Sujet du brevet 2011 de maths — Polynésie (Série générale)

1. On réduit au même dénominateur 18 : ${\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{2}{18}}+{\displaystyle \frac{3}{18}}={\displaystyle \frac{5}{18}}$. Réponse C.

2. On calcule d'abord sous le radical : $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Réponse D.

3. La réduction représente 5 % du prix : $1240\times {\displaystyle \frac{5}{100}}=62$. Réponse D : 62 F.

4. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $2x-1=0$ donne $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; $3x+5=0$ donne $x=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$. Réponse B : ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $-{\displaystyle \frac{5}{3}}$.

5. D'après l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec $a=x$ et $b=10$ : $x^2-100=(x-10)(x+10)$. Réponse B.

1. $600+800+1800+1200+600=5000$. L'effectif total est de 5 000 gousses.

2. Les gousses qui tiennent dans un tube de 20 cm sans être pliées mesurent au plus 20 cm : ce sont celles de 12 cm, 15 cm et 17 cm, soit $600+800+1800=3200$ gousses. ${\displaystyle \frac{3200}{5000}}=0,64$. Le cultivateur a pu conditionner 64 % de sa production sans plier les gousses.

3. On vérifie les deux conditions.

• Longueur moyenne : ${\displaystyle \frac{12\times 600+15\times 800+17\times 1800+22\times 1200+23\times 600}{5000}}$$={\displaystyle \frac{7200+12000+30600+26400+13800}{5000}}$$={\displaystyle \frac{90000}{5000}}$$=18$. La longueur moyenne est de 18 cm, supérieure à 16,5 cm : la première condition est remplie.
• Gousses de plus de 17,5 cm : ce sont celles de 22 cm et 23 cm, soit $1200+600=1800$ gousses, et ${\displaystyle \frac{1800}{5000}}=0,36$, soit 36 %. Or la moitié de la production représente 2 500 gousses et $1800<2500$ : la seconde condition n'est pas remplie.

Le cultivateur ne pourra pas recevoir le « label de qualité » : sa moyenne est suffisante, mais seulement 36 % de ses gousses dépassent 17,5 cm, ce qui est moins de la moitié.

1. Par l'algorithme d'Euclide :

• $260=2\times 90+80$
• $90=1\times 80+10$
• $80=8\times 10+0$

Le PGCD est le dernier reste non nul. PGCD(260 ; 90) = 10.

2. Tout le tissu doit être utilisé : la longueur du côté d'un carré doit donc diviser à la fois 260 et 90, c'est un diviseur commun de 260 et de 90. Comme le côté doit être le plus grand possible, c'est le plus grand diviseur commun : le côté d'un carré mesure PGCD(260 ; 90) = 10 cm.

Dans la longueur, on place $260÷10=26$ carrés ; dans la largeur, $90÷10=9$ carrés. $26\times 9=234$. Tina pourra obtenir 234 carrés.

3. La bonne formule est =SOMME(D2:D3) : elle additionne les cellules D2 et D3 et donne $8775+9360=18135$ F.

Les autres formules ne conviennent pas : « D2 + D31 » ne commence pas par le signe « = » et fait référence à une cellule D31 ; « 9 360+8 775 » est un calcul écrit à la main qui ne se mettrait pas à jour si les prix changeaient (et ne commence pas non plus par « = ») ; « =SOMME(D2:D5) » contient la cellule D5 elle-même, ce qui crée une référence circulaire.

1. Construction (1 cm pour 1 km) : on trace un segment [AB] de 10 cm ; avec le compas, on trace un arc de cercle de centre A et de rayon 8 cm, puis un arc de cercle de centre B et de rayon 6 cm ; leur point d'intersection est C. On trace [AC] et [BC]. Avec l'équerre, on trace la perpendiculaire à (AB) passant par C : elle coupe [AB] en H, pied de la hauteur issue de C (on trouve AH = 6,4 cm et CH = 4,8 cm, ce qui permet de contrôler la figure).

2. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AB].

• $A{B}^2={10}^2=100$
• $A{C}^2+B{C}^2=8^2+6^2=64+36=100$

On constate que $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

3. a) L'aire d'un triangle est égale à ${\displaystyle \frac{\text{base}\times \text{hauteur relative à cette base}}{2}}$.

• Formule 1 : ${\displaystyle \frac{AC\times BC}{2}}$ est correcte, car le triangle est rectangle en C : [BC] est la hauteur relative au côté [AC].
• Formule 2 : ${\displaystyle \frac{AB\times CH}{2}}$ est correcte, car [CH] est la hauteur relative au côté [AB].
• Formule 3 : ${\displaystyle \frac{AH\times CH}{2}}$ donne l'aire du triangle AHC seulement, pas celle de ABC.

Les deux formules correctes sont la formule 1 et la formule 2.

3. b) Avec la formule 1 : $𝒜={\displaystyle \frac{AC\times BC}{2}}={\displaystyle \frac{8\times 6}{2}}=24$. L'aire du triangle ABC est de 24 cm².

4. D'après la formule 2, ${\displaystyle \frac{AB\times CH}{2}}=24$, donc ${\displaystyle \frac{10\times CH}{2}}=24$, soit $5\times CH=24$ et $CH={\displaystyle \frac{24}{5}}=4,8$ cm sur la figure.

Vérification : ${\displaystyle \frac{10\times 4,8}{2}}=24$. Comme 1 cm représente 1 km, la distance réelle du village Coco à la rivière est CH = 4,8 km.

1. a) Le tube [UT] est placé à 2 m du sol, donc $BT=2$ m et $AT=AB-BT=6-2=4$ m.

Le tube est perpendiculaire au talus, donc $(UT)⟂(AB)$ ; le triangle ABC est rectangle en B, donc $(BC)⟂(AB)$. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : $(UT)\parallel (BC)$.

Les points A, U, C d'une part et A, T, B d'autre part sont alignés, et $(UT)\parallel (BC)$. D'après le théorème de Thalès :

$${\displaystyle \frac{AT}{AB}}={\displaystyle \frac{AU}{AC}}={\displaystyle \frac{UT}{BC}}$$

donc ${\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{UT}{2}}$, d'où $UT={\displaystyle \frac{4\times 2}{6}}={\displaystyle \frac{8}{6}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$. La longueur exacte est UT = ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ m.

1. b) ${\displaystyle \frac{4}{3}}=1,3333\dots$ On a $1,33<{\displaystyle \frac{4}{3}}<1,34$. La valeur approchée par excès au centimètre près est la valeur au centième immédiatement supérieure : UT ≈ 1,34 m.

2. La base du prisme est le triangle ABC rectangle en B : $ℬ={\displaystyle \frac{AB\times BC}{2}}={\displaystyle \frac{6\times 2}{2}}=6$ m². La hauteur du prisme est la longueur du mur, soit 20 m.

$V=ℬ\times h=6\times 20=120$. Le volume de béton nécessaire est bien de 120 m³.

3. Chaque mètre cube de béton pèse 2,5 tonnes : $120\times 2,5=300$. La masse totale du béton utilisé est de 300 tonnes.

1^re Partie

1. Avec le tarif A, le coût est $5000\times$ (nombre de jours) ; avec le tarif B, $6000+4000\times$ (nombre de jours) ; avec le tarif C, toujours 90 000 F. La colonne manquante correspond à 25 jours, puisque $5000\times 25=125000$.

Détail des calculs : $5000\times 10=50000$ ; $5000\times 30=150000$ ; $6000+4000\times 5=26000$ ; $6000+4000\times 25=106000$. Contrôle sur une valeur donnée : $6000+4000\times 30=126000$.

2. a) Pour 5 jours : 25 000 F (A), 26 000 F (B), 90 000 F (C). Le tarif A est le plus avantageux pour un séjour de 5 jours.

2. b) Pour 10 jours : 50 000 F (A), 46 000 F (B), 90 000 F (C). Le tarif B est le plus avantageux pour un séjour de 10 jours.

2^e Partie

1. $f(x)=5000x$ et $g(x)=4000x+6000$.

2. La fonction $f$ est une fonction linéaire : sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère. C'est le cas de la droite $d_2$ (la droite $d_1$ est horizontale : elle représente le tarif C, constant à 90 000 F). Vérification : $d_2$ passe par le point de coordonnées (18 ; 90 000), et $f(18)=5000\times 18=90000$. La droite $d_2$ représente la fonction $f$.

3. La fonction $g$ est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite. Il suffit de placer deux points, par exemple (0 ; 6 000) et (30 ; 126 000), et un troisième pour contrôler, (10 ; 46 000), puis de tracer la droite qui les relie. Elle coupe la droite $d_1$ au point (21 ; 90 000), car $g(21)=4000\times 21+6000=90000$.

4. a) On place 60 000 sur l'axe des ordonnées, on trace un trait horizontal jusqu'à la droite de $g$, puis on descend verticalement : on lit $x=13,5$. Par le calcul : $4000x+6000=60000$, soit $4000x=54000$ et $x=13,5$. Comme on compte des jours entiers, avec 60 000 F au tarif B, Teva pourra rester 13 jours (13 jours coûtent $4000\times 13+6000=58000$ F ; 14 jours coûteraient 62 000 F, ce qui dépasse le budget).

4. b) On part de 14 sur l'axe des abscisses, on monte verticalement jusqu'à la droite $d_2$, puis on lit l'ordonnée : 70 000. Vérification : $f(14)=5000\times 14=70000$. Un séjour de 14 jours au tarif A coûte 70 000 F.