Sujet du brevet 2010 de maths — BrevetPortugaljuin2010 (Série générale)

Exercice 1

1. Programme B avec 5 : $5-7=-2$, puis $(-2{)}^2=4$. Le résultat est bien 4.

2. Programme A avec $-2$ : $-2+5=3$, puis $3^2=9$. Le résultat est 9.

3. a) Avec le nombre de départ $x$, le programme A donne $(x+5{)}^2$. Un carré est nul si et seulement si le nombre est nul : $x+5=0$, donc $x=-5$. Il faut choisir $-5$.

3. b) Le programme B donne $(x-7{)}^2$. Les nombres dont le carré vaut 9 sont 3 et $-3$ : $x-7=3$ ou $x-7=-3$, donc $x=10$ ou $x=4$. Vérification : $(10-7{)}^2=9$ et $(4-7{)}^2=9$. Il faut choisir 10 ou 4.

4. On cherche $x$ tel que $(x+5{)}^2=(x-7{)}^2$. On développe :
$x^2+10x+25=x^2-14x+49$, soit $10x+14x=49-25$, donc $24x=24$ et $x=1$.
Vérification : $(1+5{)}^2=36$ et $(1-7{)}^2=(-6{)}^2=36$. Il faut choisir 1 (résultat commun : 36).

Exercice 2

1. Le sac contient $10+6+4=20$ boules équiprobables, dont 10 rouges : $p(R)={\displaystyle \frac{10}{20}}$. La probabilité de tirer une boule rouge est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

2. Il y a $6+4=10$ boules noires ou jaunes : $p={\displaystyle \frac{10}{20}}$. La probabilité de tirer une boule noire ou jaune est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

3. ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=1$. La somme vaut 1, ce qui était prévisible : « tirer une boule noire ou jaune » est l'événement contraire de « tirer une boule rouge » (toutes les boules non rouges sont noires ou jaunes), et la somme des probabilités de deux événements contraires vaut 1.

4. Soit $n$ le nombre de boules bleues. Le sac contient $20+n$ boules et ${\displaystyle \frac{n}{20+n}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$.
Produit en croix : $5n=20+n$, soit $4n=20$, donc $n=5$. Vérification : ${\displaystyle \frac{5}{25}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$. Il y a 5 boules bleues.

Exercice 3 (QCM, $f(x)=-2x+3$)

1. Dans $f(x)=-2x+3$, le coefficient de $x$ est $a=-2$. Réponse : $-2$.

2. $f(0)=-2\times 0+3=3$. Réponse : 3.

3. $f(-1)=-2\times (-1)+3=2+3=5$, donc le point de coordonnées $(-1;5)$ est sur la droite (et $f(1)=1\ne -18$). Réponse : B(−1 ; 5).

4. $-2x+3=4$ donne $-2x=1$, soit $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Réponse : $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

5. La droite coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse 0, d'ordonnée $f(0)=3$. Réponse : E(0 ; 3).

Exercice 1

Justifications :

• Figure 1 : la droite (DA) est perpendiculaire à (DE) en D (angle droit codé) et (AC) est parallèle à (DE). D'après la propriété 5, (DA) est perpendiculaire à (AC) : le triangle ABC est rectangle en A.
• Figure 2 : les angles inscrits $\widehat{ABC}$ et $\widehat{AEC}$ interceptent le même arc AC, donc $\widehat{ABC}=\widehat{AEC}=60°$ (propriété 7). Dans le triangle ABC, $\widehat{BAC}=180°-60°-20°=100°$ (propriété 4). L'angle en A n'est pas droit : le triangle n'est pas rectangle en A.
• Figure 3 : le plus grand côté est [BC] ; $B{C}^2=7,5^2=56,25$ et $A{B}^2+A{C}^2$$=4,5^2+5,5^2$$=20,25+30,25$$=50,5$. Comme $56,25\ne 50,5$, d'après la propriété 3, le triangle n'est pas rectangle.
• Figure 4 : BCDE est un losange de centre A, donc ses diagonales [BD] et [CE] sont perpendiculaires et se coupent en A (propriété 1). Comme B est sur (BD) et C sur (CE), l'angle $\widehat{BAC}$ est droit : le triangle ABC est rectangle en A.

Exercice 2

I, J et K sont les milieux d'arêtes de 12 cm, donc $AI=AJ=AK=6$ cm.

1. Le triangle AIK est rectangle en A (les arêtes [AB] et [AD] de la face carrée ABCD sont perpendiculaires) :
$𝒜={\displaystyle \frac{AI\times AK}{2}}={\displaystyle \frac{6\times 6}{2}}=18$. L'aire du triangle AIK est 18 cm².

2. La hauteur de la pyramide de base AKI est [AJ], perpendiculaire à la face ABCD : $AJ=6$ cm.
$V={\displaystyle \frac{18\times 6}{3}}=36$. Le volume de la pyramide AIKJ est 36 cm³.

3. Volume du cube : ${12}^3=1728$ cm³. ${\displaystyle \frac{36}{1728}}={\displaystyle \frac{1}{48}}$ (car $36\times 48=1728$). La pyramide représente ${\displaystyle \frac{1}{48}}$ du volume du cube.

4. Le patron comporte quatre triangles :

• la base AIK : triangle rectangle isocèle en A, de côtés de l'angle droit 6 cm ;
• sur le côté [AI], le triangle AIJ, rectangle isocèle en A (AJ = 6 cm, perpendiculaire à [AI]) ;
• sur le côté [AK], le triangle AKJ, rectangle isocèle en A (AJ = 6 cm, perpendiculaire à [AK]) ;
• sur le côté [IK], le triangle IJK, équilatéral de côté $IK=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\approx 8,5$ cm (ses trois côtés sont des diagonales de carrés de 6 cm), construit au compas.

Au pliage, le côté [IJ] du triangle AIJ et le côté [IJ] du triangle équilatéral (tous deux de longueur $6\sqrt{2}$ cm) se recollent, de même que les côtés [KJ] : les trois sommets J se rejoignent.

1. On trace [BC] de 10 cm, on prolonge la droite (BC) au-delà de B ; au rapporteur, on trace en B un angle de 120° avec [BC) et on place A sur ce côté à 6 cm de B. On trace [AC], puis la perpendiculaire à (BC) passant par A, qui coupe (BC) en H (au-delà de B).

2. a) Les points C, B, H sont alignés, donc les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ABH}$ sont supplémentaires : $\widehat{ABH}=180°-120°=60°$. $\widehat{ABH}=60°$.
Dans le triangle ABH rectangle en H, BH est le côté adjacent à l'angle $\widehat{ABH}$ et AB l'hypoténuse : $\cos 60°={\displaystyle \frac{BH}{AB}}$, donc $BH=6\times \cos 60°=6\times 0,5=3$. BH = 3 cm.

2. b) Dans le triangle ABH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore : $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=36-9=27$, donc $AH=\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3}$. AH = $3\sqrt{3}$ cm.
H est au-delà de B, donc $CH=CB+BH=10+3=13$ cm. Le triangle ACH est rectangle en H :
${𝒜}_{ACH}={\displaystyle \frac{CH\times AH}{2}}={\displaystyle \frac{13\times 3\sqrt{3}}{2}}$. L'aire du triangle ACH est ${\displaystyle \frac{39\sqrt{3}}{2}}$ cm² (environ 33,8 cm²).

2. c) Dans le triangle ACH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore : $A{C}^2=A{H}^2+C{H}^2=27+169=196$, donc $AC=\sqrt{196}=14$. AC = 14 cm.

3. a) On place M sur [BC] à 6,5 cm de C (donc à 3,5 cm de B), on trace la perpendiculaire à (BC) passant par M (parallèle à (AH)) ; elle coupe [AC] en N.

3. b) Dans le triangle CAH, M est sur [CH], N est sur [CA] et (MN) est parallèle à (AH). D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{CM}{CH}}={\displaystyle \frac{CN}{CA}}={\displaystyle \frac{MN}{AH}}$.
${\displaystyle \frac{6,5}{13}}={\displaystyle \frac{MN}{3\sqrt{3}}}$, donc $MN=3\sqrt{3}\times {\displaystyle \frac{6,5}{13}}=3\sqrt{3}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}$. NM = ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ cm.

3. c) Les côtés [AH] et [MN] sont parallèles : AHMN est un trapèze. Comme (AH) est perpendiculaire à (BC), (MN) l'est aussi : la hauteur du trapèze est $MH=CH-CM=13-6,5=6,5$ cm.
$𝒜$$={\displaystyle \frac{(AH+MN)\times MH}{2}}$$={\displaystyle \frac{(3\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}})\times 6,5}{2}}$$={\displaystyle \frac{4,5\sqrt{3}\times 6,5}{2}}$$=14,625\sqrt{3}$$\approx 25,3$.
Autre méthode : aire de ACH moins aire du triangle CMN rectangle en M, ${\displaystyle \frac{39\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{6,5\times 1,5\sqrt{3}}{2}}$$=19,5\sqrt{3}-4,875\sqrt{3}$$=14,625\sqrt{3}$.
L'aire du trapèze AHMN est d'environ 25 cm².