Sujet du brevet 2010 de maths — Métropole (Série générale)

Exercice 1

1. a) Avec 2 comme nombre de départ : $2\times (-2)=-4$ ; $-4+5=1$ ; $1\times 5=5$. On obtient bien 5.

1. b) Avec 3 : $3\times (-2)=-6$ ; $-6+5=-1$ ; $-1\times 5=-5$. On obtient $-5$.

2. Si l'on note $x$ le nombre de départ, le programme donne $5(-2x+5)$. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul ; comme $5\ne 0$, il faut $-2x+5=0$, soit $-2x=-5$, donc $x={\displaystyle \frac{5}{2}}=2,5$.
Vérification : $2,5\times (-2)=-5$ ; $-5+5=0$ ; $0\times 5=0$. Il faut choisir 2,5 au départ.

3. Le programme donne, pour un nombre de départ $x$ : $5(-2x+5)=-10x+25$.
On développe l'expression d'Arthur avec l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ :
$(x-5{)}^2-x^2=x^2-10x+25-x^2=-10x+25$.
Les deux expressions sont égales pour tout nombre $x$. Arthur a raison. (Contrôle avec $x=2$ : $(2-5{)}^2-2^2=9-4=5$, ce qui correspond à la question 1. a.)

Exercice 2

1. a) On place 6 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'au segment puis on lit l'ordonnée. 6 litres d'eau liquide donnent environ 6,5 litres de glace.

1. b) On place 10 sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'au segment puis on lit l'abscisse : elle se situe entre 9 et 9,5. Il faut environ 9,25 litres d'eau liquide (un peu plus de 9 L) pour obtenir 10 litres de glace.

2. La représentation graphique est une portion de droite qui passe par l'origine du repère. Le volume de glace est donc proportionnel au volume d'eau liquide.

3. Le volume passe de 10 L à 10,8 L : l'augmentation est de $10,8-10=0,8$ L. En pourcentage du volume de départ : ${\displaystyle \frac{0,8}{10}}\times 100=8$. Le volume d'eau augmente de 8 % en gelant. (Vérification : $10\times 1,08=10,8$.)

Remarque : le coefficient de proportionnalité vaut donc 1,08, ce qui confirme les lectures de la question 1 : $6\times 1,08=6,48\approx 6,5$ L et $10÷1,08\approx 9,26$ L.

Exercice 1

1. Les codages montrent que chaque côté du carré est partagé en trois segments de même longueur : $9÷3=3$ cm. On trace un carré ABCD de 9 cm de côté, on place sur chaque côté les points à 3 cm de chaque sommet (I et J sur [AB], K et L sur [BC], M et N sur [CD], O et P sur [DA]), puis on trace l'octogone IJKLMNOP.

2. a) On a JB = 3 cm et BK = 3 cm. Le triangle JBK est rectangle en B (angle du carré), donc d'après le théorème de Pythagore :
$J{K}^2=J{B}^2+B{K}^2=3^2+3^2=9+9=18$, donc $JK=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. JK $=\sqrt{18}$ cm $\approx 4,24$ cm.

2. b) Un octogone régulier a ses huit côtés de même longueur. Ici IJ = 3 cm alors que JK $\approx 4,24$ cm : $IJ\ne JK$. L'octogone IJKLMNOP n'est donc pas régulier.

2. c) L'octogone s'obtient en retirant au carré quatre triangles rectangles isocèles identiques (aux coins A, B, C, D), dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm.
Aire du carré : $9\times 9=81$ cm². Aire d'un triangle : ${\displaystyle \frac{3\times 3}{2}}=4,5$ cm². Aire de l'octogone : $81-4\times 4,5=81-18=63$. L'aire de l'octogone est 63 cm².

3. a) On trace les diagonales [AC] et [BD], qui se coupent en S, puis le cercle de centre S et de rayon $9÷2=4,5$ cm. Ce cercle est tangent aux quatre côtés du carré (en leurs milieux).

3. b) Le rayon du disque est 4,5 cm. Son aire est $\pi \times 4,5^2=20,25\pi \approx 63,62$ cm².
Comme $63,62>63$, le disque a une aire (légèrement) supérieure à celle de l'octogone.

Exercice 2

1. Sur l'annexe, B et C sont donnés (BC = 5,2 cm). Au compas, on trace l'arc de centre B et de rayon 2 cm et l'arc de centre C et de rayon 4,8 cm : leur point d'intersection est A. On trace ensuite [AB] et [AC].

2. Le plus grand côté est [BC].
D'une part $B{C}^2=5,2^2=27,04$ ; d'autre part $A{B}^2+A{C}^2=2^2+4,8^2=4+23,04=27,04$.
On a $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

3. La hauteur [SA] est perpendiculaire à la base, donc les faces SAB et SAC sont des triangles rectangles en A. Le patron se compose de quatre triangles :

• la base ABC (déjà tracée) ;
• le triangle SAB, rectangle en A, accolé au côté [AB] : on trace la perpendiculaire à (AB) en A, à l'extérieur du triangle ABC, et on y place un point S tel que AS = 3 cm ;
• le triangle SAC, rectangle en A, accolé au côté [AC] : de même, perpendiculaire à (AC) en A et point S' tel que AS' = 3 cm ;
• le triangle SBC, accolé au côté [BC] : ses côtés mesurent BC = 5,2 cm, SB et SC. On les reporte au compas depuis le patron (SB se mesure dans le triangle SAB, SC dans le triangle SAC). Par le calcul : $SB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\approx 3,6$ cm et $SC=\sqrt{3^2+4,8^2}=\sqrt{32,04}\approx 5,66$ cm. On trace l'arc de centre B de rayon SB et l'arc de centre C de rayon SC, de l'autre côté de [BC] par rapport à A : leur intersection est le troisième sommet S''.

4. La base ABC est un triangle rectangle en A : son aire est $ℬ={\displaystyle \frac{AB\times AC}{2}}={\displaystyle \frac{2\times 4,8}{2}}=4,8$ cm². La hauteur associée est SA = 3 cm.
$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times 4,8\times 3=4,8$. Le volume de la pyramide SABC est 4,8 cm³.

Première partie : peinture des murs et du plafond

1. a) Le plafond est un rectangle de 6,40 m sur 5,20 m : $6,40\times 5,20=33,28$. L'aire du plafond est 33,28 m².

1. b) Il faut 1 litre pour 4 m² : $33,28÷4=8,32$. Il faut 8,32 litres de peinture pour le plafond.

2. a) Les quatre murs forment, une fois « déroulés », un rectangle dont la longueur est le périmètre du sol et la hauteur 2,80 m.
Périmètre du sol : $2\times (6,40+5,20)=2\times 11,60=23,20$ m. Aire totale des murs : $23,20\times 2,80=64,96$ m².
Ouvertures : la porte mesure $2\times 0,80=1,6$ m² et les trois baies $3\times 2\times 1,60=9,6$ m², soit $1,6+9,6=11,2$ m² qui ne se peignent pas.
Surface à peindre : $64,96-11,2=53,76$ m². La surface de mur à peindre est 53,76 m², soit environ 54 m².

2. b) $53,76÷4=13,44$. Il faut 13,44 litres de peinture pour les murs (13,5 L si l'on prend 54 m²).

3. Quantité totale : $8,32+13,44=21,76$ L. Un pot contient 5 L et $21,76÷5=4,352$ : quatre pots (20 L) ne suffisent pas. L'entreprise doit disposer de 5 pots de peinture.

Deuxième partie : pose d'un dallage sur le sol

1. Algorithme d'Euclide :
$640=520\times 1+120$
$520=120\times 4+40$
$120=40\times 3+0$
Le PGCD est le dernier reste non nul. PGCD(640 ; 520) = 40.

2. a) Le sol mesure 640 cm sur 520 cm. Pour poser les dalles sans découpe, leur côté doit être un diviseur commun de 640 et de 520, c'est-à-dire un diviseur de leur PGCD 40. Parmi 20, 30, 35, 40 et 45, seuls 20 et 40 divisent 40 (30, 35 et 45 ne divisent pas 640 : par exemple $640÷30\approx 21,3$). On peut choisir les dalles de 20 cm ou de 40 cm de côté.

2. b) Dalles de 20 cm : $640÷20=32$ dalles dans la longueur et $520÷20=26$ dans la largeur, soit $32\times 26=832$. Il faut 832 dalles de 20 cm.
Dalles de 40 cm : $640÷40=16$ et $520÷40=13$, soit $16\times 13=208$. Il faut 208 dalles de 40 cm.
(Vérification par les aires : $33,28$ m² $=332800$ cm² et $332800÷400=832$ ; $332800÷1600=208$.)

Troisième partie : coût du dallage

1. a) $9\times 48=432$. Avec le grossiste A, 9 paquets coûtent 432 €.

1. b) $9\times 42+45=378+45=423$. Avec le grossiste B, 9 paquets coûtent 423 €.

2. a) $P_A=48n$.

2. b) $P_B=42n+45$.

3. a) $P_A$ est une fonction linéaire : sa représentation est une droite passant par l'origine, par exemple par les points (0 ; 0) et (10 ; 480). $P_B$ est une fonction affine : sa représentation est une droite passant par (0 ; 45) et (10 ; 465). On trace ces deux droites dans le repère de l'annexe 2 (on peut aussi utiliser le point (9 ; 423) calculé plus haut pour contrôler).

3. b) Les deux droites se coupent lorsque $48n=42n+45$, soit $6n=45$, donc $n=7,5$. Comme $n$ est un nombre entier de paquets, on compare autour de cette valeur : pour 7 paquets, A coûte 336 € et B 339 € ; pour 8 paquets, A coûte 384 € et B 381 €.
Le grossiste A est le plus avantageux jusqu'à 7 paquets ; le grossiste B l'est à partir de 8 paquets.