Sujet du brevet 2011 de maths — Asie (Série générale)

1. Réponse C : 34. Algorithme d'Euclide : $238=170\times 1+68$ ; $170=68\times 2+34$ ; $68=34\times 2+0$. Le dernier reste non nul est 34 (vérification : $170=34\times 5$ et $238=34\times 7$, avec 5 et 7 premiers entre eux).

2. Réponse A : 0,95. Diminuer une quantité de 5 %, c'est la multiplier par $1-{\displaystyle \frac{5}{100}}=0,95$.

3. Réponse A : 0. $3^{-2}\times 3^3-3=3^{-2+3}-3=3^1-3=3-3=0$.

4. Réponse C : −2 et 2. $x^2-4=0$ s'écrit $(x-2)(x+2)=0$ ; un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : $x=2$ ou $x=-2$.

Dans chaque jeu, les cartes sont tirées au hasard : on est dans une situation d'équiprobabilité.

1. Le jeu de 32 cartes ne contient pas de 5 (il commence au 7) : pour le joueur A, l'événement est impossible, $p_A=0$. Le jeu de 52 cartes contient un seul 5 de Carreau : $p_B={\displaystyle \frac{1}{52}}$.

2. Joueur A : 8 Cœurs sur 32 cartes, $p_A={\displaystyle \frac{8}{32}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Joueur B : 13 Cœurs sur 52 cartes, $p_B={\displaystyle \frac{13}{52}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Oui, les deux joueurs ont la même probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ de tirer un Cœur (chaque couleur représente un quart du jeu).

3. Chaque jeu contient 4 Dames. Joueur A : $p_A={\displaystyle \frac{4}{32}}={\displaystyle \frac{1}{8}}=0,125$. Joueur B : $p_B={\displaystyle \frac{4}{52}}={\displaystyle \frac{1}{13}}\approx 0,077$. Comme ${\displaystyle \frac{1}{8}}>{\displaystyle \frac{1}{13}}$, c'est le joueur A qui a la plus grande probabilité de tirer une Dame.

1. a. $10+1=11$ ; ${11}^2=121$ ; $121-{10}^2=121-100=21$ ; $21-1=20$. On obtient bien 20.

1. b. $-3+1=-2$ ; $(-2{)}^2=4$ ; $4-(-3{)}^2=4-9=-5$ ; $-5-1=-6$. On obtient bien −6.

1. c. $1,5+1=2,5$ ; $2,5^2=6,25$ ; $6,25-1,5^2=6,25-2,25=4$ ; $4-1=3$. On obtient 3.

2. Conjecture : 10 donne 20, −3 donne −6, 1,5 donne 3 : le résultat semble toujours égal au double du nombre de départ.
Démonstration : on note $x$ le nombre de départ. Le programme donne :
$(x+1{)}^2-x^2-1=x^2+2x+1-x^2-1=2x$ (on a développé avec l'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$).
Pour tout nombre $x$, le résultat est $2x$ : la conjecture est démontrée, le programme donne toujours le double du nombre choisi.

1. Le triangle ABC est isocèle en A (toit symétrique) et I est le milieu de [BC], donc $BI=7,2÷2=3,6$ m. Le triangle ABI est rectangle en I (codage de l'angle droit). Dans ce triangle, on connaît l'angle $\widehat{ABI}=48°$ et le côté adjacent [BI] ; on cherche le côté opposé [AI] :
$\tan \widehat{ABI}={\displaystyle \frac{AI}{BI}}$, donc $AI=3,6\times \tan 48°\approx 3,998$.
AI ≈ 3,99 m (valeur approchée par défaut au centimètre).

2. La poutre [KM] est horizontale et (AI) lui est perpendiculaire en J ; on lit KJ = 2 m sur le schéma. Les droites (KM) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à (AI), donc parallèles ; les angles $\widehat{AKJ}$ et $\widehat{ABI}$ sont correspondants, d'où $\widehat{AKJ}=48°$. Dans le triangle AKJ rectangle en J :
$\tan \widehat{AKJ}={\displaystyle \frac{AJ}{KJ}}$, donc $AJ=2\times \tan 48°\approx 2,221$.
AJ ≈ 2,23 m (valeur approchée par excès au centimètre).

3. La hauteur sous la poutre est $JI=AI-AJ$. Comme AI est au moins égal à 3,99 m et AJ au plus égal à 2,23 m : $JI⩾3,99-2,23=1,76$ m. Or $1,76>1,75$. Le propriétaire peut se tenir debout sous la poutre sans se cogner la tête (de justesse : il reste au moins 1 cm).

1. Construction en vraie grandeur : on trace [AB] de 5 cm. En B, on trace au rapporteur une demi-droite faisant un angle de 75° avec [BA] ; on reporte au compas, depuis A, la longueur AC = AB = 5 cm sur cette demi-droite : on obtient C (le point autre que B ; on peut aussi tracer en A un angle de 30°, voir question 2). Puis on construit le triangle équilatéral ACE du côté opposé à B : E est l'intersection des arcs de cercle de rayon 5 cm de centres A et C.

2. a. Le triangle ABC est isocèle en A, donc ses angles à la base sont égaux : $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=75°$. La somme des angles d'un triangle vaut 180°, donc $\widehat{BAC}=180°-75°-75°=30°$. $\widehat{BAC}=30°$.

2. b. Le triangle ACE est équilatéral, donc $\widehat{CAE}=60°$ et $AE=AC$. Comme E et B sont de part et d'autre de (AC) : $\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=30°+60°=90°$. De plus, $AB=AC=AE=5$ cm. Le triangle ABE est rectangle et isocèle en A.

3. Le triangle ABE est rectangle en A ; d'après le théorème de Pythagore :
$B{E}^2=A{B}^2+A{E}^2=5^2+5^2=50$, donc $BE=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
BE = $5\sqrt{2}$ cm ≈ 7,1 cm (arrondi au millimètre ; $5\sqrt{2}\approx 7,071$).

1. Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I : les points T, I, P sont alignés ainsi que les points Y, I, G, dans le même ordre (I est entre T et P, et entre Y et G).
${\displaystyle \frac{IT}{IP}}={\displaystyle \frac{1}{5}}=0,2$ et ${\displaystyle \frac{IY}{IG}}={\displaystyle \frac{1,4}{7}}=0,2$.
On a ${\displaystyle \frac{IT}{IP}}={\displaystyle \frac{IY}{IG}}$, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (PG) et (YT) sont parallèles.

2. Les droites (YT) et (PG) étant parallèles, d'après le théorème de Thalès :
${\displaystyle \frac{IT}{IP}}={\displaystyle \frac{IY}{IG}}={\displaystyle \frac{YT}{PG}}$, donc ${\displaystyle \frac{0,8}{PG}}=0,2$ et $PG={\displaystyle \frac{0,8}{0,2}}=4$ cm.
Périmètre du triangle IGP : $IG+GP+PI=7+4+5=16$. Le périmètre du triangle IGP est 16 cm.

Partie A

1. a. On calcule le quotient ${\displaystyle \frac{U}{I}}$ pour chaque colonne :
${\displaystyle \frac{3}{0,02}}=150$ ; ${\displaystyle \frac{4,5}{0,03}}=150$ ; ${\displaystyle \frac{6}{0,04}}=150$ ; ${\displaystyle \frac{12}{0,08}}=150$.
Tous les quotients sont égaux : c'est un tableau de proportionnalité.

1. b. Le coefficient de proportionnalité est 150 (c'est la valeur R de la résistance).

1. c. $U=150\times 0,07=10,5$. Pour I = 0,07 A, la tension vaut 10,5 V.

2. La tension est proportionnelle à l'intensité : $f$ est une fonction linéaire, et $f(I)=150\times I$.

3. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine. On trace la droite passant par O(0 ; 0) et par le point de coordonnées (0,08 ; 12) (on peut contrôler avec (0,04 ; 6) ou (0,02 ; 3), qui doivent être sur la droite).

4. On part de 10 sur l'axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la droite, puis on descend verticalement sur l'axe des abscisses : on lit I ≈ 0,067 A (entre 0,06 et 0,07, plus près de 0,07).
Par le calcul : $150\times I=10$, donc $I={\displaystyle \frac{10}{150}}={\displaystyle \frac{1}{15}}$. La valeur exacte est $I={\displaystyle \frac{1}{15}}$ A (≈ 0,0667 A).

Partie B

1. D'après la partie A, $U=150\times I$ (expression algébrique de $f$). Donc $P=U\times I=150\times I\times I=150\times I^2$. On a bien $P=150\times I^2$.

2. $g(7,5)=150\times 7,5^2=150\times 56,25=8437,5$. L'image de 7,5 par $g$ est 8 437,5.

3. On part de 5 sur l'axe des abscisses, on monte verticalement jusqu'à la courbe, puis on rejoint horizontalement l'axe des ordonnées : on lit P ≈ 3 750 W (entre 3 500 et 4 000). Le calcul le confirme : $150\times 5^2=3750$.

4. On part de 2 500 sur l'axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la courbe, puis on descend sur l'axe des abscisses : on lit un antécédent d'environ 4,1. (Contrôle : $150\times 4,1^2=2521,5$, proche de 2 500 ; la valeur exacte est $\sqrt{{\displaystyle \frac{2500}{150}}}\approx 4,08$.)

5. Non, la puissance P n'est pas proportionnelle à l'intensité I. La représentation graphique de $g$ est une courbe et non une droite passant par l'origine. Par exemple, $g(1)=150$ et $g(2)=600$ : quand l'intensité double, la puissance est multipliée par 4. Le quotient ${\displaystyle \frac{P}{I}}=150\times I$ n'est pas constant.