Sujet du brevet 2012 de maths — Asie (Série générale)

Exercice 1

1. En classant les fréquences dans l'ordre décroissant : E (17,26 %), A (8,40 %), S (8,08 %), I (7,35 %) et N (7,13 %) ; la suivante est T (7,07 %). Les cinq lettres les plus fréquentes sont E, A, S, I et N.

2. Les voyelles sont A, E, I, O, U et Y. Leur fréquence totale est :
$8,40+17,26+7,35+5,26+5,74+0,30=44,31$ %.
Les fréquences des 26 lettres ont pour somme 100 %, donc les consonnes représentent $100-44,31=55,69$ %.
On peut représenter cette répartition par un diagramme circulaire. Les angles sont proportionnels aux fréquences (100 % correspondent à 360°) :

On trace un disque, un secteur de 160° pour les voyelles et un secteur de 200° pour les consonnes, avec une légende. (Un diagramme en barres de hauteurs 44,31 et 55,69 est aussi accepté.)

3. Si les 26 lettres avaient la même fréquence, chacune aurait la fréquence ${\displaystyle \frac{100}{26}}\approx 3,85$. Chaque lettre aurait une fréquence d'environ 3,85 % (soit ${\displaystyle \frac{1}{26}}$).

Exercice 2

On choisit au hasard un jeton parmi 100 : les 100 issues sont équiprobables.

1. Il y a 8 jetons I : $p(I)={\displaystyle \frac{8}{100}}=0,08$. La probabilité d'obtenir la lettre I est 0,08.

2. Le nombre de voyelles est $9+15+8+6+6+1=45$, donc $p(\text{voyelle})={\displaystyle \frac{45}{100}}=0,45$. La probabilité d'obtenir une voyelle est 0,45.

3. Obtenir une consonne est l'événement contraire d'obtenir une voyelle : $p(\text{consonne})=1-0,45=0,55$. La probabilité d'obtenir une consonne est 0,55.

Exercice 3

1. $f(-3)=-5\times (-3)+1=15+1=16$. L'image de $-3$ par $f$ est 16.

2. On résout $f(x)=4$ : $-5x+1=4$, donc $-5x=3$, d'où $x={\displaystyle \frac{3}{-5}}=-0,6$.
Vérification : $f(-0,6)=-5\times (-0,6)+1=3+1=4$. L'antécédent de 4 par $f$ est $-0,6$.

Exercice 4 (QCM)

Question 1 : réponse A. $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\times \sqrt{2}=5\sqrt{2}$. (La réponse C, $2\sqrt{25}=10$, est fausse car ${10}^2=100\ne 50$.)

Question 2 : réponse C. D'après l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ : $(2x-1{)}^2$$=(2x{)}^2-2\times 2x\times 1+1^2$$=4x^2-4x+1$.

Question 3 : réponse B. Algorithme d'Euclide : $119=91\times 1+28$ ; $91=28\times 3+7$ ; $28=7\times 4+0$. Le dernier reste non nul est 7, donc $\text{PGCD}(91;119)=7$. (On vérifie : $91=7\times 13$ et $119=7\times 17$, et 13 et 17 n'ont pas de diviseur commun autre que 1.)

Exercice 1

1. La terrasse [DN] est horizontale et le mur [NP] est vertical : ils sont perpendiculaires, donc le triangle DNP est rectangle en N. Son hypoténuse est [DP]. D'après le théorème de Pythagore :
$D{P}^2=D{N}^2+N{P}^2$, donc $N{P}^2$$=D{P}^2-D{N}^2$$=4,2^2-4^2$$=17,64-16$$=1,64$.
$NP=\sqrt{1,64}\approx 1,2806$. La hauteur du mur est d'environ 1,28 m (arrondie au cm, soit 128 cm).

2. Dans le triangle DNP rectangle en N, DN est le côté adjacent à l'angle $\widehat{NDP}$ et DP l'hypoténuse. D'après la trigonométrie :
$\cos \widehat{NDP}={\displaystyle \frac{DN}{DP}}={\displaystyle \frac{4}{4,2}}\approx 0,952$, donc $\widehat{NDP}\approx 17,75°$.
L'angle entre la terrasse et le terrain en pente mesure environ 18° (arrondi au degré).

Exercice 2

1. Les points A, F, D sont alignés dans cet ordre et les points A, C, U sont alignés dans le même ordre. On a $AD=AF+FD=3+1,5=4,5$ cm.
D'une part ${\displaystyle \frac{AF}{AD}}={\displaystyle \frac{3}{4,5}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ ; d'autre part ${\displaystyle \frac{AC}{AU}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
Les rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FC) et (DU) sont parallèles.

2. Le triangle ADU est un agrandissement du triangle AFC (les côtés sont proportionnels car (FC) // (DU)). Le rapport d'agrandissement est $k={\displaystyle \frac{AD}{AF}}={\displaystyle \frac{4,5}{3}}=1,5$ (on retrouve ${\displaystyle \frac{AU}{AC}}={\displaystyle \frac{3}{2}}=1,5$). Le rapport d'agrandissement est 1,5.

3. La hauteur issue de C dans le triangle ACF est relative au côté [AF]. L'aire de AFC est donc ${\displaystyle \frac{AF\times h}{2}}={\displaystyle \frac{3\times 1,6}{2}}=2,4$ cm².
Dans un agrandissement de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ : aire de ADU $=1,5^2\times 2,4=2,25\times 2,4=5,4$.
Vérification : la hauteur issue de U dans ADU mesure $1,5\times 1,6=2,4$ cm, et ${\displaystyle \frac{4,5\times 2,4}{2}}=5,4$. L'aire du triangle ADU est 5,4 cm².

Partie 1

1. Le bâtiment est un pavé droit à base carrée de côté 7 m et de hauteur 3,5 m. D'après la figure, la base de la coupole est un cercle inscrit dans le carré du toit : son diamètre est 7 m, donc son rayon est $R=3,5$ m.

• Les 4 faces latérales sont des rectangles de 7 m sur 3,5 m : $4\times 7\times 3,5=98$ m².
• La partie plane du toit est le carré privé du disque de base de la coupole : $7^2-\pi \times 3,5^2=49-12,25\pi \approx 10,52$ m².
• La coupole est une demi-sphère : ${\displaystyle \frac{4\pi R^2}{2}}=2\pi \times 3,5^2=24,5\pi \approx 76,97$ m².

Aire à peindre, en retirant les 18 m² d'ouvertures :
$98+(49-12,25\pi )+24,5\pi -18$$=129+12,25\pi$$\approx 167,5$ m².
L'aire totale à peindre est d'environ 168 m².

2. On utilise une surface de 168 m².

• Pots de peinture : $168÷40=4,2$ ; 4 pots ne suffisent pas (160 m²), il faut donc 5 pots, soit $5\times 400=2000$ €.
• Main d'œuvre : $168÷42=4$, soit 4 heures, et $4\times 35=140$ €.
• Total HT : $2500+2000+140=4640$ €.
• TVA : $4640\times {\displaystyle \frac{19,6}{100}}=909,44$ €.
• Total TTC : $4640+909,44=5549,44$ €.

Partie 2

1. a) Sans forfait, un couple et un enfant paient $2\times 12+7=31$ €, ce qui est moins que le forfait famille à 35 €. Le forfait famille n'est pas intéressant pour ce couple avec un enfant.

1. b) Pour un couple avec $n$ enfants, le prix sans forfait est $24+7n$ euros. Le forfait est intéressant si $24+7n>35$, c'est-à-dire $7n>11$, soit $n>{\displaystyle \frac{11}{7}}\approx 1,57$. Avec 1 enfant : 31 € < 35 € ; avec 2 enfants : $24+14=38$ € > 35 €. Un couple a intérêt à choisir le forfait famille à partir de 2 enfants.

2. a) $89\times 35=3115$. La recette des forfaits famille est de 3 115 €.

2. b) ${\displaystyle \frac{3115}{510}}\approx 6,11$. Le prix moyen par personne est d'environ 6,11 €.

3. Notons $a$ le nombre d'entrées adultes et $e$ le nombre d'entrées enfants. On a :
$a+e=380$ (nombre de personnes) et $12a+7e=3660$ (recette en euros).
De la première équation, $e=380-a$. En remplaçant dans la seconde : $12a+7(380-a)=3660$, soit $12a+2660-7a=3660$, d'où $5a=1000$ et $a=200$. Alors $e=380-200=180$.
Vérification : $12\times 200+7\times 180=2400+1260=3660$ €. Il y a eu 200 entrées adultes et 180 entrées enfants.