Sujet du brevet 2010 de maths — Pondichéry (Série générale)

Exercice 1

1. Demi-pensionnaires : $9+11=20$ ; externes : $25-20=5$ ; garçons externes : $5-3=2$ ; total des garçons : $2+9=11$ ; total des filles : $3+11=14$ (contrôle : $11+14=25$).

2. L'élève est choisi au hasard : les 25 élèves ont la même probabilité d'être choisis.

2. a) Il y a 14 filles sur 25 élèves. La probabilité que l'élève soit une fille est ${\displaystyle \frac{14}{25}}$ (soit 0,56).

2. b) Il y a 5 externes sur 25 élèves. La probabilité que l'élève soit externe est ${\displaystyle \frac{5}{25}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$ (soit 0,2).

2. c) On choisit cette fois parmi les 20 demi-pensionnaires, dont 9 garçons. La probabilité que ce soit un garçon est ${\displaystyle \frac{9}{20}}$ (soit 0,45).

Exercice 2

1. La division est prioritaire sur la soustraction. Diviser par ${\displaystyle \frac{5}{7}}$, c'est multiplier par ${\displaystyle \frac{7}{5}}$ :
$A$$={\displaystyle \frac{6}{5}}-{\displaystyle \frac{17}{14}}\times {\displaystyle \frac{7}{5}}$$={\displaystyle \frac{6}{5}}-{\displaystyle \frac{17\times 7}{2\times 7\times 5}}$$={\displaystyle \frac{6}{5}}-{\displaystyle \frac{17}{10}}$$={\displaystyle \frac{12}{10}}-{\displaystyle \frac{17}{10}}$$=-{\displaystyle \frac{5}{10}}$$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
$A=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

2. $B$$={\displaystyle \frac{8\times 1,6}{0,4}}\times {\displaystyle \frac{{10}^8}{{10}^{-3}}}$$={\displaystyle \frac{12,8}{0,4}}\times {10}^{8-(-3)}$$=32\times {10}^{11}$$=3,2\times {10}^1\times {10}^{11}$.
$B=3,2\times {10}^{12}$.

3. On développe avec l'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ :
${(\sqrt{5}+\sqrt{10})}^2=5+2\sqrt{5}\sqrt{10}+10=15+2\sqrt{50}$.
Or $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$, donc $2\sqrt{50}=10\sqrt{2}$.
$C=15+10\sqrt{2}-10\sqrt{2}=15$. $C=15$, c'est bien un nombre entier.

Exercice 3

Aucune justification n'est demandée ; elles sont données ici pour comprendre.

1. Réponse C. Pour $x=-1$ : $-3x^2=-3\times 1=-3$ ; $6(x+1)=6\times 0=0$ ; $5x^2+1=5\times 1+1=6$.

2. Réponse A. $(x+3)(2x+4)-2(5x+6)$$=2x^2+4x+6x+12-10x-12$$=2x^2$.

3. Réponse B. $9x^2-16=(3x{)}^2-4^2=(3x+4)(3x-4)$ (identité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$).

4. Réponse B. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : $x-5=0$ donne $x=5$ et $3x+4=0$ donne $x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$. Les solutions sont $-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ et 5.

Exercice 1

1. On trace [AC] de 12,5 cm, puis l'arc de centre A et de rayon 7,5 cm et l'arc de centre C et de rayon 10 cm : leur point d'intersection est B.

2. Le plus grand côté est [AC].
D'une part $A{C}^2=12,5^2=156,25$ ; d'autre part $A{B}^2+B{C}^2=7,5^2+{10}^2=56,25+100=156,25$.
On a $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3. a) On place F sur [AC] à 5 cm de C (au compas ou à la règle graduée).

3. b) On place G sur [BC] à 4 cm de C.

4. Les points C, F, A sont alignés et les points C, G, B sont alignés dans le même ordre.
D'une part ${\displaystyle \frac{CF}{CA}}={\displaystyle \frac{5}{12,5}}=0,4$ ; d'autre part ${\displaystyle \frac{CG}{CB}}={\displaystyle \frac{4}{10}}=0,4$.
Les quotients sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (FG) sont parallèles.

5. Les droites (FG) et (AB) sont parallèles, F est sur [CA] et G sur [CB]. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{CF}{CA}}={\displaystyle \frac{CG}{CB}}={\displaystyle \frac{FG}{AB}}$, donc ${\displaystyle \frac{FG}{7,5}}=0,4$ et $FG=7,5\times 0,4=3$. FG = 3 cm.

6. Le triangle ABC est rectangle en B, donc (AB) est perpendiculaire à (BC). Or (FG) est parallèle à (AB) ; si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Les droites (FG) et (BC) sont donc perpendiculaires.
(Autre méthode : dans le triangle CGF, $C{G}^2+F{G}^2=16+9=25=C{F}^2$, donc il est rectangle en G.)

Exercice 2

1. $V_1$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times O{B}^2\times SO$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 4^2\times 12$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\times 16\times 12\times \pi$$=64\pi$. Le volume exact du cône C₁ est $64\pi$ cm³.

2. a) Le coefficient de réduction est le rapport des hauteurs : $k={\displaystyle \frac{S{O}^{\prime }}{SO}}={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Le coefficient de réduction est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ (soit 0,25).

2. b) Dans une réduction de coefficient $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$ :
$V_2={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^3\times 64\pi ={\displaystyle \frac{1}{64}}\times 64\pi =\pi$. Le volume exact du cône C₂ est bien $\pi$ cm³.

3. a) L'eau remplit le grand cône sauf le petit cône situé au-dessus du niveau maximum (la partie entre S et le disque de centre O'). Volume d'eau : $V_1-V_2=64\pi -\pi =63\pi$. Le volume d'eau est bien $63\pi$ cm³.

3. b) $63\pi \approx 197,92$. Le volume d'eau est environ 198 cm³.

4. $1$ L $=1000$ cm³, donc $0,2$ L $=200$ cm³. Or $63\pi \approx 197,92$ cm³ $<200$ cm³. Non, le volume d'eau n'est pas supérieur à 0,2 litre : il est légèrement inférieur.

Partie 1

1. Offre A : $30\times 1,20=36$ €. Offre B : $30\times 0,50+35=15+35=50$ €. Pour 30 morceaux, l'offre A coûte 36 € et l'offre B coûte 50 €.

2. a) Avec l'offre A, le prix est $1,2x$ euros.

2. b) Avec l'offre B, le prix est $0,5x+35$ euros.

3. a) $f(x)=1,2x$ est bien de la forme $ax$ : $f$ est linéaire. Mais $g(x)=0,5x+35$ est de la forme $ax+b$ avec $b=35\ne 0$ : $g$ est affine, non linéaire (par exemple $g(0)=35\ne 0$). L'affirmation est fausse.

3. b) La représentation de $f$ est une droite passant par l'origine, par exemple par (0 ; 0) et (50 ; 60). Celle de $g$ est une droite passant par (0 ; 35) et (100 ; 85). Avec l'échelle demandée (1 cm pour 10 morceaux, 1 cm pour 10 €), le point (50 ; 60) est à 5 cm en abscisse et 6 cm en ordonnée, le point (0 ; 35) à 3,5 cm sur l'axe des ordonnées.

4. Les prix sont les mêmes lorsque $1,2x=0,5x+35$, soit $0,7x=35$, donc $x={\displaystyle \frac{35}{0,7}}=50$. Vérification : $1,2\times 50=60$ et $0,5\times 50+35=60$. Les prix sont égaux pour 50 morceaux (60 €). Graphiquement, c'est l'abscisse du point d'intersection des deux droites.

5. Pour 60 morceaux : offre A $1,2\times 60=72$ € ; offre B $0,5\times 60+35=65$ €. L'offre B est la plus avantageuse pour 60 morceaux (65 € contre 72 €).

6. On résout $0,5x+35=80$ : $0,5x=45$, donc $x=90$. Avec 80 €, on peut télécharger 90 morceaux avec l'offre B.

Partie 2

1. $256÷3\approx 85,3$. Le nombre de morceaux est un entier et 86 morceaux occuperaient $86\times 3=258$ Mo, ce qui dépasse 256 Mo. On peut stocker 85 morceaux sur la clé.

2. Deux minutes durent $2\times 60=120$ s. En 120 s, on télécharge $120\times 10=1200$ Mo, soit $1200÷3=400$ morceaux. On peut télécharger 400 morceaux en deux minutes.

Partie 3

1. L'effectif total est $1+5+7+8+12+9+8=50$. Moyenne pondérée :
${\displaystyle \frac{6\times 1+8\times 5+10\times 7+12\times 8+14\times 12+15\times 9+17\times 8}{50}}$$={\displaystyle \frac{6+40+70+96+168+135+136}{50}}$$={\displaystyle \frac{651}{50}}$$=13,02$.
La note moyenne est environ 13 sur 20.

2. Les notes supérieures ou égales à 14 sont 14, 15 et 17 : $12+9+8=29$ internautes. ${\displaystyle \frac{29}{50}}\times 100=58$. Comme $58\%\ge 55\%$, l'enquête est jugée satisfaisante (58 % des internautes ont donné au moins 14).