Sujet du brevet 2011 de maths — Nouvelle-Calédonie (Série générale)

Exercice 1

1. La multiplication est prioritaire : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\times {\displaystyle \frac{27}{24}}={\displaystyle \frac{4\times 27}{3\times 24}}={\displaystyle \frac{108}{72}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$, puis ${\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{8}{6}}-{\displaystyle \frac{9}{6}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$. Réponse : $-{\displaystyle \frac{1}{6}}$.

2. Par distributivité : $3x(5-4x)=3x\times 5-3x\times 4x=15x-12x^2$. Réponse : $15x-12x^2$.

3. Les issues favorables sont 5 et 6, soit 2 issues sur 6 équiprobables : ${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Réponse : ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

4. Une réduction de 10 % revient à payer 90 % du prix : $70000\times 0,9=63000$. Réponse : 63 000 F.

5. ${\displaystyle \frac{6\times {10}^3\times 28\times {10}^{-2}}{14\times {10}^{-3}}}$$={\displaystyle \frac{6\times 28}{14}}\times {\displaystyle \frac{{10}^3\times {10}^{-2}}{{10}^{-3}}}$$=12\times {10}^{3-2-(-3)}$$=12\times {10}^4$. Réponse : $12\times {10}^4$.

Exercice 2

1. La cellule B16 contient la somme des médailles d'or de la colonne B, de la ligne 2 à la ligne 14. Formule : =SOMME(B2:B14).

2. La moyenne est le total divisé par le nombre d'années (13). Formule : =B16/13 (ou =MOYENNE(B2:B14)). Le tableur affiche 51 car $658÷13\approx 50,6$ a été arrondi à l'unité.

Exercice 3

1. Si Caramel pèse 500 kg et Icare 700 kg :
• Caramel et Icare réunis pèsent $500+700=1200$ kg, soit le poids de Bubulle : cette condition est respectée ;
• Caramel et Pâquerette réunis pèsent $500+600=1100$ kg, alors qu'Icare devrait peser autant, or il pèse 700 kg : cette condition n'est pas respectée.
Ce n'est donc pas possible.

2. Le poids total des quatre animaux est : Bubulle + (Caramel + Icare) + Pâquerette. Or Caramel et Icare réunis pèsent autant que Bubulle, soit 1 200 kg. Donc le total vaut $1200+1200+600=3000$ kg, soit 3 tonnes.
(On peut aussi trouver chaque poids : en notant $c$ le poids de Caramel, Icare pèse $c+600$ et $c+(c+600)=1200$, d'où $2c=600$, $c=300$ kg et Icare pèse 900 kg ; total $1200+600+300+900=3000$ kg.)
Comme 3 t < 3,2 t, l'éleveur pourra transporter tous les animaux ensemble.

Exercice 1

1. Le point C est sur le demi-cercle de diamètre [PR] et il est distinct de P et de R. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l'un de ses côtés, alors il est rectangle et ce côté est son hypoténuse. Le triangle PRC est donc rectangle en C.

2. Dans le triangle PRC rectangle en C, l'hypoténuse est [RP] = 3 000 brasses et, par rapport à l'angle $\widehat{CRP}=60°$, [RC] est le côté adjacent. Par le cosinus : $\cos 60°={\displaystyle \frac{RC}{RP}}$, d'où $RC=3000\times \cos 60°=3000\times 0,5=1500$. RC = 1 500 brasses.

Exercice 2

1. $V_{\text{cylindre}}=\pi \times r^2\times h=\pi \times {20}^2\times 40=16000\pi \approx 50265,48$. Le volume du cylindre est d'environ 50 265 cm³.

2. La demi-boule a le même rayon que le cylindre, 20 cm. $V_{\text{demi-boule}}$$={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times {20}^3$$={\displaystyle \frac{2}{3}}\times \pi \times 8000$$={\displaystyle \frac{16000\pi }{3}}$$\approx 16755,16$. Le volume de la demi-boule est d'environ 16 755 cm³.

3. Volume d'un plot : $50265+16755=67020$ cm³ environ. Pour 1 000 plots : $67020\times 1000=67020000$ cm³. Or 1 m³ = 1 000 000 cm³, donc $67020000{\text{cm}}^3=67,02$ m³. Il faut environ 67,02 m³ de béton. (Avec les valeurs exactes : $1000\times {\displaystyle \frac{64000\pi }{3}}\approx 67020643$ cm³, soit encore 67,02 m³.)

Exercice 3

1. Construction : les diagonales d'un carré ont la même longueur, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu O. On trace donc deux segments [AC] et [BD] de 6 cm ($2\times 3$), perpendiculaires et de même milieu O, puis on relie A, B, C, D.

2. Les diagonales du carré ABCD se coupent en leur milieu O et ont la même longueur, donc OB = OC (= 3 cm) : le triangle BCO est isocèle en O. De plus, les diagonales d'un carré sont perpendiculaires, donc $(OB)⟂(OC)$ : le triangle est rectangle en O. Le triangle BCO est rectangle et isocèle en O.

3. Le triangle BCO est rectangle en O, donc d'après le théorème de Pythagore : $B{C}^2=O{B}^2+O{C}^2=3^2+3^2=9+9=18$. Donc $BC=\sqrt{18}$ cm (soit $3\sqrt{2}\approx 4,24$ cm).

4. Construction : AO = 3 cm et AC = 6 cm, donc le point E tel que AE = 9 cm se trouve sur la demi-droite [AO) au-delà de C, avec CE = 3 cm. On trace la parallèle à (BC) passant par E ; elle coupe la droite (AB) en F, au-delà de B (AF = 9 cm).

5. Les points A, C, E sont alignés, les points A, B, F sont alignés et les droites (BC) et (EF) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès dans les triangles ABC et AFE : ${\displaystyle \frac{AC}{AE}}={\displaystyle \frac{AB}{AF}}={\displaystyle \frac{BC}{EF}}$.
Avec AC = 6 cm, AE = 9 cm et BC = $\sqrt{18}$ cm : ${\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{\sqrt{18}}{EF}}$, donc $EF={\displaystyle \frac{9\sqrt{18}}{6}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{18}}{2}}={\displaystyle \frac{3\times 3\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{2}}$.
EF = ${\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{2}}$ cm (soit ${\displaystyle \frac{3\sqrt{18}}{2}}$ cm, environ 6,36 cm).

Partie 1

1. Deux canettes contiennent $2\times 330=660$ mL de bière. Pour un homme de 60 kg :
$\text{Taux}={\displaystyle \frac{660\times 0,05\times 0,8}{60\times 0,7}}={\displaystyle \frac{26,4}{42}}\approx 0,6286$.
Le taux d'alcool est bien d'environ 0,63 g/L.

2. $0,63⩾0,5$ : le taux est supérieur à la limite légale. Cette personne n'a pas le droit de conduire.

3. $T(x)={\displaystyle \frac{4}{49}}x$. On calcule : $T(0)=0$ ; $T(1)={\displaystyle \frac{4}{49}}\approx 0,08$ ; $T(5)={\displaystyle \frac{20}{49}}\approx 0,41$ ; $T(7)={\displaystyle \frac{28}{49}}\approx 0,57$.

4. $T$ est une fonction linéaire ($T(x)=ax$ avec $a={\displaystyle \frac{4}{49}}$) : sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Sur le papier millimétré, avec 2 cm pour 1 dL en abscisse et 2 cm pour 0,1 g/L en ordonnée, on place les points (0 ; 0), (1 ; 0,08), (5 ; 0,41) et (7 ; 0,57), puis on trace la droite qui les relie. Par exemple, le point (7 ; 0,57) est à 14 cm de l'origine horizontalement et à 11,4 cm verticalement.

5. On part de 3 dL sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la droite, puis on lit l'ordonnée : pour 3 dL de bière, le taux est d'environ 0,24 g/L (contrôle par le calcul : $T(3)={\displaystyle \frac{12}{49}}\approx 0,245$).

6. On part de 0,5 g/L sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à la droite, puis on descend sur l'axe des abscisses : on lit environ 6,1 dL. À partir d'environ 6,1 dL de bière (soit à peu près deux canettes), cet homme n'est plus autorisé à conduire. (Contrôle : ${\displaystyle \frac{4}{49}}x=0,5$ donne $x={\displaystyle \frac{0,5\times 49}{4}}=6,125$ dL.)

Partie 2

1. De $v={\displaystyle \frac{d}{t}}$, on tire $t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{8}{40}}=0,2$ h. Or $0,2\times 60=12$. Lisa mettra 12 minutes.

2. $t={\displaystyle \frac{8}{48}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$ h, et ${\displaystyle \frac{1}{6}}\times 60=10$. Aymeric mettra 10 minutes.

3. $12-10=2$. Aymeric a gagné seulement 2 minutes sur Lisa, en roulant à 48 km/h, au-delà de la vitesse pour laquelle un cyclomoteur est conçu (45 km/h).