuse $h$ vérifie $h^2=2^2+4^2=4+16=20$.
• On construit le carré qui a pour côté cette hypoténuse (à l'équerre et au compas).

Le carré construit sur l'hypoténuse a une aire de 20 cm², égale à la somme des aires des deux carrés (côté $\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,47$ cm).

Partie 1 - L'inscription des élèves

1. On complète le tableau. Total des 4^e : $84+22+62=168$. Total des 3^e : $320-168=152$. Élèves de 3^e faisant espagnol : $152-24-50=78$.

L'échange concerne les élèves de 3^e qui étudient l'espagnol. 78 élèves peuvent être concernés par cet échange.

2. Il y a 152 élèves de 3^e. ${\displaystyle \frac{24}{152}}\approx 0,158$, soit environ 15,8 %. (Autre méthode : 12 % de 152 élèves représentent $152\times 0,12=18,24$ élèves, et 24 est supérieur à 18,24.) C'est vrai : les 24 participants représentent environ 15,8 % des élèves de 3^e, soit plus de 12 %.

Partie II - Le financement

1. a) La recette est prévue pour 4 personnes ; pour 50 personnes, on multiplie toutes les quantités par ${\displaystyle \frac{50}{4}}=12,5$ (proportionnalité) :

• bœuf haché : $500\times 12,5=6250$ g, soit 6,25 kg ;
• haricots rouges : $400\times 12,5=5000$ g, soit 5 kg ;
• oignons : $2\times 12,5=25$, soit 25 gros oignons ;
• concentré de tomate : $65\times 12,5=812,5$ g, soit 812,5 g.

1. b) La recette du repas est $50\times 15=750$ €. Bénéfice = recette − dépenses $=750-261=489$. Le bénéfice du repas est de 489 €.

2. a) Les 720 tickets ont la même chance d'être tirés et 3 tickets sont gagnants. $p={\displaystyle \frac{3}{720}}={\displaystyle \frac{1}{240}}$. La probabilité de gagner l'un des lots est ${\displaystyle \frac{1}{240}}$.

2. b) Un seul ticket gagne la mini-chaîne Hifi : la probabilité de la gagner est ${\displaystyle \frac{1}{720}}$.

3. La tombola rapporte $720\times 2=1440$ € (les lots sont offerts, il n'y a pas de dépense). Avec le bénéfice du repas : $489+1440=1929$. Les deux actions rapportent bien 1 929 €.

Partie II - Le voyage

1. Les 1 929 € sont répartis équitablement entre les 24 élèves : $1929÷24=80,375$ € de réduction par élève. Participation par élève : $770,30-80,375=689,925$ €. (Vérification : $24\times 770,30=18487,20$ € ; $18487,20-1929=16558,20$ € ; $16558,20÷24=689,925$ €.) Chaque élève paie environ 690 € pour son billet d'avion.

2. Durée du trajet en bus : $t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{256}{80}}=3,2$ h. Or $0,2$ h $=0,2\times 60=12$ min, donc $t=3$ h 12 min. Il faut arriver à 11 h 30 : $11$ h $30-3$ h $12=8$ h 18. Le bus doit partir de Caen au plus tard à 8 h 18.

3. a) Mexico a 7 heures de retard sur la France : quand il est 17 h 24 à Mexico, il est $17$ h $24+7$ h $=24$ h 24, c'est-à-dire 0 h 24 le lendemain, en France. L'avion décolle à 13 h 30 (heure française) : de 13 h 30 à minuit, il s'écoule 10 h 30 min, puis de minuit à 0 h 24, encore 24 min, soit $10$ h $30+24$ min $=10$ h 54 min. Le vol dure 10 h 54 min.

3. b) On convertit la durée en heures : $54$ min $={\displaystyle \frac{54}{60}}$ h $=0,9$ h, donc la durée vaut 10,9 h. Vitesse moyenne : $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{9079}{10,9}}\approx 832,9$ km/h. (Vérification : $833\times 10,9\approx 9080$ km.) La vitesse moyenne de l'avion est d'environ 833 km/h.