Sujet du brevet 2011 de maths — Métropole (Série générale)

Exercice 1

D'après le diagramme en bâtons, sur les 100 lancers on a obtenu : bleu 15 fois, rouge 16 fois, jaune 20 fois, vert 19 fois et noir 30 fois (total : $15+16+20+19+30=100$).

1. a) La fréquence est l'effectif divisé par l'effectif total : $f_{\text{jaune}}={\displaystyle \frac{20}{100}}$. La fréquence d'apparition du jaune est 0,2 (soit 20 %).

1. b) $f_{\text{noir}}={\displaystyle \frac{30}{100}}$. La fréquence d'apparition du noir est 0,3 (soit 30 %).

2. a) Le dé est équilibré : ses 6 faces ont la même probabilité d'apparaître. Une seule face est jaune. La probabilité d'obtenir le jaune est ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ (environ 0,17).

2. b) Deux faces sur six sont noires. La probabilité d'obtenir le noir est ${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (environ 0,33).

2. (seconde question numérotée 2 dans le sujet) Les fréquences de la question 1 (0,2 et 0,3) sont proches mais différentes des probabilités (environ 0,17 et 0,33). C'est normal : 100 lancers est un petit nombre d'expériences, et les fréquences observées varient d'une série de lancers à l'autre (fluctuation d'échantillonnage). Plus on effectue de lancers, plus les fréquences se rapprochent des probabilités.

Exercice 2

Chaque bijou est formé de 8 triangles. En comptant sur la figure :
• bijou n^o 1 : 4 triangles en métal (gris) et 4 en verre (blancs) ;
• bijou n^o 2 : 2 triangles en métal et 6 en verre ;
• bijou n^o 3 : 3 triangles en métal et 5 en verre.

Notons $m$ le prix d'un triangle en métal et $v$ le prix d'un triangle en verre (en euros).
Bijou n^o 1 : $4m+4v=11$, donc, en divisant par 4 : $m+v=2,75$.
Bijou n^o 2 : $2m+6v=9,10$, donc, en divisant par 2 : $m+3v=4,55$.
En soustrayant la première égalité à la seconde : $(m+3v)-(m+v)=4,55-2,75$, soit $2v=1,80$, donc $v=0,90$. Puis $m=2,75-0,90=1,85$.
Un triangle en verre coûte 0,90 € et un triangle en métal coûte 1,85 € (vérification : $4\times 1,85+4\times 0,90=7,40+3,60=11$ et $2\times 1,85+6\times 0,90=3,70+5,40=9,10$).

Bijou n^o 3 : $3\times 1,85+5\times 0,90=5,55+4,50=10,05$. Le bijou n^o 3 revient à 10,05 €.

Exercice 3

1. Affirmation 1 : fausse. D'après l'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ : $(2a+3{)}^2=4a^2+12a+9$, qui n'est pas égal à $4a^2+9$ dès que $a\ne 0$. Contre-exemple : pour $a=1$, $(2\times 1+3{)}^2=5^2=25$ alors que $4\times 1^2+9=13$.

Affirmation 2 : fausse. Augmenter de 20 % revient à multiplier par 1,2 ; baisser de 20 % revient à multiplier par 0,8. Au total, le prix est multiplié par $1,2\times 0,8=0,96$ et non par 1. Exemple : un article à 100 € passe à 120 €, puis à $120-0,2\times 120=120-24=96$ €, et non 100 €. (La remise de 20 % porte sur le nouveau prix, plus élevé.)

2. Égalité 1 : vraie. ${\displaystyle \frac{\sqrt{32}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{16\times 2}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{16}\times \sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}$.

Égalité 2 : fausse. ${10}^5+{10}^{-5}=100000+0,00001=100000,00001$, alors que ${10}^0=1$. La règle ${10}^n\times {10}^p={10}^{n+p}$ concerne le produit et non la somme. Égalité corrigée : ${10}^5\times {10}^{-5}={10}^0$ (car $5+(-5)=0$). On peut aussi écrire ${10}^5+{10}^{-5}=100000,00001$.

Exercice 1

1. Construction en vraie grandeur : on trace le segment [DB] de 8 cm et on place C sur [DB] avec DC = 6 cm (donc CB = 2 cm). En B, on trace la perpendiculaire à (DB) et on place A, du côté opposé à E, avec BA = 2 cm. On trace la demi-droite [AC) au-delà de C. Le point E est sur cette demi-droite et vérifie $\widehat{CED}=90°$ : c'est le pied de la perpendiculaire à (AC) passant par D (on peut aussi le placer à l'intersection de (AC) et du cercle de diamètre [DC]). On obtient CE = DE ≈ 4,2 cm.

2. a) Le triangle ABC est rectangle en B et AB = CB : il est rectangle isocèle en B. Ses deux angles aigus sont égaux et leur somme vaut $180°-90°=90°$, donc chacun mesure 45°. $\widehat{ACB}=45°$.

2. b) Les points A, C, E sont alignés et les points D, C, B sont alignés, donc les angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{DCE}$ sont opposés par le sommet C ; ils ont donc la même mesure. $\widehat{DCE}=45°$.

3. Le triangle CED est rectangle en E, d'hypoténuse [CD]. Par rapport à l'angle $\widehat{DCE}$, le côté [DE] est le côté opposé, donc par le sinus : $\sin \widehat{DCE}={\displaystyle \frac{DE}{CD}}$, d'où $DE=6\times \sin 45°\approx 4,243$ cm. DE ≈ 4,2 cm à 0,1 cm près. (La valeur exacte est $3\sqrt{2}$ cm.)

4. Le triangle DCE est rectangle en E ; or le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Le centre du cercle $\mathcal{C}$ est le milieu du segment [DC] ; son rayon est $6÷2=3$ cm.
De même, ABC est rectangle en B, donc le cercle ${\mathcal{C}}^{\prime }$ a pour centre le milieu de l'hypoténuse [AC] et pour rayon ${\displaystyle \frac{AC}{2}}$ (avec $AC=2\sqrt{2}\approx 2,83$ cm d'après le théorème de Pythagore, le rayon vaut environ 1,4 cm). Sur la copie, on trace ces deux cercles.

5. Le point M est sur le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [DC] et distinct de D et de C : d'après la propriété « si un point d'un cercle est distinct des extrémités d'un diamètre, alors il forme avec elles un triangle rectangle en ce point », le triangle DMC est rectangle en M, donc $(MD)⟂(MC)$.
De même, M est sur le cercle ${\mathcal{C}}^{\prime }$ de diamètre [AC], donc le triangle AMC est rectangle en M et $(MA)⟂(MC)$.
Les droites (MD) et (MA) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (MC) et passent toutes deux par M : elles sont donc confondues. Les points D, A et M sont alignés. (M est le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ACD.)

Exercice 2

1. Pour dessiner un pavé droit en perspective cavalière : on trace la face avant en vraie grandeur (un rectangle) ; les arêtes « fuyantes » (en profondeur) sont tracées parallèles entre elles, inclinées (par exemple à 45°) et réduites (par exemple de moitié) ; on trace ensuite la face arrière, rectangle superposable à la face avant ; les arêtes cachées sont dessinées en pointillés. Un pavé droit a 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces, dont 3 arêtes cachées sur le dessin.

2. a) Volume d'un pavé droit : longueur × largeur × hauteur. $V=40\times 20\times 30=24000$. Le volume est 24 000 cm³.

2. b) $24000÷1000=24$. L'aquarium peut contenir 24 litres d'eau.

3. Une boule de diamètre 30 cm a pour rayon 15 cm, et le volume d'une boule de rayon $R$ est ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$. La bonne formule est ${\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times {15}^3$. (La première utilise le diamètre au lieu du rayon ; $4\pi \times {15}^2$ est l'aire de la sphère.)

4. Volume d'eau du second aquarium : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times {15}^3=\pi \times {15}^3=3375\pi \approx 10602,9$ cm³.
Dans le premier aquarium, la base mesure $40\times 20=800$ cm². Le volume d'eau vaut aire de la base × hauteur d'eau, donc $h={\displaystyle \frac{3375\pi }{800}}\approx 13,25$ cm. Comme $13,25<30$, l'eau ne déborde pas. L'eau monte à environ 13,3 cm (133 mm).

Partie 1 - La capacité à recueillir de l'eau de pluie

1. a) C'est en 1999 qu'il y a eu le plus de précipitations (1 087 ℓ/m²).

1. b) En 2009, il est tombé 867 litres par mètre carré : $867\times 5=4335$. Il est tombé 4 335 litres d'eau sur 5 m².

2. Somme des précipitations : $1087+990+868+850+690+616+512+873+810+841+867=9004$ ℓ/m².
Moyenne : ${\displaystyle \frac{9004}{11}}\approx 818,5$. En moyenne, il est tombé environ 818,5 litres d'eau par mètre carré et par an.

3. La surface au sol est un rectangle de 13,9 m sur 10 m : $13,9\times 10=139$. La surface au sol est 139 m². (La hauteur de 6 m n'intervient pas.)

4. $V$$=P\times S\times 0,9$$=867\times 139\times 0,9$$=120513\times 0,9$$=108461,7$. En 2009, la famille aurait pu récupérer 108 461,7 litres.
Or 1 m³ = 1 000 L, donc $V=108,4617$ m³, et $108⩽108,4617<108,5$ : 108 m³ en est bien une valeur approchée à 1 m³ près.

Partie II - Les besoins en eau

1. ${\displaystyle \frac{41}{115}}\times 100\approx 35,7$. L'eau des WC représente environ 35,7 % de la consommation journalière d'une personne.

2. Consommation de la famille en un an : $4\times 115\times 365=167900$ litres. La part remplaçable par l'eau de pluie est de 60 % : $0,6\times 167900=100740$ litres, soit 100,74 m³. Les besoins en eau de pluie de la famille sont bien d'environ 100 m³ par an.

3. En 2009, la famille aurait récupéré environ 108 m³, et ses besoins sont d'environ 100,74 m³. Comme $108>100,74$, l'eau de pluie récupérée en 2009 aurait suffi (sur l'ensemble de l'année, à condition que la citerne soit assez grande pour stocker l'eau entre deux pluies).

Partie III - Le coût de l'eau

1. a) On part de 100 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la droite puis on lit l'ordonnée. 100 m³ d'eau coûtent environ 250 €.

1. b) La représentation graphique est une droite qui passe par l'origine : le prix est proportionnel à la quantité d'eau, donc $p$ est une fonction linéaire, de la forme $p(x)=ax$. Le point de coordonnées (100 ; 250) est sur la droite, donc $a={\displaystyle \frac{250}{100}}=2,5$ (vérification avec un autre point lu : (40 ; 100), et ${\displaystyle \frac{100}{40}}=2,5$). $p(x)=2,5x$ : le mètre cube d'eau coûte 2,50 €.

1. c) Abonnement inclus, le prix est $p(x)+50=2,5x+50$ : c'est une fonction affine. On trace sur l'annexe la droite parallèle à la première, décalée de 50 € vers le haut, qui passe par exemple par les points (0 ; 50), (100 ; 300) et (140 ; 400).

2. On cherche le plus petit nombre entier d'années $n$ tel que $250n⩾910$. Or ${\displaystyle \frac{910}{250}}=3,64$ : au bout de 3 ans, l'économie n'est que de $3\times 250=750$ € (moins que 910 €), et au bout de 4 ans elle atteint $4\times 250=1000$ €. Les économies compenseront l'achat de la citerne au bout de 4 ans.