Sujet du brevet 2010 de maths — Nouvelle-Calédonie (Série générale)

Exercice 1

Le sujet demande seulement de recopier la bonne réponse ; les justifications ci-dessous servent à comprendre.

1. Réponse : $49x^2-70x+25$. Avec l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ : $(7x-5{)}^2$$=(7x{)}^2-2\times 7x\times 5+5^2$$=49x^2-70x+25$.

2. Réponse : 17. $f(-5)=-3\times (-5)+2=15+2=17$.

3. Réponse : $5,7\times {10}^{-10}$. $0,00057=5,7\times {10}^{-4}$, donc $0,00057\times {10}^{-6}$$=5,7\times {10}^{-4}\times {10}^{-6}$$=5,7\times {10}^{-10}$. L'écriture $57\times {10}^{-11}$ a la même valeur mais n'est pas une notation scientifique (57 n'est pas compris entre 1 et 10), et $0,0000000000057=5,7\times {10}^{-12}$.

4. Réponse : ${\displaystyle \frac{19}{21}}$. La multiplication est prioritaire : ${\displaystyle \frac{1}{7}}\times {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{4}{21}}$, puis ${\displaystyle \frac{5}{7}}+{\displaystyle \frac{4}{21}}={\displaystyle \frac{15}{21}}+{\displaystyle \frac{4}{21}}={\displaystyle \frac{19}{21}}$.

Exercice 2

1. Le nombre de bouteilles d'eau est $100-(22+32+18)=100-72=28$. Les 100 bouteilles ont la même chance d'être prises (situation d'équiprobabilité), donc $P(E)={\displaystyle \frac{28}{100}}$. La probabilité de l'évènement E est ${\displaystyle \frac{28}{100}}=0,28$ (soit ${\displaystyle \frac{7}{25}}$).

2. a) La quantité restante est la quantité de départ moins le nombre de bouteilles vendues : $22-4=18$. La formule écrite en D2 est =B2-C2.

2. b) Il faut additionner les cellules C2 à C5 ($4+5+3+12=24$). La formule écrite en C6 est =SOMME(C2:C5).

Exercice 3

1. Avec 3 : $3^2=9$ ; $9+3=12$ ; $12\times 2=24$ ; $24-6=18$ ; $18÷2=9$. Le résultat est 9.
Avec 10 : ${10}^2=100$ ; $100+3=103$ ; $103\times 2=206$ ; $206-6=200$ ; $200÷2=100$. Le résultat est 100.

2. a) Avec 9 : $9^2=81$ ; $81+3=84$ ; $84\times 2=168$ ; $168-6=162$ ; $162÷2=81$. On obtient bien 81 : le nombre de départ 9 est correct.

2. b) D'après les essais, le résultat semble être le carré du nombre de départ. Le nombre de départ est un entier positif dont le carré vaut 36 : c'est 6. Vérification : $6^2=36$ ; $36+3=39$ ; $39\times 2=78$ ; $78-6=72$ ; $72÷2=36$. Sophie avait choisi le nombre 6.

3. On conjecture que le programme revient à élever le nombre de départ au carré. Démonstration avec $x$ comme nombre de départ :
$x\to x^2\to x^2+3\to 2(x^2+3)$$=2x^2+6\to 2x^2+6-6$$=2x^2\to {\displaystyle \frac{2x^2}{2}}$$=x^2$.
Le résultat final est toujours $x^2$ : on passe du nombre de départ au nombre final en l'élevant au carré. C'est pourquoi Marc retrouve le nombre de départ en prenant la racine carrée du résultat ($\sqrt{81}=9$).

Exercice 1

1. On trace [AB] de 5 cm, puis la perpendiculaire à (AB) passant par A. On trace l'arc de cercle de centre B et de rayon 13 cm : il coupe cette perpendiculaire en C.

2. Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, d'où $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2={13}^2-5^2=169-25=144$.
Donc $AC=\sqrt{144}=12$. AC = 12 cm.

3. Les points C, M, A sont alignés, les points C, N, B sont alignés et les droites (MN) et (AB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{CM}{CA}}={\displaystyle \frac{CN}{CB}}={\displaystyle \frac{MN}{AB}}$.
Donc ${\displaystyle \frac{2,4}{12}}={\displaystyle \frac{CN}{13}}$, d'où $CN={\displaystyle \frac{2,4\times 13}{12}}={\displaystyle \frac{31,2}{12}}=2,6$. CN = 2,6 cm.

4. Les droites (MN) et (AB) sont parallèles et la droite (AB) est perpendiculaire à (AC) (le triangle ABC est rectangle en A). Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre : (MN) est perpendiculaire à (AC). Le triangle CMN est rectangle en M.
(Contrôle : $MN={\displaystyle \frac{2,4\times 5}{12}}=1$ cm et $C{M}^2+M{N}^2=5,76+1=6,76=2,6^2=C{N}^2$.)

Exercice 2

1. $V={\displaystyle \frac{4\times \pi \times 7^3}{3}}={\displaystyle \frac{4\times \pi \times 343}{3}}={\displaystyle \frac{1372\pi }{3}}\approx 1436,76$. Le volume de la boule est environ 1 437 cm³.

2. La section d'une sphère par un plan est un cercle. La section est le cercle de centre H et de rayon HA (H est le pied de la perpendiculaire au plan menée depuis O).

3. La droite (OH) est perpendiculaire au plan de section, donc le triangle OHA est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore : $O{A}^2=O{H}^2+H{A}^2$, donc $H{A}^2=7^2-4^2=49-16=33$. HA $=\sqrt{33}$ cm (environ 5,74 cm).

Exercice 3

Sur la figure, B est sur le mur à la hauteur de l'instrument : A est au sol, donc AB = 1,80 m, et le triangle OBC est rectangle en B.
Dans ce triangle, [CB] est le côté opposé à l'angle $\widehat{COB}$ et [OB] le côté adjacent. On utilise la tangente :
$\tan \widehat{COB}={\displaystyle \frac{CB}{OB}}$, donc $CB=OB\times \tan {48}^{\circ }=15\times \tan {48}^{\circ }\approx 16,66$ m.
La hauteur de la cathédrale est $CA=CB+BA\approx 16,66+1,80=18,46$ m. La cathédrale mesure environ 18,5 m de haut.

Partie 1

1. Tarif A : $450\times$ nombre de DVD. Tarif B : $4500+300\times$ nombre de DVD.

Détail : $300\times 20+4500=10500$ ; $300\times 40+4500=16500$ ; $300\times 80+4500=28500$.

2. A est une fonction linéaire : $D_A$ est une droite passant par l'origine, par exemple par (0 ; 0) et (20 ; 9 000), (80 ; 36 000). B est une fonction affine : $D_B$ est une droite passant par (0 ; 4 500), (20 ; 10 500) et (80 ; 28 500). Avec l'échelle imposée, 20 DVD correspondent à 4 carreaux, 80 DVD à 16 carreaux, 9 000 F à 3 carreaux, 4 500 F à 1,5 carreau, 28 500 F à 9,5 carreaux et 36 000 F à 12 carreaux.

3. Les deux tarifs sont égaux lorsque $A(x)=B(x)$ : $450x=300x+4500$, soit $150x=4500$, donc $x={\displaystyle \frac{4500}{150}}=30$. Vérification : $450\times 30=13500$ et $300\times 30+4500=13500$. Les deux tarifs sont égaux pour 30 DVD loués (13 500 F). C'est l'abscisse du point d'intersection de $D_A$ et $D_B$.

4. Avant le point d'intersection, la droite $D_A$ est en dessous de $D_B$ ; après, c'est l'inverse. Le tarif A est le plus avantageux pour moins de 30 DVD loués, le tarif B pour plus de 30 DVD ; pour 30 DVD, les deux tarifs se valent.

Partie 2

1. On compte chaque âge dans la liste (le total doit faire 20) :

Contrôle : $3+3+4+2+3+3+2=20$.

2. Les personnes de plus de 20 ans ont 21, 30, 33, 46 ou 50 ans : $4+2+3+3+2=14$ personnes. ${\displaystyle \frac{14}{20}}\times 100=70$. Les personnes de plus de 20 ans représentent 70 % des clients.

3. On calcule la moyenne pondérée par les effectifs :
${\displaystyle \frac{15\times 3+18\times 3+21\times 4+30\times 2+33\times 3+46\times 3+50\times 2}{20}}$$={\displaystyle \frac{45+54+84+60+99+138+100}{20}}$$={\displaystyle \frac{580}{20}}$$=29$.
L'âge moyen des clients est 29 ans.

Partie 3

1. Le nombre de lots doit diviser à la fois 2 646 et 4 410 (tous les films sont utilisés et les lots sont identiques). Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 2 646 et 4 410. Algorithme d'Euclide :
$4410=2646\times 1+1764$
$2646=1764\times 1+882$
$1764=882\times 2+0$
Le dernier reste non nul est 882. Le gérant peut faire au maximum 882 lots.

2. $2646÷882=3$ et $4410÷882=5$. Chaque lot contient 3 films pour enfants et 5 films divers.