Sujet du brevet 2011 de maths — Centres étrangers (Série générale)

Exercice 1

1. On développe chaque terme, avec l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ puis la double distributivité :
$(x-3{)}^2=x^2-6x+9$ ;
$(x-3)(1-2x)$$=x-2x^2-3+6x$$=-2x^2+7x-3$.
Donc $A=x^2-6x+9-2x^2+7x-3$. $A=-x^2+x+6$.

2. Le facteur $(x-3)$ est commun aux deux termes :
$A$$=(x-3)(x-3)+(x-3)(1-2x)$$=(x-3)[(x-3)+(1-2x)]$$=(x-3)(x-3+1-2x)$.
$A=(x-3)(-x-2)$, ce qu'il fallait prouver. (Contrôle : $(x-3)(-x-2)$$=-x^2-2x+3x+6$$=-x^2+x+6$, on retrouve le développement de la question 1.)

3. $A=0$ équivaut à $(x-3)(-x-2)=0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
$x-3=0$, soit $x=3$ ; ou $-x-2=0$, soit $x=-2$.
L'équation a deux solutions : 3 et $-2$.

Exercice 2

1. a) On décompose chaque radicande pour faire apparaître un carré parfait :
$\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3}$ ;
$5\sqrt{12}=5\sqrt{4\times 3}=5\times 2\sqrt{3}=10\sqrt{3}$ ;
$\sqrt{300}=\sqrt{100\times 3}=10\sqrt{3}$.
Donc $B=3\sqrt{3}+10\sqrt{3}-10\sqrt{3}$. $B=3\sqrt{3}$ : Sophie a raison.

1. b) La calculatrice ne donne que des valeurs approchées (ici 10 chiffres). Obtenir deux fois le même affichage montre que les deux nombres sont très proches, mais ne prouve pas qu'ils sont égaux : deux nombres différents peuvent avoir le même affichage. Le raisonnement d'Éric n'est pas une preuve ; seule la démonstration de la question 1. a) permet d'affirmer l'égalité.

2. Le trait de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule d'abord tout le numérateur, en effectuant la multiplication avant la soustraction.
$C={\displaystyle \frac{10-9\times 2}{2}}={\displaystyle \frac{10-18}{2}}={\displaystyle \frac{-8}{2}}=-4$.
C'est Éric qui a raison : $C=-4$. Sophie a sans doute divisé seulement $9\times 2$ par 2, en calculant $10-{\displaystyle \frac{9\times 2}{2}}=10-9=1$.

Exercice 3

1. 70 km = 70 000 m. La vitesse moyenne est $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{70000}{132}}\approx 530,3$ m/s.
Pour convertir en km/h, on multiplie par 3 600 (secondes dans une heure) puis on divise par 1 000 (mètres dans un kilomètre), c'est-à-dire qu'on multiplie par 3,6 : ${\displaystyle \frac{70000}{132}}\times 3,6\approx 1909,1$ km/h.
La vitesse moyenne est d'environ 530 m/s, soit environ 1 909 km/h.

2. a) $r+h$$=6,4\times {10}^6+1,9\times {10}^6$$=(6,4+1,9)\times {10}^6$. $r+h=8,3\times {10}^6$ m.

2. b) $v$$=\sqrt{{\displaystyle \frac{13,4\times {10}^{-11}\times 6\times {10}^{24}}{8,3\times {10}^6}}}$$=\sqrt{{\displaystyle \frac{80,4\times {10}^{13}}{8,3\times {10}^6}}}$$\approx \sqrt{96867470}$$\approx 9842,13$ m/s.
La vitesse doit être d'environ 9 842 m/s, soit $9,842\times {10}^3$ m/s en notation scientifique.

Exercice 1

On travaille en centimètres : OA = 60 cm, OB = 80 cm et AB = 1 m = 100 cm.
D'une part, $A{B}^2={100}^2=10000$. D'autre part, $O{A}^2+O{B}^2={60}^2+{80}^2=3600+6400=10000$.
On constate que $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2$ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en O. Les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires : les deux murs sont bien perpendiculaires.

Exercice 2

1. D'après la figure, la boule a un diamètre de 6 cm, donc un rayon $R=3$ cm.
$V_{\text{boule}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \times 3^3={\displaystyle \frac{4\times 27}{3}}\pi =36\pi$. Le volume de la boule est $36\pi$ cm³ (environ 113,1 cm³).

2. Le cône a une hauteur $h=12$ cm et sa base a un diamètre de 5,4 cm, donc un rayon $R=2,7$ cm.
$V_{\text{cône}}$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi R^{2}h$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi \times 2,7^2\times 12$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi \times 7,29\times 12$$=29,16\pi$. Le volume du cône est $29,16\pi$ cm³ (environ 91,6 cm³).

3. $36\pi >29,16\pi$ : la boule contient plus de glace que le cône rempli à ras bord. Michel a donc intérêt à garder la boule posée sur le cône : remplir le cône lui donnerait moins de glace (environ 21,5 cm³ de moins).

Exercice 3

1. a) D'après la figure : PM = 4,20 m, PC = 3,78 m et MW = 3,40 m ; C est sur [PM] et T sur [PW].
Les points P, C, M sont alignés, les points P, T, W sont alignés et les droites (CT) et (MW) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{PC}{PM}}={\displaystyle \frac{PT}{PW}}={\displaystyle \frac{CT}{MW}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{3,78}{4,20}}={\displaystyle \frac{CT}{3,40}}$, d'où $CT={\displaystyle \frac{3,78\times 3,40}{4,20}}=0,9\times 3,40=3,06$. La couture mesurera 3,06 m.

1. b) Il faut $2\times 3,06=6,12$ m de fil. Comme $6,12<7$, 7 mètres de fil suffiront.

2. On compare les quotients : ${\displaystyle \frac{PC}{PM}}={\displaystyle \frac{3,78}{4,20}}=0,9$ et ${\displaystyle \frac{PT}{PW}}={\displaystyle \frac{1,88}{2,30}}\approx 0,817$.
Ces quotients ne sont pas égaux. Or, si (CT) était parallèle à (MW), le théorème de Thalès imposerait ${\displaystyle \frac{PC}{PM}}={\displaystyle \frac{PT}{PW}}$. La couture n'est donc pas parallèle à (MW).

Partie 1 : Installation d'un ordinateur dans une bibliothèque d'école

1. Si on déplace les étagères de 1 m, alors CF = CG = 1 m. Le triangle GCF est rectangle en C, donc d'après le théorème de Pythagore : $G{F}^2=C{G}^2+C{F}^2=1^2+1^2=2$, d'où $GF=\sqrt{2}$. GF = $\sqrt{2}$ m, soit environ 1,41 m.

2. Notons $d$ la distance du déplacement (en m) : $CF=CG=d$. Toujours d'après le théorème de Pythagore dans le triangle GCF rectangle en C : $G{F}^2=d^2+d^2=2d^2$.
On veut $GF=1$, donc $2d^2=1$, soit $d^2={\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$ et, comme $d$ est positif, $d=\sqrt{0,5}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx 0,707$.
Il faut déplacer chaque étagère d'environ 0,71 m (71 cm). (Vérification : $0,{707}^2+0,{707}^2\approx 1$.)

Partie 2 : Achat d'un logiciel de gestion de bibliothèque

1. Le débit est la quantité de données transférée par seconde : ${\displaystyle \frac{3,5}{7}}=0,5$. Le débit est de 0,5 Mo/s.

2. Tarif B : $0,10\times$ nombre d'élèves ; tarif C : $8+0,05\times$ nombre d'élèves.

3. a) 5 centimes = 0,05 €, donc le tarif C pour $x$ élèves vaut $8+0,05x$ euros. C'est la fonction $x⟼8+0,05x$.

3. b) Elle est de la forme $x⟼ax+b$ avec $a=0,05$ et $b=8$ : c'est une fonction affine.

4. Tarif A : il ne dépend pas du nombre d'élèves, sa représentation est la droite horizontale d'équation $y=19$ (parallèle à l'axe des abscisses, passant par le point de coordonnées (0 ; 19)).
Tarif C : fonction affine, sa représentation est une droite ; on place deux points du tableau, par exemple (100 ; 13) et (300 ; 23), qu'on relie (elle passe aussi par (0 ; 8) et (200 ; 18)).

5. Le tarif A est plus intéressant que le tarif C lorsque la droite du tarif A est en dessous de celle du tarif C. Les deux droites se coupent au point d'abscisse 220 (ordonnée 19) : on trace les pointillés de ce point vers l'axe des abscisses. Le tarif A est plus intéressant que le tarif C à partir de 220 élèves (strictement au-delà de 220 ; pour 220 élèves, les deux tarifs coûtent 19 €). Contrôle : $8+0,05x=19$ donne $0,05x=11$, soit $x=220$.

6. Pour 209 élèves : tarif A : 19 € ; tarif B : $0,10\times 209=20,90$ € ; tarif C : $8+0,05\times 209=8+10,45=18,45$ €. Le tarif C est le plus intéressant pour l'école (18,45 €).

Partie 3 : Fonctionnement de la bibliothèque

1. L'effectif total est $39+30+36+23+20+22+18+10+11=209$ élèves. Le nombre total d'emprunts est :
$0\times 39+1\times 30+2\times 36+3\times 23+4\times 20+5\times 22+6\times 18+7\times 10+8\times 11$
$=0+30+72+69+80+110+108+70+88=627$.
Moyenne : ${\displaystyle \frac{627}{209}}=3$. Le nombre moyen d'emprunts est de 3 par élève.

2. L'effectif total 209 est impair et $209=2\times 104+1$ : la médiane est la 105^e valeur de la série rangée dans l'ordre croissant. Effectifs cumulés croissants : 39 élèves ont emprunté 0 livre, $39+30=69$ au plus 1 livre, $69+36=105$ au plus 2 livres. La 105^e valeur est donc 2. La médiane de la série est 2 emprunts.

Partie 4 : Fête de fin d'année

1. Le colis contient 5 livres, tous ayant la même chance d'être tirés, dont 3 bandes dessinées. La probabilité de tirer une bande dessinée est ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ (soit 0,6).

2. Après le premier tirage d'un album, il reste 4 livres : 3 bandes dessinées et 1 album. La probabilité de tirer une bande dessinée est alors ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ (soit 0,75).