Sujet du brevet 2010 de maths — BrevetAmeriqueNordjuin2010 (Série générale)

Exercice 1

1. On décompose en facteurs premiers : $84=2\times 2\times 3\times 7$ et $126=2\times 3\times 3\times 7$. Le plus grand diviseur commun est $2\times 3\times 7=42$.
${\displaystyle \frac{84}{126}}={\displaystyle \frac{42\times 2}{42\times 3}}$, donc ${\displaystyle \frac{84}{126}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

2. On regroupe les nombres et les puissances de 10 :
${\displaystyle \frac{6\times 35}{14}}\times {\displaystyle \frac{{10}^{12}\times {10}^{-4}}{{10}^3}}$$={\displaystyle \frac{210}{14}}\times {10}^{12-4-3}$$=15\times {10}^5$$=1,5\times 10\times {10}^5$.
Le nombre vaut $1,5\times {10}^6$.

3. $\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=2\sqrt{5}$ ; $\sqrt{{15}^2\times 5}=15\sqrt{5}$ ; $2\sqrt{45}=2\sqrt{9\times 5}=2\times 3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$.
$\sqrt{20}-\sqrt{{15}^2\times 5}+2\sqrt{45}=2\sqrt{5}-15\sqrt{5}+6\sqrt{5}=(2-15+6)\sqrt{5}$. L'expression vaut $-7\sqrt{5}$, donc $a=-7$.

4. Soit $x$ le nombre de cartouches. Prix au magasin A : $17,30x$ ; au magasin B : $14,80x+15$. Les tarifs sont identiques lorsque :
$17,30x=14,80x+15$, soit $2,50x=15$, donc $x={\displaystyle \frac{15}{2,5}}=6$.
Vérification : $6\times 17,30=103,80$ € et $6\times 14,80+15=88,80+15=103,80$ €. Les deux tarifs sont identiques pour 6 cartouches.

5. Avec $a=2x$ et $b=3$ : $(2x-3{)}^2=(2x{)}^2-2\times 2x\times 3+3^2$. $(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$.

6. $\sqrt{5+3}-6\sqrt{11}=\sqrt{8}-6\sqrt{11}\approx 2,828-19,900\approx -17,071$. Valeur arrondie au dixième : $-17,1$.

7. $(7x+2{)}^2-25=(7x+2{)}^2-5^2$, de la forme $a^2-b^2$ avec $a=7x+2$ et $b=5$ :
$(7x+2-5)(7x+2+5)$. $(7x+2{)}^2-25=(7x-3)(7x+7)$, que l'on peut aussi écrire $7(7x-3)(x+1)$.

Exercice 2

1. La première boîte contient $40+60=100$ vis, toutes ayant la même chance d'être prises, dont 40 à bout rond. $p={\displaystyle \frac{40}{100}}$. La probabilité de prendre une vis à bout rond est ${\displaystyle \frac{2}{5}}=0,4$.

2. a) En notant R une vis à bout rond et P une vis à bout plat (première boîte puis deuxième boîte), les tirages possibles sont : (R ; R), (R ; P), (P ; R) et (P ; P).

2. b) Dans la deuxième boîte, il y a $38+12=50$ vis : $p(R)={\displaystyle \frac{38}{50}}=0,76$ et $p(P)={\displaystyle \frac{12}{50}}=0,24$. Dans la première : $p(R)=0,4$ et $p(P)=0,6$.
Obtenir deux vis différentes correspond aux tirages (R ; P) et (P ; R). En multipliant les probabilités le long des branches de l'arbre :
$p$$=0,4\times 0,24+0,6\times 0,76$$=0,096+0,456$$=0,552$.
Comme $0,552>0,5$, l'électricien a plus d'une chance sur deux d'obtenir deux vis différentes.

Exercice 1

1. La tige est un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 1,5 m = 150 cm (même unité partout) :
$V=\pi \times r^2\times h=\pi \times 4^2\times 150=2400\pi \approx 7539,8$.
Le volume de la tige est d'environ 7 540 cm³.

2. Chaque cm³ d'acier pèse 7,85 g : $7540\times 7,85\approx 59189$ g, soit environ 59,2 kg. La tige pèse environ 59 kg.

Exercice 2

1. Algorithme d'Euclide :
$330=1\times 270+60$
$270=4\times 60+30$
$60=2\times 30+0$
Le PGCD est le dernier reste non nul. PGCD(330 ; 270) = 30.

2. Le côté des plaques doit diviser à la fois 270 et 330 (pas de chute) et être le plus grand possible : c'est le PGCD. Les plaques sont des carrés de 30 cm de côté.
En largeur : $330÷30=11$ plaques ; en hauteur : $270÷30=9$ plaques ; $11\times 9=99$. Il faut 99 plaques.

Exercice 3

1. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AC].
$A{C}^2={140}^2=19600$ et $A{B}^2+B{C}^2={115}^2+{80}^2=13225+6400=19625$.
Comme $A{C}^2\ne A{B}^2+B{C}^2$, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.

2. Le triangle ADC est rectangle en D (car (AD) est perpendiculaire à (EC)). Pour l'angle $\widehat{ACD}$, DC est le côté adjacent et AC l'hypoténuse :
$\cos \widehat{ACD}={\displaystyle \frac{DC}{AC}}={\displaystyle \frac{100}{140}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$, d'où $\widehat{ACD}\approx 44,4°$.
L'angle $\widehat{ACD}$ mesure environ 44°.

3. Les points C, D, E sont alignés (D est sur [EC]) et les points C, A, F sont alignés (F sur la demi-droite [CA), au-delà de A), dans le même ordre.
$CF=CA+AF=140+28=168$ cm et $CE=CD+DE=100+20=120$ cm.
${\displaystyle \frac{CA}{CF}}={\displaystyle \frac{140}{168}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{CD}{CE}}={\displaystyle \frac{100}{120}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$.
Les rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AD) et (FE) sont parallèles.

Partie 1

1. a) Sur le graphique de l'annexe, on part de 20 m³ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la droite de la société A, puis on se reporte sur l'axe vertical (tracés en pointillés). Pour 20 m³, le coût est de 600 €.

1. b) La représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère : le coût est proportionnel au volume transporté. On lit par exemple 900 € pour 30 m³ : le coefficient de proportionnalité est $900÷30=30$ € par m³ (on vérifie : 1 800 € pour 60 m³). $g(x)=30x$.

2. a) $f(80)=10\times 80+800=800+800=1600$. $f(80)=1600$ : avec l'entreprise B, un déménagement de 80 m³ coûte 1 600 €.

2. b) On résout $f(x)=3500$ : $10x+800=3500$, soit $10x=2700$, donc $x=270$. L'antécédent de 3 500 par $f$ est 270 (pour 3 500 €, l'entreprise B déménage 270 m³).

2. c) $f$ est une fonction affine : sa représentation est une droite. Il suffit de deux points (un troisième pour vérifier) : $f(0)=800$, $f(50)=1300$, $f(80)=1600$. On trace la droite passant par les points (0 ; 800), (50 ; 1 300) et (80 ; 1 600).

3. On trace en pointillés la verticale d'abscisse 60. Elle coupe la droite de la société A à l'ordonnée 1 800 et celle de la société B à l'ordonnée 1 400 (par le calcul : $g(60)=30\times 60=1800$ et $f(60)=10\times 60+800=1400$). Pour 60 m³, la droite de B est en dessous de celle de A. M. Dubois a intérêt à choisir la société B (1 400 € au lieu de 1 800 €).

Remarque : les deux droites se coupent au point d'abscisse 40 ($30x=10x+800$ donne $x=40$) ; au-delà de 40 m³, la société B est la moins chère.

Partie 2

1. On ajoute les durées successives à l'heure de départ :
10 h 00 + 2 h 30 min = 12 h 30 ;
80 min = 1 h 20 min, donc 12 h 30 + 1 h 20 min = 13 h 50 ;
13 h 50 + 1 h 45 min = 15 h 35.
M. Dubois arrive au chantier à 15 h 35.

2. 6 h 30 = 6,5 h. $v={\displaystyle \frac{d}{t}}={\displaystyle \frac{442}{6,5}}=68$. Vérification : $68\times 6,5=442$. Le camion a roulé en moyenne à 68 km/h.