Annales du brevet · 2011 · Mathématiques

Sujet du brevet 2011 de maths — Brevet Ame du Sud nov- 2011-2 (session de remplacement) (Série générale)

Mathématiques · Série générale · Brevet Ame du Sud nov- 2011-2 · session 2011 de remplacement · 5 pages · sujet officiel retranscrit par l'APMEP

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Structure du sujet

Exercice 1 — Cet exercice est un exercice à choix multiples (QCM). Pour ch aque question, une
Exercice 2 — On propose deux programmes de calcul :
Exercice 3 — Un sac contient 6 jetons rouges et 2 jetons jaunes. On tire au h asard, chacun d

Corrigé

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Corrigé détaillé rédigé par Ben, professeur particulier de mathématiques. Chaque question est justifiée comme on l'attend le jour de l'épreuve.

Le corrigé rédigé, question par question

Activités numériques – Exercice 1 — QCM : racines carrées, factorisation, inéquation

1. Réponse A : $- 3 \sqrt{2}$ . $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2 \sqrt{2}$ , donc $- 5 \sqrt{2} + \sqrt{8} = - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = - 3 \sqrt{2}$ . (−4,243 n'en est qu'une valeur approchée, pas l'égalité exacte.)

2. Réponse C : 18. $(3 \sqrt{2})^{2} = 3^{2} \times (\sqrt{2})^{2} = 9 \times 2 = 18$ .

3. Réponse B : $(x - 4) (x + 4)$ . $x^{2} - 16 = x^{2} - 4^{2}$ est une différence de deux carrés : $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

4. Réponse B : $x > - 2$ . $- 2 x - 1 < 3$ donne $- 2 x < 4$ ; on divise par −2, qui est négatif, donc on change le sens de l'inégalité : $x > - 2$ .

⚠ Piège. Quand tu divises (ou multiplies) les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse : c'est ce qui sépare la réponse A (fausse) de la réponse B.

Activités numériques – Exercice 2 — Deux programmes de calcul

1. a. Programme A : $1 + 3 = 4$ puis $4^{2} = 16$ . On obtient 16.

1. b. Programme B : $1 - 5 = - 4$ puis $(- 4)^{2} = 16$ . On obtient 16.

1. c. Non. Un seul exemple ne suffit pas à conclure, et il existe un contre-exemple : avec 0 comme nombre de départ, le programme A donne $(0 + 3)^{2} = 9$ et le programme B donne $(0 - 5)^{2} = 25$ . Les deux programmes ne donnent donc pas toujours le même résultat.

2. Le programme A donne $(x + 3)^{2}$ . On veut $(x + 3)^{2} = 0$ , c'est-à-dire $x + 3 = 0$ , soit $x = - 3$ . Il faut choisir −3 (vérification : $(- 3 + 3)^{2} = 0^{2} = 0$ ).

3. Le programme B donne $(x - 5)^{2}$ . On veut $(x - 5)^{2} = 9$ . Deux nombres ont pour carré 9 : 3 et −3. Donc $x - 5 = 3$ ou $x - 5 = - 3$ , soit $x = 8$ ou $x = 2$ .
Vérification : $(8 - 5)^{2} = 3^{2} = 9$ et $(2 - 5)^{2} = (- 3)^{2} = 9$ . Il faut choisir 2 ou 8.

Astuce. On peut aussi écrire

(x - 5)^{2} - 9 = 0

, factoriser en

(x - 5 - 3) (x - 5 + 3) = (x - 8) (x - 2) = 0

, puis appliquer la règle du produit nul. N'oublie pas la solution négative de « carré = 9 ».

Activités numériques – Exercice 3 — Probabilités avec des jetons

Le sac contient $6 + 2 = 8$ jetons, tous équiprobables.

1. $p (rouge) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ . La probabilité de tirer un jeton rouge est $\frac{3}{4}$ .

2. $p (jaune) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ . La probabilité de tirer un jeton jaune est $\frac{1}{4}$ .

3. Notons $v$ le nombre de jetons verts. Le sac contient alors $8 + v$ jetons et $p (vert) = \frac{v}{8 + v}$ . On veut $\frac{v}{8 + v} = \frac{1}{2}$ , donc $2 v = 8 + v$ , soit $v = 8$ . Il y a 8 jetons verts (vérification : 8 verts sur 16 jetons, soit une chance sur deux).

Activités géométriques – Exercice 1 — QCM : sphère, boule et section par un plan

1. Réponse : « à la boule de centre O et de rayon OM ». R est le milieu de [OH], donc $O R = \frac{O H}{2} < O M$ : R est à l'intérieur de la sphère. Il appartient à la boule (la sphère et tout son intérieur), mais pas à la sphère elle-même, ni au plan $P$ (seul H, sur le segment [OH], est dans ce plan).

2. Réponse : OH. La droite (OH) est perpendiculaire au plan $P$ en H (le centre du cercle de section est le pied de la perpendiculaire issue de O), donc la distance de O au plan est OH.

3. Réponse : 4,5 cm. Le triangle OHM est rectangle en H ; d'après le théorème de Pythagore : $O H^{2}$ $= O M^{2} - H M^{2}$ $= 11, 7^{2} - 10, 8^{2}$ $= 136, 89 - 116, 64$ $= 20, 25$ , donc $O H = \sqrt{20, 25} = 4, 5$ cm.

⚠ Piège. 20,25 est la valeur de

O H^{2}

, pas de OH : n'oublie pas la racine carrée à la fin du calcul de Pythagore.

Activités géométriques – Exercice 2 — Triangle rectangle, trigonométrie et cercle circonscrit

1. Construction : on trace [AB] de 3 cm, puis la perpendiculaire à (AB) en A. On trace l'arc de cercle de centre B et de rayon 7 cm : il coupe la perpendiculaire en C. On place I au milieu de [CB] (3,5 cm de B).

2. Le triangle ABC est rectangle en A ; d'après le théorème de Pythagore :
$C B^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , donc $A C^{2} = 7^{2} - 3^{2} = 49 - 9 = 40$ .
$A C = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$ . AC = $\sqrt{40}$ cm ≈ 6,3 cm (arrondi au millimètre ; $\sqrt{40} \approx 6, 32$ ).

3. Dans le triangle ABC rectangle en A, pour l'angle $\hat{A C B}$ , [AB] est le côté opposé et [CB] l'hypoténuse :
$\sin \hat{A C B} = \frac{A B}{C B} = \frac{3}{7}$ , donc $\hat{A C B} \approx 25, 4 °$ (la calculatrice donne 25,38…). $\hat{A C B} \approx 25, 4 °$ au dixième de degré près.

4. Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle qui a pour diamètre son hypoténuse. Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour centre I, milieu de [CB], et pour rayon $\frac{C B}{2} = 3, 5$ cm. On le trace au compas, centré en I, passant par A, B et C.

5. I est le centre du cercle circonscrit, donc $I A = I B = 3, 5$ cm : le triangle AIB est isocèle en I et ses angles à la base sont égaux, $\hat{I A B} = \hat{I B A} = \hat{A B C}$ .
Dans le triangle ABC : $\hat{A B C} = 180 ° - 90 ° - \hat{A C B}$ . Avec $\cos \hat{A B C} = \frac{A B}{C B} = \frac{3}{7}$ , on obtient $\hat{A B C} \approx 64, 62 °$ .
Donc $\hat{A I B} = 180 ° - 2 \times \hat{A B C} \approx 180 ° - 129, 24 ° = 50, 76 °$ . $\hat{A I B} \approx 51 °$ au degré près.
(Contrôle : l'angle au centre $\hat{A I B}$ est le double de l'angle inscrit $\hat{A C B}$ : $2 \times 25, 38 ° \approx 50, 8 °$ .)

Activités géométriques – Exercice 3 — Réciproque de Thalès

1. Les points A, B, D sont alignés ainsi que les points C, B, E, dans le même ordre (B est entre A et D, et entre C et E).
$\frac{B D}{B A} = \frac{8, 4}{12} = 0, 7$ et $\frac{B E}{B C} = \frac{10, 5}{15} = 0, 7$ .
On a $\frac{B D}{B A} = \frac{B E}{B C}$ , donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (ED) sont parallèles.

2. Les droites (AC) et (ED) étant parallèles, d'après le théorème de Thalès :
$\frac{B D}{B A} = \frac{B E}{B C} = \frac{E D}{A C}$ , donc $\frac{E D}{9} = 0, 7$ et $E D = 0, 7 \times 9 = 6, 3$ .
ED = 6,3 cm.

Problème — Deux réservoirs : volumes, fonctions et lecture graphique (12 pts)

1. Volume d'un pavé droit : longueur × largeur × hauteur ; volume d'un cylindre : $π \times {rayon}^{2} \times hauteur$ .

Pour $x = 0, 5$ : $V_{1} = 3 \times 0, 5 \times 2, 5 = 3, 75$ m³ ; $V_{2} = π \times 0, 5^{2} \times 2, 5 = 0, 625 π \approx 1, 963$ m³.
Pour $x = 1, 2$ : $V_{1} = 3 \times 1, 2 \times 2, 5 = 9$ m³ ; $V_{2}$ $= π \times 1, 2^{2} \times 2, 5$ $= π \times 1, 44 \times 2, 5$ $= 3, 6 π$ $\approx 11, 310$ m³.

Longueur $x$ (en m)	0,5	1,2
Volume du réservoir $R_{1}$ (en m³)	3,75	9
Volume du réservoir $R_{2}$ (en m³) : valeur exacte	$0, 625 π$	$3, 6 π$
Volume du réservoir $R_{2}$ (en m³) : valeur arrondie à 0,1 m³	2,0	11,3

2. a. Le réservoir $R_{1}$ est un pavé droit de dimensions 3 m, $x$ m et 2,5 m : $V_{1} = 3 \times x \times 2, 5 = 7, 5 x$ . Le volume de $R_{1}$ est bien $7, 5 x$ (en m³).

2. b. Le réservoir $R_{2}$ est un cylindre de rayon $x$ et de hauteur 2,5 m : $V_{2} = π \times x^{2} \times 2, 5 = 2, 5 π x^{2}$ . Le volume de $R_{2}$ est bien $2, 5 π x^{2}$ (en m³).

3. $f_{1} (x) = 7, 5 x$ est de la forme $a x$ avec $a = 7, 5$ : $f_{1}$ est une fonction linéaire (le volume de $R_{1}$ est proportionnel à $x$ ).

4. La représentation de $f_{1}$ est une portion de droite passant par l'origine. Pour $x$ entre 0,5 et 1,5, on trace le segment qui joint les points (0,5 ; 3,75) et (1,5 ; 11,25) ; le point (1,2 ; 9) du tableau permet de vérifier le tracé.

5. a. On part de 0,8 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe de $f_{2}$ puis on rejoint l'axe des ordonnées : le volume de $R_{2}$ pour $x = 0, 8$ m est d'environ 5 m³ (le calcul donne $2, 5 π \times 0, 64 = 1, 6 π \approx 5, 03$ m³).

5. b. On part de 10 sur l'axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la courbe de $f_{2}$ , puis on descend sur l'axe des abscisses : il faut un rayon d'environ 1,1 m (le calcul donne $x^{2} = \frac{10}{2, 5 π} = \frac{4}{π}$ , soit $x \approx 1, 13$ m).

5. c. On part de 9 sur l'axe des ordonnées, on rejoint la droite de $f_{1}$ , puis on descend : l'antécédent de 9 par $f_{1}$ est 1,2 (en effet $7, 5 \times 1, 2 = 9$ ). Concrètement : pour que le réservoir $R_{1}$ ait une contenance de 9 m³, sa largeur $x$ doit mesurer 1,2 m.

5. d. Les volumes sont égaux à l'abscisse du point d'intersection de la droite et de la courbe : $x \approx 0, 95$ m (volume commun d'environ 7,2 m³). Par le calcul : $7, 5 x = 2, 5 π x^{2}$ avec $x \neq 0$ donne $x = \frac{7, 5}{2, 5 π} = \frac{3}{π} \approx 0, 955$ .

5. e. Le volume de $R_{1}$ est supérieur à celui de $R_{2}$ quand la droite de $f_{1}$ est au-dessus de la courbe de $f_{2}$ , c'est-à-dire pour $x$ compris entre 0,5 m et environ 0,95 m (pour $0, 5 ⩽ x < \frac{3}{π}$ ).

Astuce. Pour les lectures graphiques, repère d'abord l'échelle : sur l'axe horizontal, un carreau vaut 0,1 m ; sur l'axe vertical, un carreau vaut 1 m³. Trace les pointillés à la règle, ils font partie de la réponse.

Conseils pour le jour J

Les deux QCM (8 points au total) se traitent vite si tu maîtrises les bases : $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ , le carré d'un produit, l'identité $a^{2} - b^{2}$ , le changement de sens d'une inéquation, la différence entre sphère et boule. Fais quand même chaque calcul au brouillon avant de choisir.

Dans l'exercice 2, pense aux deux solutions de $(x - 5)^{2} = 9$ : oublier $x = 2$ fait perdre la moitié des points de la question. En géométrie, le cercle circonscrit d'un triangle rectangle a toujours pour centre le milieu de l'hypoténuse : c'est la clé des questions 4 et 5.

Le problème vaut 12 points : complète d'abord le tableau de l'annexe en écrivant les calculs sur ta copie, puis trace soigneusement la droite de $f_{1}$ . Toutes les lectures graphiques de la question 5 dépendent de ce tracé, et l'annexe est à rendre avec ta copie.

Extrait du sujet (début du texte)

Durée : 2 heures /decofourBrevet des collèges Amérique du Sud /decofive 24 novembre 2012 L ’utilisation d’une calculatrice est autorisée. ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points Exercice 1 Cet exercice est un exercice à choix multiples (QCM). Pour ch aque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 1 point. L ’absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point. Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse . Aucune justiﬁcation n’est demandée Questions Réponse A Réponse B Réponse C 1 −5 /radicallow 2 + /radicallow 8 = · · · −3 /radicallow 2 −4, 243 −5 /radicallow 10 2 Un carré de côté 3 /radicallow 2 a pour aire : 6 12 /radicallow 2 18 3 L ’expression factorisée de x2 − 16 n’existe pas est (x − 4)(x + 4) est (x − 4)2 4 Les solutions de l’inéqua- tion −2x − 1 < 3 sont les nombres x tels que : x < −2 x > −2 x > −1 Exercice 2 On propose deux programmes de calcul : Programme A Programme B — Choisir un nombre. — Ajouter 3. — Calculer le carré du résultat ob- tenu. — Choisir un nombre. — Soustraire 5. — Calculer le carré du résultat ob- tenu. 1. On choisit 1 comme nombre de départ. a. Quel résultat obtient-on avec le programme A ? b. Quel résultat obtient-on avec le programme B ? c. Peut-on en déduire que ces deux programmes de calcul conduis ent tou- jours aux mêmes résultats pour un même nombre de départ ? Just iﬁer. 2. Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit 0 ? 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incompl ète, ou d’initia- tive, même non fructueuse sera prise en compte dans l’évalua tion. Quel(s) nombre(s) de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 9 …

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