Sujet du brevet 2010 de maths — Asie (Série générale)

Exercice 1 (4 points)

1. La division est prioritaire sur la soustraction. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
$A$$={\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{15}{8}}$$={\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{30}{24}}$$={\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{4}}$$={\displaystyle \frac{-2}{4}}$$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
$A=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ (fraction irréductible).

2. On regroupe les nombres d'un côté et les puissances de 10 de l'autre :
$B$$={\displaystyle \frac{6\times 5}{1,5}}\times {\displaystyle \frac{{10}^{-2}\times {10}^2}{{10}^{-4}}}$$=20\times {\displaystyle \frac{{10}^0}{{10}^{-4}}}$$=20\times {10}^4$$=2\times 10\times {10}^4$.
$B=2\times {10}^5$ (soit 200 000).

3. On décompose chaque radicande avec un carré parfait : $12=4\times 3$ et $48=16\times 3$.
$C$$=\sqrt{4}\times \sqrt{3}-5\sqrt{3}+2\sqrt{16}\times \sqrt{3}$$=2\sqrt{3}-5\sqrt{3}+2\times 4\sqrt{3}$$=(2-5+8)\sqrt{3}$.
$C=5\sqrt{3}$, donc $a=5$.

Exercice 2 (QCM)

1. D'après l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ : $(2x-5{)}^2=4x^2-2\times 2x\times 5+25$. Réponse : $4x^2-20x+25$ (proposition 3).

2. $9x^2-144=(3x{)}^2-{12}^2$ est de la forme $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Réponse : $(3x-12)(3x+12)$ (proposition 1).

3. $-3x+7=0$ donne $-3x=-7$, puis $x={\displaystyle \frac{-7}{-3}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$. Réponse : ${\displaystyle \frac{7}{3}}$ (proposition 2).

4. $5x+3⩾2x+9$ donne $3x⩾6$, soit $x⩾2$ (on divise par 3, positif : le sens ne change pas). Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à 2 : partie en gras à droite de 2, crochet tourné vers les solutions car 2 est inclus. Réponse : le premier dessin (proposition 1).

Exercice 3

On note $d$ le prix d'un DVD et $b$ le prix d'une bande dessinée, en euros.
Pierre dépense $75-14,50=60,50$ €, donc $d+4b=60,50$.
Clothilde : $2d+3b=73,50$.

De la première équation, $d=60,50-4b$. On remplace dans la seconde :
$2(60,50-4b)+3b=73,50$, soit $121-8b+3b=73,50$, donc $-5b=-47,50$ et $b=9,50$.
Puis $d=60,50-4\times 9,50=60,50-38=22,50$.

Vérification : Pierre $22,50+4\times 9,50=60,50$ € ; Clothilde $2\times 22,50+3\times 9,50=45+28,50=73,50$ €. Un DVD coûte 22,50 € et une bande dessinée 9,50 €.

Exercice 1

1. Dans le triangle ABO, le plus grand côté est [OB] avec OB = 6.
$O{B}^2=6^2=36$ et $A{B}^2+A{O}^2=3,6^2+4,8^2=12,96+23,04=36$.
Comme $O{B}^2=A{B}^2+A{O}^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABO est rectangle en A.

2. Les points A, O, C sont alignés, ainsi que les points B, O, D, dans le même ordre.
${\displaystyle \frac{OA}{OC}}={\displaystyle \frac{4,8}{6}}=0,8$ et ${\displaystyle \frac{OB}{OD}}={\displaystyle \frac{6}{7,5}}=0,8$.
Les rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

3. D'après la question 1, la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (AC) (angle droit en A, et C est sur la droite (AO)). D'après la question 2, (CD) est parallèle à (AB). Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre : (AC) est perpendiculaire à (CD). Le triangle OCD est donc rectangle en C.

Vérification : d'après Thalès, $CD=AB\times {\displaystyle \frac{OC}{OA}}=3,6\times {\displaystyle \frac{6}{4,8}}=4,5$, et $O{C}^2+C{D}^2=36+20,25=56,25=7,5^2=O{D}^2$.

Exercice 2

1. Les points S, R et F sont alignés sur le mur, R entre S et F : $RF=FS-RS=18-1,5=16,5$. RF = 16,5 m.

2. Le triangle FRP est rectangle en R (le mur est vertical, [RP] horizontal). Pour l'angle $\widehat{FPR}$, RF est le côté opposé et RP le côté adjacent :
$\tan \widehat{FPR}={\displaystyle \frac{RF}{RP}}={\displaystyle \frac{16,5}{10}}=1,65$, d'où $\widehat{FPR}\approx 58,8°$.
L'échelle fait un angle d'environ 59° avec l'horizontale.

3. Dans le triangle FRP rectangle en R, d'après le théorème de Pythagore :
$P{F}^2$$=R{F}^2+R{P}^2$$=16,5^2+{10}^2$$=272,25+100$$=372,25$, donc $PF=\sqrt{372,25}\approx 19,3$ m.
Comme $19,3<25$, l'échelle (25 m au maximum) est assez longue pour atteindre la fenêtre F.

Partie 1

1. Le cocktail contient au total $8+6+2+2=18$ cL, dont 8 cL de jus d'abricot. Proportion : ${\displaystyle \frac{8}{18}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\approx 0,44$. Le jus d'abricot représente ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ du cocktail, soit environ 44 %.

2. 2,7 L = 270 cL. $270\times {\displaystyle \frac{4}{9}}=120$. Il faut prévoir 120 cL, soit 1,2 L de jus d'abricot.

Partie 2

1. a) La base du cône est le disque de rayon OC = 5,9 cm et sa hauteur est OS = 6,8 cm :
$V$$={\displaystyle \frac{\pi \times 5,9^2\times 6,8}{3}}$$={\displaystyle \frac{\pi \times 34,81\times 6,8}{3}}$$\approx 247,88$.
Le volume du verre est d'environ 248 cm³.

1. b) $1{\text{cm}}^3=1\text{ mL}=0,1\text{ cL}$, donc $248{\text{cm}}^3=24,8\text{ cL}$. La contenance du verre est d'environ 25 cL.

2. a) Le cône de liquide est une réduction du cône du verre de rapport $k={\displaystyle \frac{4}{5}}=0,8$ (hauteur SO′ = ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ de SO). Dans une réduction de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$ :
$V^{\prime }=0,8^3\times 25=0,512\times 25=12,8$.
Chaque verre contient environ 13 cL de cocktail.

2. b) Il faut $43\times 3=129$ verres, soit $129\times 12,8=1651,2$ cL ≈ 16,5 L (avec 13 cL par verre : $129\times 13=1677$ cL ≈ 16,8 L). Dans les deux cas, c'est moins de 20 L. Oui, 20 litres de cocktail suffiront.

3. a) La courbe représentant le volume en fonction de la hauteur n'est pas une droite passant par l'origine. Par exemple, pour 3 cm on lit environ 2 cL et pour 6 cm environ 17 cL : en doublant la hauteur, le volume est multiplié par 8 environ, et non par 2. Le volume n'est pas proportionnel à la hauteur de liquide.

3. b) Tracés à faire apparaître en pointillés sur l'annexe :

• de l'abscisse 3 sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe puis on se reporte sur l'axe vertical : pour une hauteur de 3 cm, le volume est d'environ 2 cL ;
• de l'ordonnée 17 sur l'axe vertical, on va horizontalement jusqu'à la courbe puis on descend sur l'axe horizontal : pour un volume de 17 cL, la hauteur est d'environ 6 cm.