Sujet du brevet 2010 de maths — BrevetAmeriqueSudnov2010 (session de remplacement) (Série générale)

Exercice 1

1. $486-13\times 8=486-104=382$, donc $A={\displaystyle \frac{927}{382}}\approx 2,4267$. $A\approx 2,43$ à 0,01 près.

2. $3\times {10}^5-6\times {10}^3=300000-6000=294000$, donc $B={\displaystyle \frac{294000}{3\times {10}^{11}}}={\displaystyle \frac{98000}{{10}^{11}}}=9,8\times {10}^4\times {10}^{-11}$. $B=9,8\times {10}^{-7}$.

3. $442,5-7^2\times 2,5$$=442,5-49\times 2,5$$=442,5-122,5$$=320$, puis ${\displaystyle \frac{320}{5}}=64$. $C=\sqrt{64}=8$.

4. À la calculatrice, $D=\sqrt{6}-\sqrt{5}\approx 0,2134$ et $E={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}}\approx 0,2134$. Les nombres D et E sont égaux. En effet, $(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})=6-5=1$, donc $\sqrt{6}-\sqrt{5}$ est l'inverse de $\sqrt{6}+\sqrt{5}$.

Exercice 2

L'aire d'un carré de côté $c$ est $c^2$. Donc $c^2=225$ et, $c$ étant une longueur positive, $c=\sqrt{225}=15$ cm. Le périmètre vaut $4\times 15=60$. Le périmètre du carré est 60 cm.

Exercice 3

1. Avec $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, où $a=3\sqrt{2}$ et $b=5$ :
$A$$=(3\sqrt{2}{)}^2+2\times 3\sqrt{2}\times 5+5^2$$=9\times 2+30\sqrt{2}+25$$=18+30\sqrt{2}+25$.
$A=43+30\sqrt{2}$ (a = 43 et b = 30).

2. Avec $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, où $a=\sqrt{7}$ et $b=3$ : $B=(\sqrt{7}{)}^2-3^2=7-9$. $B=-2$.

Exercice 4

1. a) Pour $x=10$ et $y=2$ : $45\times 10+30\times 2=450+60=510$ (la première équation est vérifiée) mais $27\times 10+20\times 2=270+40=310\ne 316$. Ce couple n'est pas solution du système (il doit vérifier les deux équations).

1. b) Pour $x=8$ et $y=5$ : $45\times 8+30\times 5=360+150=510$ et $27\times 8+20\times 5=216+100=316$. Les deux équations sont vérifiées : $x=8$ et $y=5$ est solution du système.

2. Soit $x$ le nombre d'adultes et $y$ le nombre d'enfants. Les deux coûts donnent exactement le système de la question 1 :
$45x+30y=510$ et $27x+20y=316$.
Résolution par combinaison : on multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3 : $90x+60y=1020$ et $81x+60y=948$. Par soustraction : $9x=72$, donc $x=8$. Puis $30y=510-45\times 8=510-360=150$, donc $y=5$.
On retrouve la solution de la question 1. b). Le groupe compte 8 adultes et 5 enfants.

Exercice 1

1. On trace un segment [BC] de 10 cm ; au compas, on trace l'arc de centre B de rayon 6 cm et l'arc de centre C de rayon 8 cm ; leur point d'intersection est A. On trace [AB] et [AC].

2. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC].
$B{C}^2={10}^2=100$ et $A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2=36+64=100$.
Comme $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

3. a) Propriété : si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse. Le triangle ABC est rectangle en A, d'hypoténuse [BC]. Le point O est le milieu du segment [BC].

3. b) [BC] est un diamètre du cercle, donc le rayon vaut ${\displaystyle \frac{BC}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5$. Le rayon du cercle est 5 cm.

4. Construction : dans le rectangle ABDC, les diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu ; D est donc le symétrique de A par rapport à O (on prolonge [AO] d'une longueur égale à AO).
Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu : $AD=BC=10$ cm et O est le milieu de [AD], donc $OD={\displaystyle \frac{AD}{2}}=5$ cm. Le point D est à 5 cm du centre O, distance égale au rayon. Le point D appartient au cercle circonscrit du triangle ABC.

Exercice 2

1. Le triangle EFG est rectangle en E. Pour l'angle $\widehat{EFG}$, EF est le côté adjacent et FG l'hypoténuse :
$\cos \widehat{EFG}={\displaystyle \frac{EF}{FG}}={\displaystyle \frac{5}{13}}$, d'où $\widehat{EFG}\approx 67,4°$. $\widehat{EFG}\approx 67°$ au degré près.

2. Dans le triangle EFG rectangle en E, d'après le théorème de Pythagore : $F{G}^2=E{F}^2+E{G}^2$, donc $E{G}^2={13}^2-5^2=169-25=144$ et $EG=\sqrt{144}=12$. EG = 12 cm.

3. M est sur [EG], donc $GM=EG-EM=12-3=9$. GM = 9 cm.

4. La droite (MN) est perpendiculaire à (EG) par construction, et la droite (EF) est perpendiculaire à (EG) car le triangle EFG est rectangle en E. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Les droites (MN) et (EF) sont parallèles.

5. Dans le triangle GEF, M est sur [GE], N est sur [GF] et (MN) est parallèle à (EF). D'après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{GM}{GE}}={\displaystyle \frac{GN}{GF}}={\displaystyle \frac{MN}{EF}}$.
${\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{GN}{13}}$, donc $GN={\displaystyle \frac{13\times 9}{12}}={\displaystyle \frac{117}{12}}=9,75$. GN = 9,75 cm.

Partie 1

1. Formule A : $7\times 18=126$ €. Formule B : les cartes sont de 10 séances, il faut donc acheter une carte pour faire 7 séances : 165 €. Formule C : cotisation et une carte, $70+140=210$ €. On retrouve bien 126 €, 165 € et 210 €.

2. Pour 20 séances :
Formule A : $20\times 18=360$ € ;
Formule B : 2 cartes, $2\times 165=330$ € ;
Formule C : $70+2\times 140=70+280=350$ €.
Pour 20 séances, la formule B est la plus avantageuse (330 €).

Partie 2

1.

(Formule B : $5\times 165=825$ ; formule C : $70+5\times 140=70+700=770$.)

2. a) Chaque carte coûte 165 €. Coût avec la formule B : $165x$ euros.

2. b) Cotisation de 70 € plus 140 € par carte. Coût avec la formule C : $140x+70$ euros.

2. c) $140x+70⩽165x$ donne $70⩽165x-140x$, soit $70⩽25x$, donc $x⩾{\displaystyle \frac{70}{25}}$, c'est-à-dire $x⩾2,8$. Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à 2,8.

2. d) La formule C est avantageuse quand son coût est inférieur à celui de la formule B, c'est-à-dire quand $x⩾2,8$. Comme $x$ est un nombre entier de cartes, la formule C devient avantageuse à partir de 3 cartes (vérification : 3 cartes coûtent 495 € avec B et 490 € avec C).

Partie 3

1. $f$ est une fonction linéaire : sa représentation est une droite passant par l'origine. Avec $f(3)=495$, on trace la droite passant par (0 ; 0) et (3 ; 495).
$g$ est une fonction affine : sa représentation est une droite qui coupe l'axe des ordonnées en 70. Avec $g(3)=140\times 3+70=490$, on trace la droite passant par (0 ; 70) et (3 ; 490) (on peut vérifier avec $g(2)=350$).
L'axe vertical s'arrêtant à 550 €, les deux droites sortent du cadre peu après l'abscisse 3 ($f$) et 3,4 ($g$).

2. Les deux droites se coupent au point d'abscisse 2,8 (ordonnée 462 environ) ; on trace en pointillés la verticale qui descend de ce point jusqu'à l'axe des abscisses. À droite de ce point, la droite de $g$ (formule C) est en dessous de celle de $f$ (formule B). Le nombre de cartes étant entier, la formule C devient avantageuse à partir de 3 cartes.