Sujet du brevet 2011 de maths — Pondichéry (Série générale)

Exercice 1

Question 1. Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Les diviseurs communs sont 1, 2, 3 et 6 (5 ne divise pas 42 et 7 ne divise pas 30). Réponse B.

Question 2. Le sac contient $10+5=15$ boules, dont 5 noires, et les tirages sont équiprobables : $p={\displaystyle \frac{5}{15}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Réponse A.

Question 3. $7x-5<4x+1$ équivaut à $7x-4x<1+5$, soit $3x<6$, soit $x<2$. Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à 2 : la partie de la droite graduée située à gauche de 2, avec le crochet tourné vers l'extérieur en 2 (2 est exclu). Réponse A.

Question 4. ${\displaystyle \frac{({10}^{-3}{)}^2\times {10}^4}{{10}^{-5}}}$$={\displaystyle \frac{{10}^{-6}\times {10}^4}{{10}^{-5}}}$$={\displaystyle \frac{{10}^{-2}}{{10}^{-5}}}$$={10}^{-2-(-5)}$$={10}^3$. Réponse C.

Exercice 2

1. $A=(2x+1)(x-5)=2x^2-10x+x-5$, donc $A=2x^2-9x-5$.

2. Pour $x=-3$ : $A=2\times (-3{)}^2-9\times (-3)-5=18+27-5=40$.
Vérification avec la forme factorisée : $(2\times (-3)+1)(-3-5)$$=(-5)\times (-8)$$=40$. Pour $x=-3$, A = 40.

3. $A=0$ équivaut à $(2x+1)(x-5)=0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
$2x+1=0$, soit $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; ou $x-5=0$, soit $x=5$.
Les solutions de l'équation sont $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et 5.

Exercice 3

On lit les notes sur le graphique :

1. Le point le plus haut correspond à la note 19. Mathieu a obtenu sa meilleure note au devoir n° 9.

2. La somme des 12 notes est $13+12+9+11+6+11+11+17+19+14+3+12=138$.
Moyenne : ${\displaystyle \frac{138}{12}}=11,5$. La moyenne des notes de Mathieu est de 11,5 sur 20.

3. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite note : $19-3=16$. L'étendue de la série est 16.

4. a. Les notes strictement inférieures à 10 sont 9 (devoir 3), 6 (devoir 5) et 3 (devoir 11). Mathieu a eu 3 notes strictement inférieures à 10.

b. ${\displaystyle \frac{3}{12}}=0,25$. Cela représente 25 % des devoirs.

Exercice 1

1. Le point D appartient au cercle $𝒞$ de diamètre [BM]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse. Le triangle BMD est donc rectangle en D.

2. a. Le triangle ABD est isocèle en A, donc ses angles à la base sont égaux : $\widehat{ADB}=\widehat{ABD}=75°$. La somme des angles d'un triangle vaut 180°, donc $\widehat{BAD}=180°-2\times 75°=30°$. L'angle $\widehat{BAD}$ mesure 30°.

b. L'angle inscrit $\widehat{BMD}$ intercepte l'arc $\stackrel{⌢}{BD}$ (celui qui ne contient pas M). L'angle inscrit $\widehat{BAD}$ intercepte le même arc. Réponse : l'angle $\widehat{BAD}$.

c. Deux angles inscrits dans un même cercle qui interceptent le même arc ont la même mesure. Donc $\widehat{BMD}=\widehat{BAD}=30°$. L'angle $\widehat{BMD}$ mesure bien 30°.

3. Le triangle BMD est rectangle en D, d'hypoténuse [BM]. D'après le théorème de Pythagore : $B{M}^2=B{D}^2+D{M}^2$, donc $D{M}^2$$=B{M}^2-B{D}^2$$=11,2^2-5,6^2$$=125,44-31,36$$=94,08$.
$DM=\sqrt{94,08}\approx 9,699$. DM ≈ 9,7 cm (arrondi au dixième).
Vérification par la trigonométrie : $DM=BM\times \cos \widehat{BMD}=11,2\times \cos 30°\approx 9,7$ cm.

Exercice 2

Partie 1

1. a. Le cône a pour rayon de base $r=AB=1,20$ m et pour hauteur $h=SA=1,60$ m :
$V_{cône}$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 1,2^2\times 1,6$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 1,44\times 1,6$$=0,768\pi$$\approx 2,4127$.
Le volume du cône, arrondi au millième, est bien de 2,413 m³.

b. Contenance totale : $2,413+10,857=13,270$ m³. Or $1$ m³ $=1000$ dm³ $=1000$ L. La contenance du silo est d'environ 13 270 litres.

2. a. Le coefficient de réduction est $k={\displaystyle \frac{SO}{SA}}={\displaystyle \frac{1,20}{1,60}}=0,75$. Le coefficient de réduction est 0,75 (soit ${\displaystyle \frac{3}{4}}$).

b. Dans une réduction de coefficient $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$ :
$V_{grains}$$=0,{75}^3\times V_{cône}$$=0,421875\times 0,768\pi$$=0,324\pi$$\approx 1,0179$.
Le silo contient environ 1,018 m³ de grains.

Partie 2

D'après la figure 2, le point B est à la verticale de H : les points H, B et C sont alignés (verticale passant par le bord du silo), et les points H, M et N sont alignés sur le sol, dans le même ordre. On a $HB=1,60$ m (hauteur du cône) et $HC=1,60+2,40=4$ m.
${\displaystyle \frac{HB}{HC}}={\displaystyle \frac{1,6}{4}}=0,4$ et ${\displaystyle \frac{HM}{HN}}={\displaystyle \frac{0,8}{2}}=0,4$.
Comme ${\displaystyle \frac{HB}{HC}}={\displaystyle \frac{HM}{HN}}$, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BM) et (CN) sont parallèles. Les deux échelles sont parallèles.

Partie 1

1. Le pignon est formé du rectangle ABCD et du triangle BSC, de base $BC=AD=6$ m et de hauteur $SM=1,80$ m (SM est perpendiculaire à [BC]).
Aire du rectangle : $6\times 2,20=13,2$ m².
Aire du triangle : ${\displaystyle \frac{6\times 1,80}{2}}=5,4$ m².
Aire du pignon : $13,2+5,4=18,6$. L'aire du pignon ABSCD est bien de 18,6 m².

2. a. $18,6÷1,2=15,5$. Il faut un nombre entier de lots, et 15 lots ne couvrent que 18 m². Monsieur Duchêne doit acheter au minimum 16 lots.

b. $18\times 49=882$. Il devrait payer 882 €.

c. Une remise de 12 % revient à payer 88 % du prix : $882\times 0,88=776,16$.
Vérification : la remise vaut $882\times 0,12=105,84$ € et $882-105,84=776,16$ €. Monsieur Duchêne a finalement payé 776,16 €.

Partie 2

1. M est le milieu de [BC] et $BC=AD=6$ m (côtés opposés du rectangle), donc $BM=6÷2=3$. BM = 3 m.

2. a. Dans le triangle SBM, H est sur [BM], F est sur [BS] et les droites (FH) et (SM) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{BH}{BM}}={\displaystyle \frac{BF}{BS}}={\displaystyle \frac{FH}{SM}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{FH}{1,80}}={\displaystyle \frac{0,50}{3}}$ et $FH={\displaystyle \frac{0,50\times 1,80}{3}}=0,30$. FH = 0,30 m.

b. Le quadrilatère ABHE est un rectangle, donc $EH=AB=2,20$ m. Comme E, H et F sont alignés : $EF=EH+HF=2,20+0,30=2,50$. Le tasseau mesure 2,50 m.

3. a. Avec le même raisonnement (théorème de Thalès dans le triangle SBM) et $BH=x$ : ${\displaystyle \frac{FH}{SM}}={\displaystyle \frac{BH}{BM}}$, donc $FH={\displaystyle \frac{x\times 1,80}{3}}=0,6x$. On a bien FH = 0,6x.

b. $EF=EH+HF$, donc $EF=2,2+0,6x$ (en mètres). Vérification : pour $x=0,5$, on retrouve $2,2+0,3=2,5$ m.

4. a. On part de 1,5 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la droite et on lit l'ordonnée : le tasseau placé à 1,50 m du côté [AB] mesure 3,1 m (par le calcul : $2,2+0,6\times 1,5=3,1$).

b. On part de 2,8 sur l'axe des ordonnées, on trace horizontalement jusqu'à la droite puis on descend sur l'axe des abscisses : le tasseau de 2,80 m doit être placé à 1 m du côté [AB] (par le calcul : $2,2+0,6x=2,8$ donne $0,6x=0,6$, soit $x=1$).

Partie 3

Le triangle SBM est rectangle en M, avec $SM=1,80$ m (côté opposé à l'angle $\widehat{SBM}$) et $BM={\displaystyle \frac{BC}{2}}=3$ m (côté adjacent). D'après la trigonométrie :
$\tan \widehat{SBM}={\displaystyle \frac{SM}{BM}}={\displaystyle \frac{1,80}{3}}=0,6$, donc $\widehat{SBM}\approx 30,96°$.
L'angle $\widehat{SBM}$ mesure environ 31° (arrondi au degré).