Le photon : effet photoélectrique et cellule photovoltaïque

Une lampe excimère qui désinfecte l’air émet un ultraviolet de 222 nm ; une DEL horticole émet un rouge de 660 nm. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J.

1. Énergie d’un photon de la lampe : E = × 10⁻¹⁹ J
   $E={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{222\times {10}^{-9}}}=$ 8,96 × 10⁻¹⁹ J.
2. La même énergie en électronvolts : eV
   ${\displaystyle \frac{8,96\times {10}^{-19}}{1,60\times {10}^{-19}}}=$ 5,60 eV.
3. Énergie d’un photon de la DEL : eV
   $E={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{660\times {10}^{-9}}}=3,01\times {10}^{-19}$ J, soit 1,88 eV.
4. Rapport E(lampe) ÷ E(DEL), obtenu directement à partir des longueurs d’onde :
   $E={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}$ : le rapport des énergies est l’inverse de celui des longueurs d’onde, ${\displaystyle \frac{660}{222}}\approx$ 2,97 (2,98 avec les valeurs arrondies en eV).
5. Dans le vide, le photon ultraviolet se déplace (plus vite / aussi vite / moins vite) que le photon rouge
   Tous les photons vont à la vitesse $c$ dans le vide : aussi vite. Seule leur énergie diffère.

Une DEL ambre émet une radiation de longueur d’onde 590 nm avec une puissance lumineuse de 12 mW. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J.

1. Énergie d’un photon : × 10⁻¹⁹ J
   $E={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{590\times {10}^{-9}}}=$ 3,37 × 10⁻¹⁹ J.
2. Nombre de photons émis chaque seconde : × 10¹⁶
   $N={\displaystyle \frac{P}{E}}={\displaystyle \frac{12\times {10}^{-3}}{3,37\times {10}^{-19}}}\approx$ 3,56 × 10¹⁶ photons par seconde (mW convertis en W).
3. Nombre de photons émis en 2,5 min : × 10¹⁸
   $\Delta t=2,5\times 60=150$ s : $3,56\times {10}^{16}\times 150\approx$ 5,34 × 10¹⁸ photons.
4. Une DEL bleue de 470 nm, de même puissance lumineuse, émet (plus / autant / moins) de photons par seconde
   $N={\displaystyle \frac{P\lambda }{hc}}$ : à puissance égale, $N$ est proportionnel à $\lambda$. Les photons bleus, plus énergétiques, sont moins nombreux.
5. Nombre de photons émis chaque seconde par la DEL bleue : × 10¹⁶
   $N\prime ={\displaystyle \frac{12\times {10}^{-3}\times 470\times {10}^{-9}}{1,989\times {10}^{-25}}}\approx$ 2,84 × 10¹⁶ photons par seconde.

Un radar anticollision de voiture émet une onde de fréquence 79 GHz avec une puissance de 10 mW. On se demande si ses photons peuvent ioniser une molécule d’eau, dont l’énergie d’ionisation vaut 12,6 eV. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J.

1. Longueur d’onde dans le vide : mm
   $\lambda ={\displaystyle \frac{c}{\nu }}={\displaystyle \frac{3,00\times {10}^8}{79\times {10}^9}}=3,80\times {10}^{-3}$ m, soit 3,80 mm.
2. Domaine de cette onde :
   Entre 1 mm et 1 m : micro-ondes.
3. Énergie d’un photon : × 10⁻²³ J
   $E=h\nu =6,63\times {10}^{-34}\times 79\times {10}^9\approx$ 5,24 × 10⁻²³ J.
4. La même énergie : × 10⁻⁴ eV
   ${\displaystyle \frac{5,24\times {10}^{-23}}{1,60\times {10}^{-19}}}\approx$ 3,27 × 10⁻⁴ eV.
5. Nombre de photons émis chaque seconde : × 10²⁰
   $N={\displaystyle \frac{10\times {10}^{-3}}{5,24\times {10}^{-23}}}\approx$ 1,91 × 10²⁰ photons par seconde : un nombre énorme.
6. Énergie d’ionisation de l’eau divisée par l’énergie d’un photon : × 10⁴
   ${\displaystyle \frac{12,6}{3,27\times {10}^{-4}}}\approx$ 3,85 × 10⁴ : il manque des dizaines de milliers de fois l’énergie nécessaire.
7. Avec un radar cent fois plus puissant, l’énergie de chaque photon serait multipliée par
   La puissance multiplie le nombre de photons, pas leur énergie : facteur 1. Une molécule absorbe les photons un par un ; leur nombre ne compense pas la faiblesse de chacun : ces ondes ne sont pas ionisantes.

Complète à l’aide du cours, en nommant le modèle de la lumière (ondulatoire / particulaire) quand on le demande.

1. Une fente très fine étale un faisceau laser sur un écran : modèle
   L’étalement après une ouverture est la diffraction, un phénomène ondulatoire.
2. Sous la fréquence seuil, aucune intensité ne fait émettre d’électron : modèle
   Chaque électron absorbe un seul photon, d’énergie fixée par la fréquence : modèle particulaire.
3. Le prix Nobel de physique d’Einstein, décerné en particulier pour la loi de l’effet photoélectrique, est celui de l’année
   Prix Nobel de physique 1921, remis en 1922.
4. Physicien qui montre en 1902 que l’énergie des électrons arrachés ne dépend pas de l’intensité lumineuse :
   Philipp Lenard, en 1902.
5. Au-dessus du seuil, doubler l’intensité lumineuse multiplie le nombre d’électrons émis chaque seconde par
   Deux fois plus de photons, donc deux fois plus d’électrons : facteur 2 (leur énergie maximale, elle, ne change pas).

On refait l’expérience de Hallwachs (1888) : on fixe une plaque de zinc (travail d’extraction W ≈ 4,3 eV) sur un électroscope chargé négativement, puis on l’éclaire. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J.

1. Énergie d’un photon ultraviolet de 230 nm : eV
   $E={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{230\times {10}^{-9}}}=8,65\times {10}^{-19}$ J, soit 5,40 eV, plus que $W$ : des électrons sont arrachés.
2. Une plaque de zinc d’abord neutre, éclairée à 230 nm, se charge (positivement / négativement)
   Elle perd des électrons, arrachés par les photons, et garde ses charges positives : elle se charge positivement.
3. On remplace le zinc par du potassium (W = 2,29 eV), éclairé par une lumière verte de 510 nm : l’électroscope (se décharge / ne se décharge pas)
   $E={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{510\times {10}^{-9}}}=3,90\times {10}^{-19}$ J, soit 2,44 eV $\ge$ 2,29 eV : pour le potassium, le visible suffit, l’électroscope se décharge.
4. Énergie d’un photon de 330 nm : eV
   $E={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{330\times {10}^{-9}}}=6,03\times {10}^{-19}$ J, soit 3,77 eV.
5. Éclairée seulement à 330 nm, la plaque de zinc chargée négativement (se décharge / ne se décharge pas)
   3,77 eV $<W\approx 4,3$ eV : ce rayonnement, pourtant ultraviolet, est sous le seuil du zinc : la plaque ne se décharge pas.
6. Plaque de zinc sous un projecteur de lumière visible dix fois plus puissant que la lampe ultraviolette : nombre d’électrons arrachés
   Les photons visibles portent au plus 3,1 eV, moins que $W$ : plus de puissance donne plus de photons, mais aucun électron.

Dans le modèle ondulatoire, l’énergie lumineuse arrive continûment. On suppose qu’un atome de la surface d’une plaque de potassium (W = 2,29 eV) recueille l’énergie tombant sur une aire de 2,0 × 10⁻¹⁹ m², ordre de grandeur de sa taille, sous un éclairement très faible de 5,0 × 10⁻³ W·m⁻². Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J.

1. Puissance reçue par un atome : × 10⁻²¹ W
   $P=G\times S=5,0\times {10}^{-3}\times 2,0\times {10}^{-19}=$ 1,0 × 10⁻²¹ W.
2. Travail d’extraction du potassium : × 10⁻¹⁹ J
   $W=2,29\times 1,60\times {10}^{-19}=$ 3,66 × 10⁻¹⁹ J.
3. Durée prévue pour qu’un atome accumule l’énergie W : ≈ min
   $\Delta t={\displaystyle \frac{W}{P}}={\displaystyle \frac{3,664\times {10}^{-19}}{1,0\times {10}^{-21}}}\approx 366$ s, soit environ 6,1 min.
4. Or des électrons sont émis moins de quelques milliardièmes de seconde après le début de l’éclairement : le modèle contredit est le modèle
   Le délai prévu (plusieurs minutes) n’existe pas : le modèle ondulatoire ne rend pas compte de l’émission immédiate.
5. Énergie d’un photon de 440 nm : × 10⁻¹⁹ J
   $E={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{440\times {10}^{-9}}}\approx$ 4,52 × 10⁻¹⁹ J, supérieure à $W$.
6. Nombre de photons de 440 nm qu’un électron doit absorber pour quitter le potassium :
   Un seul photon suffit (1) : il apporte d’un coup plus que $W$. Le premier photon absorbé peut libérer un électron, d’où l’émission immédiate même sous faible éclairement.

Travaux d’extraction : potassium W = 2,29 eV ; aluminium W = 4,1 eV. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J.

1. Fréquence seuil du potassium : × 10¹⁴ Hz
   ${\nu }_s={\displaystyle \frac{W}{h}}={\displaystyle \frac{2,29\times 1,60\times {10}^{-19}}{6,63\times {10}^{-34}}}\approx$ 5,53 × 10¹⁴ Hz.
2. Longueur d’onde seuil du potassium : nm
   ${\lambda }_s={\displaystyle \frac{hc}{W}}={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{3,664\times {10}^{-19}}}\approx$ 543 nm (542 nm en partant de ${\nu }_s$ arrondie).
3. Longueur d’onde seuil de l’aluminium : nm
   ${\lambda }_s={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{4,1\times 1,60\times {10}^{-19}}}\approx$ 303 nm : un ultraviolet.
4. Énergie d’un photon de 410 nm : eV
   ${\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{410\times {10}^{-9}}}=4,85\times {10}^{-19}$ J, soit 3,03 eV.
5. Sous une lumière violette de 410 nm, le seul de ces deux métaux qui émet des électrons est le
   3,03 eV $\ge$ 2,29 eV mais $<$ 4,1 eV (ou : 410 nm $\le$ 543 nm mais $>$ 303 nm) : seul le potassium émet.

La cathode d’une cellule photoélectrique est en césium (W = 1,95 eV). Éclairée par une radiation de 530 nm, elle reçoit une puissance lumineuse de 0,20 mW ; le microampèremètre indique 8,5 µA. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J ; $e=1,60\times {10}^{-19}$ C.

1. Énergie d’un photon : eV
   $E={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{530\times {10}^{-9}}}=3,75\times {10}^{-19}$ J, soit 2,35 eV (2,34 avec la valeur en joules arrondie), supérieure à $W$ : la cellule fonctionne.
2. Nombre de photons reçus chaque seconde : × 10¹⁴
   $N={\displaystyle \frac{P}{E}}={\displaystyle \frac{0,20\times {10}^{-3}}{3,75\times {10}^{-19}}}\approx$ 5,33 × 10¹⁴.
3. Nombre d’électrons collectés chaque seconde : × 10¹³
   $N_e={\displaystyle \frac{I}{e}}={\displaystyle \frac{8,5\times {10}^{-6}}{1,60\times {10}^{-19}}}\approx$ 5,31 × 10¹³.
4. Rendement quantique de la cellule : environ %
   ${\displaystyle \frac{N_e}{N}}={\displaystyle \frac{5,31\times {10}^{13}}{5,33\times {10}^{14}}}\approx 0,10$ : environ 10 % des photons libèrent un électron.
5. Puissance lumineuse doublée, même radiation : le microampèremètre indique µA
   Deux fois plus de photons, donc d’électrons : $I=2\times 8,5=$ 17 µA.
6. Énergie cinétique maximale des électrons émis : eV
   $E_{c,max}=h\nu -W=2,35-1,95=$ 0,40 eV (0,39 eV avec 2,34 eV), la même quelle que soit la puissance lumineuse.

On choisit le métal de la cathode d’un capteur de lumière parmi ceux du tableau. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J.

1. Énergie d’un photon de 600 nm : eV
   $E={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{600\times {10}^{-9}}}=3,315\times {10}^{-19}$ J, soit 2,07 eV.
2. Seul métal du tableau sensible à une lumière orangée de 600 nm :
   Il faut $W\le 2,07$ eV : seul le césium (1,95 eV) convient.
3. Énergie cinétique maximale des électrons du césium à 600 nm : eV
   $E_{c,max}=2,07-1,95=$ 0,12 eV : les électrons sortent lentement.
4. Énergie d’un photon de 480 nm : eV
   ${\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{480\times {10}^{-9}\times 1,60\times {10}^{-19}}}\approx$ 2,59 eV.
5. Nombre de métaux du tableau sensibles à 480 nm :
   Il faut $W\le 2,59$ eV : césium et potassium, soit 2 métaux (le sodium, 2,75 eV, ne convient pas).
6. À 480 nm, rapport des vitesses maximales des électrons v(césium) ÷ v(potassium) :
   $E_{c,max}$ : $2,59-1,95=0,64$ eV pour le césium, $2,59-2,29=0,30$ eV pour le potassium. Comme $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{c,max}}{m_e}}}$, le rapport des vitesses vaut $\sqrt{{\displaystyle \frac{0,64}{0,30}}}\approx$ 1,46 : il ne vaut pas le rapport des énergies.

$m_e=9,11\times {10}^{-31}$ kg. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J.

1. Photons de 3,10 eV sur du potassium (W = 2,29 eV) : Ec,max = eV
   $E_{c,max}=3,10-2,29=$ 0,81 eV.
2. La même énergie cinétique en joules : × 10⁻¹⁹ J
   $0,81\times 1,60\times {10}^{-19}\approx$ 1,30 × 10⁻¹⁹ J.
3. Vitesse maximale de ces électrons : × 10⁵ m·s⁻¹
   $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times 1,296\times {10}^{-19}}{9,11\times {10}^{-31}}}}\approx$ 5,33 × 10⁵ m·s⁻¹ (5,34 avec 1,30 × 10⁻¹⁹ J).
4. Photons de 300 nm sur du magnésium (W = 3,66 eV) : Ec,max = eV
   $E={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{300\times {10}^{-9}}}=6,63\times {10}^{-19}$ J $=4,14$ eV ; $E_{c,max}=4,14-3,66=$ 0,48 eV.
5. Photons de 1,90 eV sur du potassium : nombre d’électrons émis
   $1,90<2,29$ eV : aucun électron ; on ne calcule pas d’énergie cinétique « négative ».

Une plaque de sodium a pour travail d’extraction W = 2,75 eV. $m_e=9,11\times {10}^{-31}$ kg. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J.

1. Longueur d’onde seuil du sodium : nm
   $W=2,75\times 1,60\times {10}^{-19}=4,40\times {10}^{-19}$ J ; ${\lambda }_s={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{4,40\times {10}^{-19}}}\approx$ 452 nm.
2. Énergie d’un photon de 297 nm : × 10⁻¹⁹ J
   $E={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{297\times {10}^{-9}}}\approx$ 6,70 × 10⁻¹⁹ J (4,19 eV) : 297 nm $<$ 452 nm, il y a émission.
3. Énergie cinétique maximale des électrons : × 10⁻¹⁹ J
   $E_{c,max}=E-W=6,697\times {10}^{-19}-4,40\times {10}^{-19}\approx$ 2,30 × 10⁻¹⁹ J.
4. Vitesse maximale des électrons : × 10⁵ m·s⁻¹
   $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times 2,297\times {10}^{-19}}{9,11\times {10}^{-31}}}}\approx$ 7,10 × 10⁵ m·s⁻¹ (7,11 avec 2,30 × 10⁻¹⁹ J).
5. Avec une autre radiation, la vitesse maximale mesurée vaut 4,0 × 10⁵ m·s⁻¹ : Ec,max = × 10⁻²⁰ J
   $E_{c,max}={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2=0,5\times 9,11\times {10}^{-31}\times (4,0\times {10}^5{)}^2\approx$ 7,29 × 10⁻²⁰ J.
6. Longueur d’onde de cette radiation : nm
   Bilan d’énergie : $h\nu =W+E_{c,max}=4,40\times {10}^{-19}+0,729\times {10}^{-19}=5,13\times {10}^{-19}$ J, puis $\lambda ={\displaystyle \frac{hc}{h\nu }}={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{5,13\times {10}^{-19}}}\approx$ 388 nm, un ultraviolet proche.

Comme Millikan, on éclaire un métal par des radiations monochromatiques et l’on mesure l’énergie cinétique maximale des électrons émis. Donnée : 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹.

1. Accroissements successifs de Ec,max : 0,41 eV, puis eV, puis 0,41 eV
   $1,18-0,76=$ 0,42 eV : accroissements constants aux incertitudes près pour des hausses égales de $\nu$, la relation est affine.
2. Coefficient directeur de la droite Ec,max = f(ν) : × 10⁻¹⁵ eV·s
   $k={\displaystyle \frac{1,59-0,35}{9,0\times {10}^{14}-6,0\times {10}^{14}}}\approx$ 4,13 × 10⁻¹⁵ eV·s.
3. Constante de Planck déduite : h = × 10⁻³⁴ J·s
   La pente vaut $h$ : $4,133\times {10}^{-15}\times 1,60\times {10}^{-19}\approx$ 6,61 × 10⁻³⁴ J·s, à 0,3 % de la valeur tabulée.
4. Travail d’extraction du métal : W = eV
   $W=k\nu -E_{c,max}=4,133\times {10}^{-15}\times 6,0\times {10}^{14}-0,35\approx$ 2,13 eV (opposé de l’ordonnée à l’origine).
5. Fréquence seuil : × 10¹⁴ Hz
   ${\nu }_s={\displaystyle \frac{W}{k}}\approx$ 5,15 × 10¹⁴ Hz (5,16 avec $k$ arrondi).
6. Longueur d’onde seuil : nm
   ${\lambda }_s={\displaystyle \frac{c}{{\nu }_s}}\approx$ 582 nm (581 nm avec 5,16 × 10¹⁴ Hz).
7. Éclairé à 5,0 × 10¹⁴ Hz par une lumière très intense, le métal émet électron(s)
   $5,0\times {10}^{14}$ Hz $<{\nu }_s$ : chaque photon apporte moins que $W$ et un électron ne cumule pas deux photons : aucun électron, quelle que soit l’intensité.

Une DEL émet des photons d’énergie voisine du gap de son semi-conducteur. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J.

1. Gap de 1,91 eV : longueur d’onde émise ≈ nm
   $\lambda \approx {\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{1,91\times 1,60\times {10}^{-19}}}\approx$ 651 nm.
2. Couleur de cette DEL :
   Vers 650 nm : rouge.
3. Gap de 2,70 eV : longueur d’onde émise ≈ nm
   $\lambda \approx {\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{2,70\times 1,60\times {10}^{-19}}}\approx$ 460 nm : bleu.
4. Gap nécessaire pour une DEL qui émet à 610 nm : ≈ eV
   $E_g\approx {\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{610\times {10}^{-9}}}=3,26\times {10}^{-19}$ J, soit 2,04 eV.
5. Plus le gap est grand, plus la longueur d’onde émise est (grande / petite)
   $\lambda \approx {\displaystyle \frac{hc}{E_g}}$ : grand gap, photons énergétiques, longueur d’onde petite.

Les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène valent $E_n=-{\displaystyle \frac{13,6}{n^2}}$ eV ($n$ entier non nul). L’atome est dans l’état fondamental. $m_e=9,11\times {10}^{-31}$ kg. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J.

1. Écart entre le niveau n = 4 et le niveau fondamental : eV
   $E_4-E_1=-{\displaystyle \frac{13,6}{16}}+13,6=-0,85+13,6=$ 12,75 eV.
2. Un photon de 12,09 eV est absorbé : l’atome passe au niveau n =
   $E_3-E_1=13,6-{\displaystyle \frac{13,6}{9}}\approx 12,09$ eV : niveau n = 3.
3. Un photon de 11,5 eV est (absorbé / non absorbé)
   Les écarts depuis le fondamental valent 10,20 ; 12,09 ; 12,75 eV… et 13,6 eV pour l’ionisation : 11,5 eV n’en est aucun et ne suffit pas à ioniser : non absorbé.
4. Un photon de 15,0 eV ionise l’atome : énergie cinétique de l’électron libéré : eV
   Au-delà de 13,6 eV, tout photon est absorbé ; l’excédent devient énergie cinétique : $15,0-13,6=$ 1,4 eV.
5. Vitesse de cet électron : × 10⁵ m·s⁻¹
   $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times 1,4\times 1,60\times {10}^{-19}}{9,11\times {10}^{-31}}}}\approx$ 7,01 × 10⁵ m·s⁻¹.
6. Longueur d’onde du photon de 15,0 eV : nm
   $\lambda ={\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{15,0\times 1,60\times {10}^{-19}}}\approx$ 82,9 nm, dans l’ultraviolet lointain.

Une liaison sans fil infrarouge associe une DEL émettrice, dont le semi-conducteur a un gap de 1,38 eV, et une photodiode réceptrice au silicium (gap 1,12 eV). La DEL émet une puissance lumineuse de 15 mW ; la photodiode reçoit 0,40 % des photons émis, et 80 % des photons reçus y libèrent un électron. Données : $h=6,63\times {10}^{-34}$ J·s ; $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹ ; 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J ; $e=1,60\times {10}^{-19}$ C.

1. Longueur d’onde émise par la DEL : ≈ nm
   $\lambda \approx {\displaystyle \frac{1,989\times {10}^{-25}}{1,38\times 1,60\times {10}^{-19}}}\approx$ 901 nm, dans l’infrarouge proche.
2. Les photons de la DEL sont (absorbés / non absorbés) par le silicium
   1,38 eV $\ge$ 1,12 eV : ils sont absorbés.
3. Énergie perdue sous forme thermique par photon absorbé dans la photodiode : eV
   Seule l’énergie du gap est utile : $1,38-1,12=$ 0,26 eV chauffent le cristal.
4. Nombre de photons émis chaque seconde par la DEL : × 10¹⁶
   $N={\displaystyle \frac{15\times {10}^{-3}}{1,38\times 1,60\times {10}^{-19}}}\approx$ 6,79 × 10¹⁶ photons par seconde.
5. Intensité du courant de la photodiode : µA
   $N_e=6,79\times {10}^{16}\times 0,0040\times 0,80\approx 2,17\times {10}^{14}$ s⁻¹ ; $I=N_{e}e\approx 3,48\times {10}^{-5}$ A, soit 34,8 µA.
6. Une photodiode en phosphure de gallium (gap 2,26 eV) recevrait ces photons sans les absorber : son courant vaudrait µA
   1,38 eV $<$ 2,26 eV : le matériau est transparent à ce rayonnement, courant 0.

Une cellule photovoltaïque carrée de 15,6 cm de côté reçoit un éclairement de 720 W·m⁻². Elle débite alors un courant de 6,2 A sous une tension de 0,54 V.

1. Surface de la cellule : × 10⁻² m²
   $S=0,{156}^2\approx$ 2,43 × 10⁻² m² (cm convertis en m).
2. Puissance lumineuse reçue : W
   $P_{\text{lum}}=G\times S=720\times 2,43\times {10}^{-2}\approx$ 17,5 W.
3. Puissance électrique fournie : W
   $P_{\text{élec}}=U\times I=0,54\times 6,2\approx$ 3,35 W.
4. Rendement : %
   $\eta ={\displaystyle \frac{3,35}{17,5}}\approx 0,191$, soit 19,1 %.
5. Énergie électrique fournie en 5 h : Wh
   $E=3,348\times 5\approx$ 16,7 Wh.
6. La même énergie : × 10⁴ J
   $3,348\times 5\times 3600\approx$ 6,03 × 10⁴ J (heures converties en secondes).

Une toiture porte 12 panneaux photovoltaïques identiques de 1,70 m² chacun, de rendement 21,0 %, sous un éclairement de 800 W·m⁻².

1. Puissance lumineuse reçue par un panneau : W
   $P_{\text{lum}}=800\times 1,70=$ 1 360 W.
2. Puissance électrique de l’installation : kW
   $P_{\text{élec}}=12\times 0,210\times 1360=3427,2$ W, soit 3,43 kW.
3. Puissance reçue mais non convertie en électricité, par panneau : W
   $1360\times (1-0,210)\approx$ 1 074 W : surtout dissipée en énergie thermique (et réfléchie).
4. Énergie électrique produite en 6 h dans ces conditions : kWh
   $3,4272\times 6\approx$ 20,6 kWh.
5. Sous un éclairement de 400 W·m⁻², rendement inchangé : puissance électrique de l’installation kW
   $P_{\text{élec}}$ est proportionnelle à $G$ : $3,4272÷2\approx$ 1,71 kW.

Un panneau de 1,95 m² est testé sous un éclairement de 1 000 W·m⁻² ; on relève sa caractéristique. Un particulier installe 12 de ces panneaux ; le plan du toit reçoit chaque année 1 750 kWh de lumière par mètre carré. Les pertes du système (onduleur, câbles, échauffement) réduisent de 18 % l’énergie électrique produite. Le foyer consomme 4 600 kWh par an.

1. Puissance fournie sous 40,0 V : W
   $P=U\times I=40,0\times 9,85=$ 394 W.
2. Puissance fournie en court-circuit (U = 0) : W
   $P=0\times 11,40=$ 0 : un des facteurs de $U\times I$ est nul, comme en circuit ouvert.
3. Tension du point de puissance maximale : V
   Puissances : 0 ; 334,5 ; 372,3 ; 385,2 ; 395,2 ; 394,0 ; 319,2 ; 0 W : maximum pour 38,0 V (395 W).
4. Rendement du panneau au point de puissance maximale : %
   $\eta ={\displaystyle \frac{395,2}{1000\times 1,95}}\approx 0,203$, soit 20,3 %.
5. Énergie électrique utile produite par l’installation en un an : × 10³ kWh
   $0,2027\times 1750\times 12\times 1,95\times 0,82\approx$ 6,81 × 10³ kWh.
6. Production annuelle divisée par la consommation :
   ${\displaystyle \frac{6810}{4600}}\approx$ 1,48 : la production annuelle dépasse la consommation, mais elle est nulle la nuit et faible en hiver ; sans stockage, le foyer garde besoin du réseau.